Trapez je poseban slučaj četverokuta, ykoji je jedan par stranica paralelan. Izraz "trapezij" potječe od grčke riječi τράπεζα, što znači "stol", "stol". U ovom ćemo članku pogledati vrste trapeza i njegova svojstva. Uz to ćemo shvatiti kako izračunati pojedine elemente ovog geometrijskog lika. Na primjer, dijagonala jednakokrakog trapeza, središnja linija, područje itd. Materijal je predstavljen u stilu elementarne popularne geometrije, odnosno u lako dostupnom obliku.
Opće informacije
Prvo, shvatimo što ječetverokut. Ovaj je oblik poseban slučaj mnogougla s četiri stranice i četiri vrha. Dva vrha četverokuta koja nisu susjedna nazivaju se suprotna. Isto se može reći i za dvije susjedne strane. Glavne vrste četverokuta su paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat, trapez i deltoid.
Dakle, natrag na trapezoide.Kao što smo rekli, ovaj lik ima dvije paralelne strane. Zovu se baze. Ostale dvije (ne paralelne) su stranice. U materijalima za ispite i razne testove vrlo često možete pronaći zadatke vezane uz trapezij, čije rješenje često zahtijeva od studenta znanje koje nije predviđeno programom. Školski tečaj geometrije upoznaje studente sa svojstvima kutova i dijagonala, kao i srednjom linijom jednakokrakog trapeza. Ali osim toga, spomenuti geometrijski lik ima i druge značajke. Ali o njima malo kasnije ...
Vrste trapeza
Postoje mnoge vrste ove brojke. Međutim, najčešće je uobičajeno razmatrati dvije od njih - jednakokraku i pravokutnu.
1. Pravokutni trapez je lik na kojem je jedna od bočnih stranica okomita na osnove. Njegova su dva kuta uvijek jednaka devedeset stupnjeva.
2. Jednakokraki trapez je geometrijska figura čije su stranice jednake jedna drugoj. To znači da su i kutovi na bazama u paru jednaki.
Glavni principi metodologije za proučavanje svojstava trapeza
Glavno načelo je upotrebatakozvani pristup zadatku. Zapravo, nije potrebno uvoditi nova svojstva ove figure u teorijski tečaj geometrije. Mogu se otvoriti i formulirati u procesu rješavanja različitih problema (boljih od sistemskih). Istodobno, vrlo je važno da učitelj zna koje zadatke treba dati učenicima u jednom ili drugom trenutku obrazovnog procesa. Štoviše, svako svojstvo trapeza može biti predstavljeno kao ključni zadatak u sustavu zadataka.
Drugo načelo je tzvspiralna organizacija proučavanja "izvanrednih" svojstava trapeza. To podrazumijeva povratak u procesu učenja pojedinačnim značajkama dane geometrijske figure. To učenicima olakšava pamćenje. Na primjer, svojstvo četiri boda. To se može dokazati proučavanjem sličnosti i naknadnim korištenjem vektora. A jednaka veličina trokuta uz bočne stranice slike može se dokazati primjenom svojstava trokuta jednakih visina nacrtanih na stranice koje leže na jednoj ravnoj crti, već i uporabom formule S = 1/2 (ab * sinα). Uz to, možete razraditi teorem sinusa na upisanom trapezu ili pravokutni trokut na opisanom trapezu itd.
Primjena značajki "izvan programa"geometrijska figura u sadržaju školskog tečaja zadaća je tehnologije njihove nastave. Stalna privlačnost proučavanim svojstvima tijekom dovršavanja drugih tema omogućava studentima dublje razumijevanje trapeza i osigurava uspjeh u rješavanju dodijeljenih zadataka. Dakle, krenimo s proučavanjem ove prekrasne figure.
Elementi i svojstva jednakokrakog trapeza
Kao što smo već primijetili, ovaj geometrijskilikovi sa strane su jednaki. Poznat je i kao redoviti trapez. I zašto je tako izvanredan i zašto je dobio takvo ime? Osobitosti ove figure uključuju činjenicu da ima jednake ne samo stranice i kutove u osnovi, već i dijagonale. Uz to, zbroj kutova jednakokrakog trapeza iznosi 360 stupnjeva. Ali to nije sve! Od svih poznatih trapeza, samo oko jednakokrakog može se opisati krug. To je zbog činjenice da je zbroj suprotnih kutova ove figure 180 stupnjeva i samo se pod tim uvjetom može opisati krug oko četverokuta. Sljedeće svojstvo razmatrane geometrijske figure je da će udaljenost od vrha baze do projekcije suprotnog vrha na ravnu crtu koja sadrži tu bazu biti jednaka središnjoj crti.
Sada ćemo shvatiti kako pronaći kutove jednakokrakog trapeza. Razmotrite rješenje ovog problema, pod uvjetom da su dimenzije stranica slike poznate.
odluka
Obično se obično označava četverokutslova A, B, C, D, gdje su osnove BS i PAKO. U jednakokrakom trapezu stranice su jednake. Pretpostavit ćemo da je njihova veličina jednaka X, a veličine baza jednake Y i Z (manje i veće). Da biste izvršili proračun, potrebno je iz kuta B izvući visinu H. Rezultat je pravokutni trokut ABN, gdje je AB hipotenuza, a BN i AH katete. Izračunavamo veličinu kraka AH: od veće baze oduzmemo manju i rezultat podijelimo s 2. Zapisujemo ga u obliku formule: (ZY) / 2 = F. Sada, za izračun akutnog kuta trokuta koristimo funkciju cos. Dobivamo sljedeći zapis: cos (β) = X / F. Sada izračunavamo kut: β = arcos (X / F). Nadalje, poznavajući jedan kut, možemo odrediti drugi, za to izvodimo elementarnu aritmetičku operaciju: 180 - β. Svi su kutovi definirani.
Postoji i drugo rješenje za ovaj problem.Na početku spuštamo iz kuta visinu N. Izračunajte vrijednost noge BN. Znamo da je kvadrat hipotenuze pravokutnog trokuta jednak zbroju kvadrata kateta. Dobivamo: BN = √ (X2-F2). Dalje koristimo trigonometrijsku funkciju tg. Kao rezultat, imamo: β = arktan (BN / F). Pronađen je oštar kut. Dalje, definiramo tupi kut na isti način kao u prvoj metodi.
Svojstvo jednakokrakih trapezoidnih dijagonala
Prvo, zapišimo četiri pravila. Ako su dijagonale u jednakokrakom trapezu okomite, tada:
- visina lika bit će jednaka zbroju osnova, podijeljenih s dva;
- jednaka su mu visina i srednja crta;
- površina trapeza bit će jednaka kvadratu visine (srednja crta, polovica zbroja baza);
- kvadrat dijagonale jednak je polovici kvadrata zbroja baza ili dvostrukom kvadratu srednje linije (visine).
Sada razmotrite formule koje određuju dijagonalu jednakokrakog trapeza. Ovaj blok informacija može se grubo podijeliti u četiri dijela:
1. Formula duljine dijagonale kroz njene stranice.
Pretpostavljamo da je A donja baza, B vrh, C jednake stranice, D dijagonala. U ovom slučaju, duljina se može odrediti kako slijedi:
D = √ (C2 + A * B).
2. Formule za duljinu dijagonale prema kosinusnom teoremu.
Prihvaćamo da je A donja baza, B je gornja,C - jednake stranice, D - dijagonala, α (na donjoj osnovi) i β (na gornjoj bazi) - trapezni kutovi. Dobivamo sljedeće formule pomoću kojih možemo izračunati duljinu dijagonale:
- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);
- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);
- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);
- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).
3. Formule za duljinu dijagonala jednakokrakog trapeza.
Pretpostavljamo da je A donja osnova, B gornja, D dijagonala, M srednja linija, H visina, P površina trapeza, α i β su kutovi između dijagonala. Duljinu određujemo pomoću sljedećih formula:
- D = √ (M2 + H2);
- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);
- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).
U ovom slučaju vrijedi jednakost: sinα = sinβ.
4. Formule za duljinu dijagonale u smislu stranica i visine.
Pretpostavljamo da je A donja baza, B vrh, C stranice, D dijagonala, H visina, α kut na dnu baze.
Duljinu određujemo pomoću sljedećih formula:
- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);
- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);
- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).
Elementi i svojstva pravokutnog trapeza
Pogledajmo što je zanimljivo kod ove geometrijske figure. Kao što smo rekli, pravokutni trapez ima dva prava kuta.
Uz klasičnu definiciju postoje idrugi. Na primjer, pravokutni trapez je trapez s jednom stranicom okomitom na osnove. Ili lik s bočnim pravim kutovima. Za ovu vrstu trapeza visina je jednaka stranici koja je okomita na osnove. Srednja crta je segment linije koji povezuje središnje točke dviju stranica. Svojstvo spomenutog elementa je da je paralelan s bazama i jednak je polovici njihove sume.
Idemo sada preko osnovnih formula,definirajući ovu geometrijsku figuru. Zbog toga pretpostavljamo da su A i B osnova; C (okomito na baze) i D - stranice pravokutnog trapeza, M - srednja crta, α - oštri kut, P - područje.
jedan.Bočna stranica, okomita na osnove, jednaka je visini slike (C = H), a jednaka je umnošku duljine druge bočne stranice D i sinusa kuta α s većom osnovom ( C = D * sinα). Uz to, jednak je umnošku tangente oštrog kuta α i razlike baza: C = (A-B) * tgα.
2. Bočna stranica D (koja nije okomita na baze) jednaka je količniku razlike između A i B i kosinusa (α) oštrog kuta ili količnika visine lika H i sinusa sinusa akutni kut: D = (AB) / cos α = C / sinα.
3. Bočna stranica, koja je okomita na baze, jednaka je kvadratnom korijenu razlike između kvadrata D - druge bočne stranice - i kvadrata razlike između baza:
C = √ (D2- (A-B) 2).
4. Stranica D pravokutnog trapeza jednaka je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata stranice C i kvadrata razlike između osnova geometrijskog lika: D = √ (C2 + (A-B) 2).
5. Bočna stranica C jednaka je količniku dijeljenja dvostruke površine zbrojem njezinih baza: C = P / M = 2P / (A + B).
6. Površina se određuje umnoškom M (srednja crta pravokutnog trapeza) s visinom ili bočnom stranicom okomitom na baze: P = M * H = M * C.
7. Stranica C jednaka je količniku dijeljenja udvostručene površine lika umnoškom sinusa oštrog kuta i zbroja njegovih osnova: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).
8. Formule bočne stranice pravokutnog trapeza kroz njegove dijagonale i kut između njih:
- sinα = sinβ;
- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,
gdje su D1 i D2 dijagonale trapeza; α i β su kutovi između njih.
9. Formule za bočnu stranicu kroz kut na donjoj osnovi i ostale stranice: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.
Budući da je trapez s pravim kutom poseban slučaj trapeza, ostatak formula koje definiraju ove brojke odgovarat će pravokutnoj.
Upisana svojstva kruga
Ako uvjet kaže da je kružnica upisana u pravokutni trapez, tada se mogu koristiti sljedeća svojstva:
- zbroj osnova jednak je zbroju stranica;
- udaljenosti od vrha pravokutnog oblika do točaka dodira upisane kružnice uvijek su jednake;
- visina trapeza jednaka je bočnoj strani, okomita na osnove i jednaka promjeru kruga;
- središte kruga je točka u kojoj se sijeku simetrale uglova;
- ako je bočna stranica dodirnom točkom podijeljena na segmente H i M, tada je polumjer kružnice jednak kvadratnom korijenu umnoška tih segmenata;
- četverokut koji čine dodirne točke, vrh trapeza i središte upisane kružnice - ovo je kvadrat čija je stranica jednaka radijusu;
- površina slike jednaka je umnošku osnova i umnošku poluzbroja osnova na njegovu visinu.
Sličan trapez
Ova je tema vrlo prikladna za proučavanje svojstavaovaj geometrijski oblik. Na primjer, dijagonale dijele trapez u četiri trokuta, a oni koji su susjedni s bazama slični su, a sa strane jednaki. Ova se izjava može nazvati svojstvom trokuta u koje je trapez podijeljen dijagonalama. Prvi dio ove tvrdnje dokazuje se znakom sličnosti pod dva kuta. Za dokazivanje drugog dijela bolje je koristiti donju metodu.
Dokaz teorema
Prihvaćamo da je broj ABSD-a (BP i BS osnovatrapezij) dijeli se VD i AC dijagonalama. Točka njihova presjeka je O. Dobivamo četiri trokuta: AOS - na donjoj osnovi, BOS - na gornjoj bazi, ABO i SOD na bočnim stranama. Trokuti SOD i BFB imaju zajedničku visinu ako su im segmenti BO i OD baze. Dobivamo da je razlika između njihovih područja (P) jednaka razlici između ovih segmenata: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Dakle, PSOD = PBOS / K. Slično tome, trokuti BFB i AOB imaju zajedničku visinu. Za njihove baze uzimamo segmente SB i OA. Dobivamo PBOS / PAOB = SO / OA = K i PAOB = PBOS / K. Iz ovoga proizlazi da je PSOD = PAOB.
Za konsolidaciju gradiva preporučuju se studentipronaći vezu između područja dobivenih trokuta, na koja je trapez podijeljen svojim dijagonalama, rješavajući sljedeći problem. Poznato je da su područja biofeedback-a i AOD-trokuta jednaka, potrebno je pronaći područje trapeza. Budući da je PSOD = PAOB, to znači da je PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz sličnosti trokuta BFB i AOD proizlazi da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Prema tome, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Dobivamo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Tada je PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.
Svojstva sličnosti
Nastavljajući razvijati ovu temu, može se dokazati idruge zanimljive osobine trapeza. Dakle, uz pomoć sličnosti može se dokazati svojstvo segmenta koji prolazi kroz točku koja nastaje presjekom dijagonala ovog geometrijskog lika, paralelno s bazama. Da bismo to učinili, riješit ćemo sljedeći problem: potrebno je pronaći duljinu segmenta RK, koji prolazi kroz točku O. Iz sličnosti trokuta AOD i BFB proizlazi da je AO / OS = AD / BS . Iz sličnosti trokuta AOR i ASB proizlazi da je AO / AC = RO / BS = PAKLO / (BS + PAKLO). Odavde dobivamo taj RO = BS * PAKLO / (BS + PAKLO). Slično tome, iz sličnosti trokuta DOK i DBS proizlazi da je OK = BS * PAKLO / (BS + PAKLO). Odavde dobivamo da je RO = OK i RK = 2 * BS * PAKLO / (BS + PAKLO). Segment koji prolazi kroz točku presijecanja dijagonala, paralelno s bazama i povezujući dvije stranice, prepolovljen je točkom presjeka. Njegova je duljina harmonijska sredina osnove lika.
Uzmite u obzir sljedeću trapezoidnu kvalitetu, kojanaziva svojstvo od četiri točke. Točke presjeka dijagonala (O), sjecište produžetka bočnih stranica (E), kao i središnje točke baza (T i G) leže uvijek na istoj liniji. To se lako dokazuje metodom sličnosti. Rezultirajući trokuti BES i AED slični su i u svakom od njih medijani ET i EZ dijele kut u vrhu E na jednake dijelove. Slijedom toga, točke E, T i Ž leže na jednoj ravnoj crti. Na isti su se način točke T, O i Zh smjestile na jednoj pravoj liniji, a sve to proizlazi iz sličnosti trokuta BFB i AOD. Iz ovoga zaključujemo da će sve četiri točke - E, T, O i F - ležati na jednoj ravnoj crti.
Korištenjem takvih trapeza može se predložitikako bi učenici pronašli duljinu segmenta (LF) koji dijeli lik na dva slična. Ovaj segment mora biti paralelan s bazama. Budući da su dobiveni trapezi ALPD i LBSF slični, tada je BS / LF = LF / AD. Slijedi da je LF = √ (BS * PAKLO). Dobivamo da segment koji dijeli trapez na dva slična ima duljinu jednaku geometrijskoj sredini duljina osnova slika.
Razmotrimo sljedeće svojstvo sličnosti.Temelji se na segmentu koji dijeli trapez na dvije figure jednake veličine. Pretpostavljamo da je ABSD trapez podijeljen segmentom EN na dva slična. S vrha B spušta se visina koja je dijelom segmenta EH podijeljena na dva dijela - B1 i B2. Dobivamo: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (PAKO + EH) * B2 / 2 i PABSD = (BS + PAKLO) * (B1 + B2) / 2. Zatim sastavljamo sustav čija je prva jednadžba (BS + EH) * B1 = (PAKO + EH) * B2, a druga (BS + EH) * B1 = (BS + PAKLO) * (B1 + B2) / 2. Iz toga slijedi da je B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) i BS + EH = ((BS + PAKLO) / 2) * (1 + B2 / B1). Dobivamo da je duljina segmenta koji dijeli trapez na dvije jednake veličine jednaka je srednjem kvadratu duljina baza: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Nalazi sličnosti
Dakle, dokazali smo da:
1. Segment koji povezuje sredinu bočnih stranica na trapezu paralelan je BP i BS i jednak je aritmetičkoj sredini BS i BP (duljina osnove trapeza).
2. Pravac koji prolazi kroz točku O presjeka dijagonala paralelnih s PAKLOM i BS bit će jednak harmoničnoj sredini brojeva PAKLA i BS (2 * BS * PAKLO / (BS + PAKLO)).
3. Segment koji dijeli trapez na slične ima duljinu geometrijske sredine osnova OS i PAKLA.
4. Element koji dijeli lik na dvije jednake veličine ima duljinu srednjih kvadratnih brojeva BP i BS.
Da bi učvrstili gradivo i shvatili vezu izmeđurazmatrane segmente, student ih treba izgraditi za određeni trapez. Lako može prikazati srednju liniju i segment koji prolazi kroz točku O - presjek dijagonala lika - paralelno s bazama. Ali gdje će se nalaziti treći i četvrti? Ovaj će odgovor voditi učenika da otkrije željeni odnos između prosjeka.
Segment koji povezuje središnje točke trapezoidnih dijagonala
Uzmite u obzir sljedeće svojstvo ove slike.Pretpostavljamo da je segment ML paralelan s bazama i dijeli dijagonale na pola. Točke presjeka zvat će se Š i Š. Ovaj će segment biti jednak polovici razlike osnova. Analizirajmo ovo detaljnije. MSh - srednja crta ABS trokuta, jednaka je BS / 2. MCh je srednja crta ABD trokuta, jednaka je BP / 2. Tada dobivamo taj SHSH = MSH-MSH, dakle, SHSH = PAKLO / 2-BS / 2 = (PAKO + VS) / 2.
Težište
Da vidimo kako se to određujeovaj element za zadani geometrijski oblik. Da biste to učinili, potrebno je proširiti baze u suprotnim smjerovima. Što to znači? Potrebno je dodati donji na gornju bazu - na bilo koju stranu, na primjer, udesno. I produžite donju za duljinu gornje ulijevo. Dalje ih povezujemo dijagonalom. Točka presjeka ovog segmenta sa srednjom linijom slike je težište trapeza.
Upisani i opisani trapezoidi
Nabrojimo značajke takvih oblika:
1. Trapezoid se može upisati u krug samo ako je jednakokračan.
2. Trapezoid se može opisati oko kruga, pod uvjetom da je zbroj duljina njihovih osnova jednak zbroju duljina bočnih stranica.
Posljedice upisanog kruga:
1. Visina opisanog trapeza uvijek je jednaka dva polumjera.
2. Bočna strana opisanog trapeza promatra se od središta kruga pod pravim kutom.
Prva je posljedica očita, ali da se dokažedrugo, potrebno je utvrditi da je kut SOD-a ispravan, što u stvari također neće biti teško. Ali znanje o ovom svojstvu omogućit će korištenje pravokutnog trokuta pri rješavanju problema.
Ajmo sada konkretizirati ove posljedice zajednakokraki trapez koji je upisan u krug. Dobivamo da je visina geometrijska sredina osnove slike: H = 2R = √ (BS * PAKLO). Vježbajući osnovnu tehniku rješavanja problema za trapezoide (princip držanja dviju visina), student mora riješiti sljedeći zadatak. Pretpostavljamo da je BT visina jednakokračnog lika ABSD-a. Potrebno je pronaći segmente AT i TD. Koristeći gore opisanu formulu, to neće biti teško.
Sada shvatimo kako odrediti polumjerzaokružite pomoću područja ograničenog trapeza. Spuštamo visinu od vrha B do baze PAKLA. Budući da je kružnica upisana u trapez, tada je BS + PAKLO = 2AB ili AB = (BS + PAKLO) / 2. Iz trokuta ABN nalazimo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + PAKLO). PABSD = (BS + PAKLO) * BN / 2, BN = 2R. Dobivamo PABSD = (BS + PAKLO) * R, pa slijedi da je R = PABSD / (BS + PAKLO).
.
Sve formule za srednju liniju trapeza
Sada je vrijeme da prijeđemo na posljednji element ovog geometrijskog oblika. Otkrijmo koja je srednja crta trapezija (M):
1. Kroz baze: M = (A + B) / 2.
2. Kroz visinu, podnožje i kutove:
• M = A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
• M = B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Kroz visinu, dijagonale i kut između njih. Na primjer, D1 i D2 su dijagonale trapeza; α, β - kutovi između njih:
M = D1 * D2 * sinα / 2H = D1 * D2 * sinβ / 2H.
4. Kroz područje i visinu: M = P / N.
