Un corso di matematica prepara gli studenti per una tonnellatasorprese, una delle quali è un problema nella teoria delle probabilità. Con la soluzione di tali compiti, gli studenti hanno un problema in quasi il cento per cento dei casi. Per comprendere e comprendere questo problema, è necessario conoscere le regole di base, gli assiomi, le definizioni. Per capire il testo nel libro, devi conoscere tutte le abbreviazioni. Tutto questo ci proponiamo di imparare.
Scienza e sue applicazioni
Dal momento che offriamo un corso accelerato in teoriaprobabilità per i manichini ”, devi prima introdurre i concetti di base e le abbreviazioni. Per cominciare, definiamo il concetto stesso di "teoria della probabilità". Che tipo di scienza è questa e a cosa serve? La teoria della probabilità è uno dei rami della matematica che studia i fenomeni e le quantità casuali. Considera anche i modelli, le proprietà e le operazioni eseguite con queste variabili casuali. Cosa serve? La scienza si è diffusa nello studio dei fenomeni naturali. Tutti i processi naturali e fisici non sono completi senza la presenza del caso. Anche se i risultati sono stati registrati nel modo più accurato possibile durante l'esperimento, se lo stesso test viene ripetuto, il risultato molto probabilmente non è lo stesso.
Esempi di problemi in teoria della probabilità noiprenderemo sicuramente in considerazione, puoi vedere di persona. Il risultato dipende da molti fattori diversi che sono quasi impossibili da prendere in considerazione o da registrare, ma che tuttavia hanno un enorme impatto sul risultato dell'esperienza. Esempi lampanti sono il problema di determinare la traiettoria dei pianeti o determinare le previsioni del tempo, la probabilità di incontrare una persona familiare sulla strada per il lavoro e determinare l'altezza di salto di un atleta. La teoria della probabilità è di grande aiuto anche per i broker in borsa. Dopo tre o quattro esempi di seguito, un problema di teoria della probabilità che era problematico diventerà un gioco da ragazzi per te.
eventi
Come affermato in precedenza, la scienza studia gli eventi.Teoria della probabilità, prenderemo in considerazione esempi di risoluzione di problemi un po 'più tardi, studia solo un tipo: casuale. Tuttavia, devi sapere che gli eventi possono essere di tre tipi:
- Impossibile.
- Credibile.
- Casuale.
Proponiamo di discuterne un po 'ciascuno.Un evento impossibile non accadrà mai, in nessuna circostanza. Gli esempi includono: congelamento dell'acqua a temperature positive, estrazione di un cubo da un sacchetto di palline.
Accade sempre un evento affidabileGaranzia del 100% se tutte le condizioni sono soddisfatte. Ad esempio: hai ricevuto uno stipendio per il lavoro svolto, hai ricevuto un diploma di istruzione professionale superiore, se hai studiato coscienziosamente, superato esami e difeso il tuo diploma, e così via.
Con eventi casuali, le cose sono un po 'più complicate:nel corso dell'esperimento può accadere o meno, ad esempio, estrarre un asso da un mazzo di carte, effettuando non più di tre tentativi. Il risultato può essere ottenuto sia al primo tentativo, sia, in generale, non essere ottenuto. È la probabilità che si verifichi un evento studiato dalla scienza.
Probabilità
In senso generale, questa è una valutazione della possibilità di successoil risultato dell'esperienza in cui si verifica l'evento. La probabilità è valutata a livello qualitativo, soprattutto se la quantificazione è impossibile o difficile. Un problema nella teoria della probabilità con una soluzione, più precisamente con una stima della probabilità di un evento, implica trovare la quota molto possibile di un esito positivo. La probabilità in matematica è una caratteristica numerica di un evento. Prende valori da zero a uno, indicati dalla lettera P. Se P è uguale a zero, l'evento non può verificarsi, se è uno, l'evento si verificherà con il cento per cento di probabilità. Più P si avvicina a uno, maggiore è la probabilità di un esito positivo e viceversa, se è vicino a zero, l'evento si verificherà con una bassa probabilità.
Abbreviazioni
Un problema di teoria della probabilità che presto dovrai affrontare potrebbe contenere le seguenti abbreviazioni:
- !;
- {};
- N;
- P e P (X);
- A, B, C, ecc.
- n;
- m.
Alcuni altri sono anche possibili:ulteriori spiegazioni verranno aggiunte se necessario. Suggeriamo, per cominciare, di chiarire le abbreviazioni presentate sopra. Il primo della nostra lista è il fattoriale. Per chiarire, facciamo degli esempi: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 o 3! = 1 * 2 * 3. Inoltre, i set dati sono scritti tra parentesi graffe, ad esempio: {1; 2; 3; 4; ..; n} o {10; 140; 400; 562}. La designazione successiva è un insieme di numeri naturali, che è abbastanza comune nei compiti sulla teoria della probabilità. Come accennato in precedenza, P è la probabilità e P (X) è la probabilità del verificarsi dell'evento X. Gli eventi sono indicati in lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: A - una palla bianca è stata presa, B - blu, C - rosso, o, rispettivamente ,. La lettera minuscola n è il numero di tutti i possibili risultati e m è il numero di quelli riusciti. Otteniamo quindi la regola per trovare la probabilità classica in problemi elementari: Р = m / n. La teoria della probabilità "per i manichini" è probabilmente limitata a questa conoscenza. Ora, per consolidare, ci rivolgiamo alla soluzione.
Attività 1. Combinatoria
Il gruppo studentesco è composto da trenta persone,da cui è necessario scegliere il capo, il suo vice e il dirigente sindacale. Devi trovare diversi modi per eseguire questa azione. Un compito simile può essere trovato durante l'esame. La teoria della probabilità, la soluzione dei problemi di cui stiamo ora considerando, può includere problemi dal corso di combinatoria, trovando probabilità classica, geometrica e problemi per le formule di base. In questo esempio, risolviamo un problema dal corso di calcolo combinatorio. Passiamo alla soluzione. Questo compito è il più semplice:
- n1 = 30 - possibili capi del gruppo studentesco;
- n2 = 29 - coloro che possono assumere la carica di deputato;
- n3 = 28 persone fanno domanda per una posizione sindacale.
Non ci resta che trovare il numero possibile di opzioni, cioè moltiplicare tutti gli indicatori. Di conseguenza, otteniamo: 30 * 29 * 28 = 24360.
Questa sarà la risposta alla domanda posta.
Problema 2. Permutazione
6 partecipanti parleranno alla conferenza, ordinedeterminato a sorte. Dobbiamo trovare il numero di possibili opzioni di estrazione. In questo esempio, stiamo considerando una permutazione di sei elementi, cioè dobbiamo trovare 6!
Abbiamo già accennato nel paragrafo delle abbreviazioni che thisquesto e come viene calcolato. In totale, risulta che ci sono 720 opzioni di estrazione. A prima vista, un compito difficile ha una soluzione completamente breve e semplice. Questi sono i compiti che la teoria della probabilità considera. Vedremo come risolvere i problemi di livello superiore nei seguenti esempi.
Problema 3
Un gruppo di studenti di venticinque personedevono essere suddivisi in tre sottogruppi di sei, nove e dieci persone. Abbiamo: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Resta da sostituire i valori nella formula desiderata, otteniamo: N25 (6,9,10). Dopo semplici calcoli, otteniamo la risposta - 16 360 143 800. Se l'attività non dice che è necessario ottenere una soluzione numerica, puoi fornirla sotto forma di fattoriali.
Problema 4
Tre persone hanno chiesto numeri da uno a dieci.Trova la probabilità che i numeri di qualcuno corrispondano. Innanzitutto, dobbiamo scoprire il numero di tutti i risultati: nel nostro caso è un migliaio, cioè dieci alla terza potenza. Ora troveremo il numero di opzioni quando tutti avranno chiesto numeri diversi, per questo moltiplichiamo dieci, nove e otto. Da dove vengono questi numeri? Il primo pensa a un numero, ha dieci opzioni, il secondo ne ha già nove e il terzo deve scegliere tra le otto rimanenti, quindi otteniamo 720 possibili opzioni. Come abbiamo calcolato in precedenza, ci sono 1000 varianti in totale e 720 senza ripetizioni, quindi, siamo interessati alle restanti 280. Ora abbiamo bisogno di una formula per trovare la probabilità classica: P =. Abbiamo ottenuto la risposta: 0,28.
