जॉर्ज कैंटर: सेट सिद्धांत, जीवनी और पारिवारिक गणित

जॉर्ज कैंटर (फोटो बाद में लेख में दिया गया है) -जर्मन गणितज्ञ जिन्होंने सेट थ्योरी बनाई और अनंत संख्याओं की अवधारणा को पेश किया, असीम रूप से बड़ी, लेकिन एक दूसरे से अलग। उन्होंने क्रमिक और कार्डिनल संख्याओं को भी परिभाषित किया और उनके अंकगणित का निर्माण किया।

जॉर्ज कैंटर: एक लघु जीवनी

सेंट पीटर्सबर्ग में 03.03.1845 को जन्म।उनके पिता एक डेनिश प्रोटेस्टेंट धर्म जॉर्ज-वाल्डमार कांतोर थे, जो स्टॉक एक्सचेंज सहित व्यापार में शामिल थे। उनकी मां, मारिया बोहेम, कैथोलिक थीं और प्रतिष्ठित संगीतकारों के परिवार से आती थीं। जब १८५६ में जॉर्ज के पिता बीमार पड़ गए, तो परिवार एक हल्के जलवायु की तलाश में, पहले वेसबाडेन और फिर फ्रैंकफर्ट चले गए। लड़के की गणितीय प्रतिभा उसके 15 वें जन्मदिन से पहले ही दिखाई दी जब वह डार्मस्टाट और विसबाडेन के निजी स्कूलों और व्यायामशालाओं में पढ़ रहा था। अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अपने पिता को गणितज्ञ बनने के अपने दृढ़ इरादे के बारे में आश्वस्त किया, इंजीनियर नहीं।

१८६३ में ज्यूरिख विश्वविद्यालय में एक संक्षिप्त अध्ययन के बाद, कांतोर भौतिकी, दर्शन और गणित का अध्ययन करने के लिए बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित हो गए। वहाँ उसे सिखाया गया था:

• कार्ल थियोडोर वीयरस्ट्रैस, जिनकी विश्लेषण में विशेषज्ञता शायद जॉर्ज पर सबसे प्रभावशाली थी;
• अर्न्स्ट एडुआर्ड कुमर, जिन्होंने उच्च अंकगणित पढ़ाया;
• लियोपोल्ड क्रोनकर, एक संख्या सिद्धांतकार जिन्होंने बाद में कैंटर का विरोध किया।

गोटिंगेन विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर बिताने के बाद1866, अगले वर्ष, जॉर्ज ने अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध को "गणित में, प्रश्न पूछने की कला समस्याओं को हल करने से अधिक मूल्यवान है" शीर्षक से लिखा, एक समस्या के बारे में जिसे कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने डिस्क्विशन्स एरिथमेटिका (1801) में अनसुलझा छोड़ दिया। बर्लिन स्कूल फॉर गर्ल्स में संक्षेप में पढ़ाने के बाद, कांटोर ने हाले विश्वविद्यालय में काम करना शुरू किया, जहां वे अपने जीवन के अंत तक बने रहे, पहले एक शिक्षक के रूप में, 1872 से एक सहायक प्रोफेसर के रूप में और 1879 से एक प्रोफेसर के रूप में।

अनुसंधान

१८६९ से १८७३ तक १० कार्यों की एक श्रृंखला की शुरुआत मेंजॉर्ज कैंटर ने संख्या सिद्धांत माना। काम ने विषय के प्रति उनके जुनून, गॉस के उनके अध्ययन और क्रोनकर के प्रभाव को दर्शाया। हाले में कैंटोर के एक सहयोगी हेनरिक एडुआर्ड हेइन के सुझाव पर, जिन्होंने उनकी गणितीय प्रतिभा को पहचाना, उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत की ओर रुख किया, जिसमें उन्होंने वास्तविक संख्याओं की अवधारणा का विस्तार किया।

परिसर के कार्य पर काम से शुरू1854 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन के चर, 1870 में कैंटर ने दिखाया कि इस तरह के फ़ंक्शन को केवल एक ही तरीके से दर्शाया जा सकता है - त्रिकोणमितीय श्रृंखला। संख्याओं (अंकों) के एक समूह पर विचार जो इस तरह के दृष्टिकोण का खंडन नहीं करेगा, सबसे पहले, 1872 में, परिमेय संख्याओं (पूर्णांकों के अंश) के अभिसरण अनुक्रमों के संदर्भ में अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा के लिए और फिर काम की शुरुआत के लिए नेतृत्व किया। उनके पूरे जीवन का काम, सेट सिद्धांत और अनंत संख्याओं की अवधारणा।

समुच्चय सिद्धान्त

जॉर्ज कैंटर, जिनके सेट थ्योरी का जन्म हुआ थाब्राउनश्वेग के तकनीकी संस्थान के गणितज्ञ के साथ पत्राचार में, रिचर्ड डेडेकिंड, बचपन से ही उनके साथ दोस्त थे। वे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि समुच्चय, परिमित या अनंत, तत्वों का एक संग्रह है (उदाहरण के लिए, संख्याएं, {0, ± 1, ± 2...}) जिनकी एक निश्चित संपत्ति होती है, जबकि उनके व्यक्तित्व को बनाए रखते हैं। लेकिन जब जॉर्ज कैंटर ने अपनी विशेषताओं (उदाहरण के लिए, {ए, बी, सी} से {1, 2, 3}) का अध्ययन करने के लिए एक-से-एक पत्राचार लागू किया, तो उन्होंने जल्दी ही महसूस किया कि वे अपनी डिग्री में भिन्न हैं, यहां तक ​​​​कि यदि वे अनंत समुच्चय थे, अर्थात समुच्चय, जिसका एक भाग या उपसमुच्चय उतनी ही वस्तुएँ शामिल करता है जितनी वह स्वयं। उनकी इस पद्धति ने जल्द ही आश्चर्यजनक परिणाम दिए।

१८७३ में जॉर्ज कैंटोर (गणितज्ञ) ने दिखाया किपरिमेय संख्याएं, हालांकि अनंत हैं, गणनीय हैं, क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं (यानी, 1, 2, 3, आदि) के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि अपरिमेय और परिमेय से मिलकर बनी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनंत और बेशुमार है। अधिक विरोधाभासी रूप से, कैंटर ने साबित किया कि सभी बीजीय संख्याओं के सेट में सभी पूर्णांकों के सेट के रूप में कई तत्व होते हैं, और यह कि अनुवांशिक संख्याएं जो बीजगणितीय नहीं हैं, जो अपरिमेय संख्याओं का सबसेट हैं, बेशुमार हैं और इसलिए, उनकी संख्या अधिक है पूर्णांकों की तुलना में। , और इसे अनंत माना जाना चाहिए।

विरोधियों और समर्थकों

लेकिन कैंटर का काम, जिसमें उन्होंने सबसे पहले सामने रखाइन परिणामों को क्रेल पत्रिका में प्रकाशित नहीं किया गया था, क्योंकि समीक्षकों में से एक क्रोनकर ने इसका कड़ा विरोध किया था। लेकिन डेडेकाइंड के हस्तक्षेप के बाद, इसे 1874 में "सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की विशेषता गुणों पर" शीर्षक के तहत प्रकाशित किया गया था।

विज्ञान और व्यक्तिगत जीवन

उसी वर्ष, शहद के दौरानमहीनों अपनी पत्नी वैली गुटमैन के साथ इंटरलेकन, स्विट्जरलैंड में, कांतोर डेडेकिंड से मिले, जिन्होंने उनके नए सिद्धांत के पक्ष में बात की। जॉर्ज का वेतन कम था, लेकिन अपने पिता के पैसे से, जिनकी मृत्यु 1863 में हुई, उन्होंने अपनी पत्नी और पांच बच्चों के लिए एक घर बनाया। उनकी कई रचनाएँ स्वीडन में नई पत्रिका एक्टा मैथमैटिका में प्रकाशित हुई हैं, जिसे गेस्टा मिट्टाग-लेफ़लर द्वारा संपादित और स्थापित किया गया है, जो जर्मन गणितज्ञ की प्रतिभा को पहचानने वाले पहले लोगों में से थे।

तत्वमीमांसा के साथ संबंध

कैंटोर का सिद्धांत बिल्कुल नया विषय बन गया हैअनंत के गणित से संबंधित अध्ययन (उदाहरण के लिए, श्रृंखला 1, 2, 3, आदि, और अधिक जटिल सेट), जो काफी हद तक एक-से-एक पत्राचार पर निर्भर थे। निरंतरता और अनंत से संबंधित प्रश्न प्रस्तुत करने के लिए कैंटर के नए तरीकों के विकास ने उनके शोध को एक अस्पष्ट चरित्र दिया।

जब उन्होंने तर्क दिया कि अनंत संख्याएँ वास्तविक हैंअस्तित्व में, उन्होंने वास्तविक और संभावित अनंत के साथ-साथ उनके माता-पिता द्वारा दी गई प्रारंभिक धार्मिक शिक्षा के संबंध में प्राचीन और मध्ययुगीन दर्शन की ओर रुख किया। 1883 में, अपनी पुस्तक फंडामेंटल्स ऑफ जनरल सेट थ्योरी में, कैंटर ने अपनी अवधारणा को प्लेटो के तत्वमीमांसा के साथ जोड़ा।

क्रोनकर, जिन्होंने तर्क दिया कि "अस्तित्व"केवल पूर्ण संख्याएं ("भगवान ने पूर्ण संख्याएं बनाईं, बाकी मनुष्य का काम है"), कई वर्षों तक उनके तर्क को खारिज कर दिया और बर्लिन विश्वविद्यालय में उनकी नियुक्ति में बाधा डाली।

अनंत संख्या

1895-97 में।जॉर्ज कैंटर ने अपने सबसे प्रसिद्ध काम में अनंत क्रमिक और कार्डिनल संख्याओं सहित निरंतरता और अनंतता की अपनी अवधारणा को पूरी तरह से तैयार किया, जिसका शीर्षक "ट्रांसफ़िनिट नंबरों के सिद्धांत के निर्माण में योगदान" (1915) के तहत प्रकाशित किया गया था। इस निबंध में उनकी अवधारणा है, जिसके लिए उनका नेतृत्व इस प्रदर्शन के द्वारा किया गया था कि एक अनंत सेट को इसके एक उपसमुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।

सबसे छोटी ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल संख्या के तहतउनका मतलब किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी से था जिसे प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। कैंटर ने इसे एलेफ-जीरो कहा। बड़े ट्रांसफ़ाइनेट सेट को एलेफ़-वन, एलेफ़-टू, आदि के रूप में दर्शाया जाता है। फिर उन्होंने ट्रांसफ़िनिट नंबरों का अंकगणित विकसित किया, जो कि परिमित अंकगणित के अनुरूप था। इस प्रकार, उन्होंने अनंत की अवधारणा को समृद्ध किया।

उन्होंने जिस विरोध का सामना किया और समययह कि उनके विचारों को पूरी तरह से स्वीकार करने के लिए लिया गया था, यह प्राचीन प्रश्न के पुनर्मूल्यांकन की कठिनाई के कारण है कि संख्या क्या है। कैंटर ने दिखाया कि एक रेखा पर बिंदुओं के एक सेट में एलेफ-शून्य की तुलना में अधिक शक्ति होती है। इसने सातत्य परिकल्पना की प्रसिद्ध समस्या को जन्म दिया - एलेफ़ शून्य और रेखा पर बिंदुओं की कार्डिनैलिटी के बीच कोई कार्डिनल नहीं हैं। इस समस्या ने २०वीं शताब्दी के पहले और दूसरे भाग में बहुत रुचि पैदा की और कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन सहित कई गणितज्ञों द्वारा इसका अध्ययन किया गया।

मंदी

1884 से जॉर्ज कैंटर की जीवनीउनकी मानसिक बीमारी की शुरुआत से भारी पड़ गया था, लेकिन उन्होंने सक्रिय रूप से काम करना जारी रखा। 1897 में उन्होंने ज्यूरिख में पहली अंतरराष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस आयोजित करने में मदद की। आंशिक रूप से क्योंकि क्रोनकर द्वारा उनका विरोध किया गया था, उन्होंने अक्सर युवा महत्वाकांक्षी गणितज्ञों के साथ सहानुभूति व्यक्त की और उन्हें नए विचारों से खतरा महसूस करने वाले शिक्षकों से उत्पीड़न से मुक्त करने का एक तरीका खोजने की कोशिश की।

मान्यता

सदी के मोड़ पर, उनका काम पूरी तरह से थाकार्यों, विश्लेषण और टोपोलॉजी के सिद्धांत के आधार के रूप में मान्यता प्राप्त है। इसके अलावा, कैंटर जॉर्ज की पुस्तकों ने गणित की तार्किक नींव के सहज और औपचारिक स्कूलों के आगे विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। इसने शिक्षण प्रणाली को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया है और अक्सर "नए गणित" से जुड़ा होता है।

१९११ में जी.कांतोर उन लोगों में शामिल थे जिन्हें स्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की 500वीं वर्षगांठ मनाने के लिए आमंत्रित किया गया था। वह बर्ट्रेंड रसेल से मिलने की उम्मीद में वहां गए, जिन्होंने अपने हाल ही में प्रकाशित काम प्रिंसिपिया मैथमैटिका में बार-बार जर्मन गणितज्ञ का उल्लेख किया, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। विश्वविद्यालय ने कांतोर को मानद उपाधि से सम्मानित किया, लेकिन बीमारी के कारण वह व्यक्तिगत रूप से पुरस्कार स्वीकार नहीं कर सके।

कांतोर 1913 में सेवानिवृत्त हुए।, गरीबी में रहे और प्रथम विश्व युद्ध के दौरान भूखे रहे। 1915 में उनके 70वें जन्मदिन के उपलक्ष्य में होने वाले समारोह युद्ध के कारण रद्द कर दिए गए, लेकिन उनके घर पर एक छोटा सा समारोह हुआ। 06.01.1918 को हाले में एक मनोरोग अस्पताल में उनका निधन हो गया, जहां उन्होंने अपने जीवन के अंतिम वर्ष बिताए।

जॉर्ज कैंटर: जीवनी। एक परिवार

9 अगस्त, 1874जर्मन गणितज्ञ ने वैली गुटमैन से शादी की। दंपति के 4 बेटे और 2 बेटियां थीं। आखिरी बच्चा 1886 में कांतोर द्वारा अधिग्रहित एक नए घर में पैदा हुआ था। उनके पिता की विरासत ने उन्हें अपने परिवार का समर्थन करने में मदद की। १८९९ में उनके सबसे छोटे बेटे की मृत्यु ने कांतोर के स्वास्थ्य की स्थिति को बहुत प्रभावित किया - तब से उन्होंने अवसाद नहीं छोड़ा।