On peut être sûr à cent pour centPour cent, qui est la question de ce qui est le carré de l'hypoténuse, tout adulte répondra en toute sécurité: "La somme des carrés des jambes." Ce théorème est fermement ancré dans l'esprit de chaque personne éduquée, mais demandez simplement à quelqu'un de le prouver, ce qui peut entraîner des difficultés. Par conséquent, rappelons-nous et considérons différentes manières de prouver le théorème de Pythagore.
Biographie Aperçu
Le théorème de Pythagore est familier à presque tout le monde, maispour une raison quelconque, la biographie de celui qui l'a produite n'était pas si populaire. C'est réparable. Par conséquent, avant d'explorer différentes manières de prouver le théorème de Pythagore, vous devez vous familiariser brièvement avec sa personnalité.
Pythagore - philosophe, mathématicien, penseur originaire deGrèce antique Aujourd'hui, il est très difficile de distinguer sa biographie des légendes qui se sont développées à la mémoire de ce grand homme. Mais comme il ressort des travaux de ses disciples, Pythagore de Samos est né sur l’île de Samos. Son père était un tailleur de pierre ordinaire, mais sa mère appartenait à une famille noble.
A en juger par la légende, la naissance de Pythagoreprédit par une femme nommée Pythia, en l'honneur de laquelle le garçon a été nommé. Selon sa prédiction, un garçon né était censé apporter beaucoup d'avantages et de bien à l'humanité. Qu'est-ce qu'il a réellement fait.
La naissance d'un théorème
Dans sa jeunesse, Pythagore est passé de Samos àL'Egypte pour y rencontrer des sages égyptiens célèbres. Après leur rencontre, il a été autorisé à étudier, où il connaissait toutes les grandes réalisations de la philosophie, des mathématiques et de la médecine égyptiennes.
C’est probablement en Égypte que Pythagore s’est inspiréla majesté et la beauté des pyramides et créé sa grande théorie. Cela peut choquer les lecteurs, mais les historiens modernes pensent que Pythagore n’a pas prouvé sa théorie. Il a seulement transmis ses connaissances à ses disciples, qui ont ensuite effectué tous les calculs mathématiques nécessaires.
Quoi qu’il en soit, aucun n’est connu aujourd’huiune technique pour prouver ce théorème, mais plusieurs à la fois. Aujourd'hui, on ne peut que deviner comment exactement les anciens Grecs ont effectué leurs calculs. Nous allons donc examiner ici différentes manières de prouver le théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore
Avant de commencer tout calcul, vous devez déterminer quelle théorie prouver. Le théorème de Pythagore se lit comme suit: «Dans un triangle dont l'un des angles est égal à 90o"La somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse."
Il existe 15 façons différentes de prouver le théorème de Pythagore. C'est un nombre assez important, nous allons donc prêter attention aux plus populaires d'entre eux.
Méthode 1
Tout d'abord, laissez-nous savoir ce qui nous est donné. Ces données s’appliqueront également à d’autres méthodes de démonstration du théorème de Pythagore. Il est donc utile de rappeler immédiatement toute la notation disponible.
Supposons qu'un triangle rectangle soit donné, avec les jambes a, b et l'hypoténuse égales à c. La première méthode de preuve repose sur le fait qu'un carré doit être tiré d'un triangle rectangle.
Pour ce faire, vous avez besoin d'une longueur de jambe adessinez un segment égal à la jambe, et vice versa. Donc, il devrait tourner deux côtés égaux du carré. Il ne reste plus qu'à tracer deux lignes parallèles et le carré est prêt.
Dans la figure résultante, vous devez toujours dessinerun carré avec un côté égal à l'hypoténuse du triangle d'origine. Pour ce faire, à partir des sommets ac et cv, tracez deux segments parallèles égaux à c. Ainsi, nous obtenons trois côtés du carré, dont l’un est l’hypoténuse des triangles rectangulaires originaux. Il ne reste plus qu'à dessiner le quatrième segment.
Sur la base du chiffre obtenu, nous pouvons conclure que l'aire du carré extérieur est (a + b)2. Si vous regardez à l'intérieur de la figure, vous pouvez voir qu'en plus du carré intérieur, il comporte quatre triangles rectangulaires. La surface de chacun est 0.5av.
La surface est donc: 4 * 0.5av + s2= 2av + s2
À partir d'ici (a + c)2= 2av + s2
Et donc avec2= un2+ dans2
Le théorème est prouvé.
Méthode deux: triangles similaires
Cette formule pour la démonstration du théorème de Pythagorea été dérivé sur la base de la déclaration de la section géométrie sur des triangles similaires. On dit que la jambe d'un triangle rectangle est proportionnelle à son hypoténuse et que le segment de l'hypoténuse commence à partir du haut de l'angle.o.
Les données initiales restent les mêmes, nous commençons donc immédiatement avec la preuve. Tracez un segment perpendiculaire au côté AB de la LED. Sur la base de la déclaration ci-dessus, les jambes des triangles sont égales:
AC = √ AB * HELL, CB = √ AB * DW.
Pour répondre à la question de savoir comment prouver le théorème de Pythagore, il faut en démontrer la quadrature des deux inégalités.
AC2= AB * HELL et CB2= AB * LW
Nous devons maintenant additionner les inégalités qui en résultent.
AC2+ NE2= AB * (HELL * LW), où HELL + LW = AB
Il s'avère que:
AC2+ NE2= AB * AB
Et donc:
AC2+ NE2= AB2
La démonstration du théorème de Pythagore et diverses méthodes pour la résoudre nécessitent une approche globale de ce problème. Cependant, cette option est l'une des plus simples.
Une autre méthode de calcul
Description de différentes façons de prouver le théorèmePythagore ne peut rien dire jusqu'à ce que vous commenciez à vous exercer de manière indépendante. De nombreuses méthodes incluent non seulement des calculs mathématiques, mais également la construction de nouvelles formes à partir du triangle d'origine.
Dans ce cas, il est nécessaire de construire un autre triangle rectangle du TRI à partir de la jambe de l’avion. Ainsi, il y a maintenant deux triangles avec une jambe latérale commune.
Sachant que les zones de ces figures sont liées comme les carrés de leurs tailles linéaires similaires, alors:
Avecavs * avec2- Cavd* dans2 = Cavd* un2- Cvsd* un2
Avecavs* (avec2-en2) = a2* (Cavd-Cvsd)
avec2-en2= un2
avec2= un2+ dans2
Étant donné que cette option ne convient guère à la 8e année et que différentes méthodes permettent de prouver le théorème de Pythagore, nous pouvons utiliser la méthodologie suivante.
La meilleure façon de prouver le théorème de Pythagore. Les avis
Selon les historiens, cette méthode était la première foisutilisé pour prouver le théorème dans la Grèce antique. C'est le plus simple, puisqu'il ne nécessite absolument aucun calcul. Si vous dessinez correctement le dessin, la preuve de la déclaration selon laquelle un2+ dans2= s2 , sera vu clairement.
Les conditions pour cette méthode seront légèrement différentes de la précédente. Pour prouver le théorème, supposons que le triangle rectangle ABC soit isocèle.
Nous prenons l'hypoténuse AC comme côté de la place etnous subventionnons ses trois partis. En outre, il est nécessaire de tracer deux lignes diagonales dans le carré résultant. Ainsi, pour obtenir quatre triangles isocèles à l'intérieur.
Pour les jambes AB et CB, il est également nécessaire de tracer un carré et de tracer une ligne diagonale dans chacune d’elles. Nous tirons la première ligne du sommet A, la seconde - de C.
Maintenant, vous devez regarder attentivement le dessin résultant. Puisque quatre triangles sont situés sur l'hypoténuse de l'AS, égaux à l'original, et deux sur les jambes, cela indique la véracité de ce théorème.
En passant, grâce à cette technique de démonstration du théorème de Pythagore, la phrase célèbre est née: "Les pantalons pythagoriciens sont égaux dans toutes les directions".
La preuve de J. Garfield
James Garfield est le vingtième président des États-Unis d'Amérique. En plus de laisser sa marque sur l'histoire en tant que dirigeant des États-Unis, il était aussi un autodidacte doué.
Au début de sa carrière, il était ordinaireenseignant dans une école publique, mais est rapidement devenu directeur de l’un des établissements d’enseignement supérieur. Le désir de se développer et lui a permis de proposer une nouvelle théorie de la preuve du théorème de Pythagore. Le théorème et un exemple de solution sont les suivants.
Vous devez d’abord en dessiner deux sur un morceau de papiertriangles rectangulaires afin que la jambe de l'un d'eux soit une continuation de la seconde. Les sommets de ces triangles doivent être connectés pour aboutir à un trapézoïde.
Comme vous le savez, la surface d’un trapèze est égale au produit de la moitié de la somme de ses bases par sa hauteur.
S = a + b / 2 * (a + b)
Si nous considérons le trapèze résultant comme une figure composée de trois triangles, son aire peut être trouvée comme suit:
S = AB / 2 * 2 + s2/ 2
Maintenant, vous devez égaliser les deux expressions source
2av / 2 + s / 2 = (a + c)2/ 2
avec2= un2+ dans2
Plus d'un volume du manuel peut être écrit sur le théorème de Pythagore et les méthodes de sa démonstration. Mais cela a-t-il un sens lorsque cette connaissance ne peut être mise en pratique?
L'application pratique du théorème de Pythagore
Malheureusement, dans les programmes scolaires modernesl'utilisation de ce théorème n'est fournie que dans les problèmes géométriques. Les diplômés quitteront bientôt les murs de l’école, ne sachant jamais comment mettre leurs connaissances et leurs compétences en pratique.
En fait, utilisez le théorème de Pythagore danstout le monde peut faire sa vie quotidienne. Et pas seulement dans les activités professionnelles, mais aussi dans les tâches ménagères ordinaires. Nous considérons plusieurs cas où le théorème de Pythagore et ses méthodes de démonstration peuvent être extrêmement nécessaires.
Le lien entre théorèmes et astronomie
Il semblerait que les étoiles et les triangles sur le papier puissent être connectés. En fait, l'astronomie est un domaine scientifique dans lequel le théorème de Pythagore est largement utilisé.
Par exemple, considérons le mouvement d'un rayon lumineux dans l'espace. On sait que la lumière se déplace dans les deux sens à la même vitesse. La trajectoire AB, par laquelle un rayon de lumière se déplace, est appelée l. Et la moitié du temps nécessaire à la lumière pour aller du point A au point B est appelée t. Et la vitesse du faisceau - avec. Il s'avère que: c * t = l
Si vous regardez ce rayon d'un autreavion, par exemple, d’un vaisseau spatial se déplaçant à une vitesse v, puis avec une telle observation des corps, leur vitesse changera. Dans ce cas, même les éléments fixes vont commencer à se déplacer à une vitesse v dans la direction opposée.
Disons qu'un avion de ligne comique flotte à droite.Ensuite, les points A et B, entre lesquels le faisceau est marqué, vont commencer à se déplacer vers la gauche. De plus, lorsque le faisceau se déplace d'un point A à un point B, le point A parvient à se déplacer et, par conséquent, la lumière arrivera déjà à un nouveau point C. Pour déterminer la moitié de la distance par laquelle le point A s'est déplacé, vous devez multiplier la vitesse du liner par la moitié du temps de parcours du faisceau (t ").
d = t "* v
Et pour trouver la distance qu'un rayon de lumière pourrait parcourir pendant ce temps, vous devez désigner la moitié de la trajectoire du nouveau hêtre et obtenir l'expression suivante:
s = c * t "
Si vous imaginez que les points de lumière sont C et B, ainsi quePuisqu'une doublure d'espacement est le sommet d'un triangle isocèle, le segment du point A à la doublure le divisera en deux triangles rectangles. Par conséquent, grâce au théorème de Pythagore, on peut trouver la distance qu'un rayon de lumière pourrait parcourir.
avec2 = l2 + d2
Cet exemple, bien sûr, n’est pas le plus réussi, car seuls quelques-uns peuvent avoir la chance de l’essayer dans la pratique. Par conséquent, nous considérons des options plus banales pour appliquer ce théorème.
Rayon de transmission du signal mobile
La vie moderne est impossible à imaginer sans l'existence de smartphones. Mais quelle utilisation aurait-il s'ils ne pouvaient pas connecter les abonnés via des communications mobiles?!
La qualité de la communication mobile dépend directement dela hauteur de l’antenne de l’opérateur mobile. Pour calculer dans quelle mesure un téléphone peut recevoir un signal d'une tour mobile, le théorème de Pythagore peut être appliqué.
Supposons que vous ayez besoin de trouver la hauteur approximative d’une tour fixe pour qu’elle puisse propager un signal dans un rayon de 200 kilomètres.
AB (hauteur de la tour) = x;
BC (rayon de transmission du signal) = 200 km;
OS (rayon du globe) = 6380 km;
D'ici
OB = OA + ABOW = r + x
En appliquant le théorème de Pythagore, nous découvrons que la hauteur minimale de la tour devrait être de 2,3 km.
Théorème de Pythagore dans la vie quotidienne
Curieusement, le théorème de Pythagore peut s'avérer êtreutile même dans les tâches ménagères, telles que la détermination de la hauteur d'une garde-robe, par exemple. À première vue, il n’est pas nécessaire d’utiliser des calculs aussi complexes, car vous pouvez simplement prendre des mesures à l’aide d’un ruban à mesurer. Mais beaucoup sont surpris de savoir pourquoi lors du processus d'assemblage, certains problèmes se posent si toutes les mesures ont été prises avec plus de précision.
Le fait est que la garde-robe vaposition horizontale et seulement alors se lève et installe au mur. Par conséquent, la paroi latérale du meuble en train de soulever la structure doit pouvoir passer librement en hauteur et dans la diagonale de la pièce.
Supposons que vous ayez une armoire coulissante d’une profondeur de 800 mm.La distance entre le sol et le plafond est de 2600 mm. Un fabricant de meubles expérimenté dira que la hauteur de l'armoire doit être inférieure de 126 mm à celle de la pièce. Mais pourquoi exactement 126 mm? Prenons un exemple.
Aux dimensions idéales de l’armoire, nous vérifions l’action du théorème de Pythagore:
AC = √ AB2+ √ВС2
AC = √24742+8002= 2600 mm - tout converge.
Supposons que la hauteur de l'armoire ne soit pas de 2474 mm mais de 2505 mm. Puis:
AC = √25052+ √80022629 mm.
Par conséquent, cette armoire ne convient pas pour l'installation dans cette pièce. Étant donné que le soulever à la verticale peut endommager son corps.
Peut-être, après avoir envisagé différentes méthodes de preuveThéorème de Pythagore par différents scientifiques, nous pouvons conclure qu'il est plus que vrai. Maintenant, vous pouvez utiliser les informations reçues dans votre vie quotidienne et être complètement sûr que tous les calculs seront non seulement utiles, mais également corrects.
