Georg Cantor (kuva annetaan myöhemmin artikkelissa) -Saksalainen matemaatikko, joka loi joukko-teorian ja otti käyttöön äärettömän suurten, mutta toisistaan poikkeavien lukujen käsitteen. Hän määritteli myös järjestysnumerot ja kardinaalinumerot ja loi niiden aritmeettisen.
Georg Cantor: lyhyt elämäkerta
Syntynyt Pietarissa 03.03.1845.Hänen isänsä oli tanskalainen protestanttinen uskonto Georg-Waldemar Kantor, joka oli mukana kaupassa, myös pörssissä. Hänen äitinsä Maria Boehm oli katolinen ja tuli arvostettujen muusikoiden perheestä. Kun Georgin isä sairastui vuonna 1856, perhe muutti leudon ilmapiirin etsimiseksi ensin Wiesbadeniin ja sitten Frankfurtiin. Pojan matemaattiset kyvyt ilmestyivät jo ennen hänen 15. syntymäpäiväänsä opiskellessaan Darmstadtin ja Wiesbadenin yksityiskouluissa ja kuntosaleilla. Loppujen lopuksi Georg Cantor vakuutti isänsä lujasta aikomuksestaan tulla matemaatikoksi, ei insinööriksi.
Lyhyen tutkimuksen jälkeen Zürichin yliopistossa vuonna 1863 Kantor siirtyi Berliinin yliopistoon opiskelemaan fysiikkaa, filosofiaa ja matematiikkaa. Siellä hänelle opetettiin:
- Karl Theodor Weierstrass, jonka erikoistuminen analyyseihin oli luultavasti vaikutusvaltaisin Georgiin;
- Ernst Eduard Kummer, joka opetti korkeampaa laskutoimitusta;
- Leopold Kronecker, numeroteoreetikko, joka myöhemmin vastusti Cantoria.
Vietettyään yhden lukukauden Göttingenin yliopistossa vuonnaSeuraavana vuonna vuonna 1866 Georg kirjoitti väitöskirjansa "Matematiikassa kysymysten esittäminen on arvokkaampaa kuin ongelmien ratkaiseminen", joka koski ongelmaa, jonka Karl Friedrich Gauss jätti ratkaisematta Disquisitiones Arithmeticaessa (1801). Lyhyen opettamisen jälkeen Berliinin tyttöjen koulussa Kantor aloitti työskentelyn Hallen yliopistossa, jossa hän pysyi elämänsä loppuun asti ensin opettajana, vuodesta 1872 apulaisprofessorina ja vuodesta 1879 professorina.
tutkimus
Kymmenen teoksen sarjan alussa vuosina 1869-1873Georg Cantor pohti lukuteoriaa. Teos heijasteli hänen intohimoansa aihetta kohtaan, tutkimuksia Gaussista ja Kroneckerin vaikutuksesta. Hallen Cantorin kollegan Heinrich Eduard Heinen ehdotuksesta, joka tunnusti matemaattisen kykynsä, hän kääntyi trigonometristen sarjojen teoriaan, jossa hän laajensi reaalilukujen käsitettä.
Aloitetaan kompleksin toimintaa koskevasta työstäsaksalaisen matemaatikon Bernhard Riemannin muuttuja vuonna 1854, vuonna 1870, Cantor osoitti, että tällainen funktio voidaan esittää vain yhdellä tavalla - trigonometrisillä sarjoilla. Numeroiden (pisteiden) tarkastelu, joka ei olisi ristiriidassa tällaisen näkemyksen kanssa, johti hänet ensinnäkin vuonna 1872 irrationaalisten numeroiden määrittelyyn rationaalilukujen (kokonaislukujen murto-osien) lähentyvinä jaksoina ja sitten työn alkuun koko elämänsä työ, joukko-teoria ja käsite transfiniittiset luvut.
Joukko-teoria
Georg Cantor, jonka joukko-teoria syntyikirjeessä Braunschweigin teknillisen instituutin matemaatikon Richard Dedekindin kanssa oli ystäviä lapsuudesta lähtien. He tulivat siihen tulokseen, että joukot, äärelliset tai äärettömät, ovat joukko elementtejä (esimerkiksi numeroita, {0, ± 1, ± 2 ...}), joilla on tietty ominaisuus säilyttäen samalla yksilöllisyytensä. Mutta kun Georg Cantor käytti henkilökohtaista kirjeenvaihtoa opiskellakseen niiden ominaisuuksia (esimerkiksi {A, B, C} - {1, 2, 3}), hän tajusi nopeasti, että ne eroavat kuulumisasteestaan, vaikka ne olivat äärettömiä joukkoja, eli joukkoja, joiden osa tai osajoukko sisältää yhtä monta esinettä kuin itse. Hänen menetelmä antoi pian yllättäviä tuloksia.
Vuonna 1873 Georg Cantor (matemaatikko) osoitti senrationaaliluvut, vaikka ne ovat äärettömiä, ovat laskettavissa, koska ne voidaan laittaa henkilökohtaiseen vastaavuuteen luonnollisten numeroiden kanssa (eli 1, 2, 3 jne.) Hän osoitti, että reaalilukujen joukko, joka koostuu irrationaalisista ja rationaalisista, on ääretön ja laskematon. Paradoksaalisemmin, Cantor osoitti, että kaikkien algebrallisten numeroiden joukko sisältää yhtä monta elementtiä kuin kaikkien kokonaislukujen joukko ja että transsendenttiset numerot, jotka eivät ole algebrallisia, jotka ovat irrationaalisten numeroiden osajoukkoja, ovat laskemattomia ja siksi niiden lukumäärä on suurempi kuin kokonaislukuja., ja sitä tulisi pitää äärettömänä.
Vastustajat ja kannattajat
Mutta Cantorin työ, jossa hän ensin esittinäitä tuloksia ei julkaistu Krell-lehdessä, koska yksi arvostelijoista, Kronecker, vastusti kiivaasti. Mutta Dedekindin puuttumisen jälkeen se julkaistiin vuonna 1874 otsikolla "Kaikkien todellisten algebrallisten numeroiden ominaispiirteistä".
Tiede ja henkilökohtainen elämä
Samana vuonna hunajan aikanakuukautta vaimonsa Wally Gutmannin kanssa Interlakenissa Sveitsissä Kantor tapasi Dedekindin, joka puhui suotuisasti uudesta teoriastaan. Georgen palkka oli pieni, mutta vuonna 1863 kuolleen isänsä rahoilla hän rakensi talon vaimolleen ja viidelle lapselle. Monet hänen teoksistaan on julkaistu Ruotsissa uudessa Acta Mathematica -lehdessä, jonka on toimittanut ja perustanut Gesta Mittag-Leffler, joka tunnisti ensimmäisten joukossa saksalaisen matemaatikon lahjakkuuden.
Yhteys metafysiikkaan
Cantorin teoriasta on tullut täysin uusi aiheääretön matematiikkaan liittyvä tutkimus (esimerkiksi sarjat 1, 2, 3 jne. ja monimutkaisemmat sarjat), joka riippui suurelta osin henkilökohtaisesta kirjeenvaihdosta. Cantorin uusien menetelmien kehittäminen jatkuvuutta ja äärettömyyttä koskevien kysymysten esittämiseksi antoi tutkimukselle epäselvän luonteen.
Kun hän väitti, että äärettömät luvut ovat todellisiaolemassa, hän kääntyi antiikin ja keskiajan filosofian suhteen todellisen ja potentiaalisen äärettömyyden, samoin kuin varhaisen uskonnollisen koulutuksen suhteen, jonka hänen vanhempansa antoivat hänelle. Vuonna 1883 Cantor yhdisti kirjassaan Fundamentals of General Set Theory käsitteen Platonin metafysiikkaan.
Kronecker, joka väitti "olemassaolon"vain kokonaisluvut ("Jumala loi kokonaisluvut, loput on ihmisen työ"), hylkäsi vuosien ajan hartaasti hänen päättelynsä ja vaikeutti nimittämistä Berliinin yliopistoon.
Transfinite-numerot
Vuosina 1895-97.Georg Cantor muovasi täysin jatkuvuuden ja äärettömyyden käsitteen, mukaan lukien äärettömät järjestysnumerot ja kardinaalinumerot, tunnetuimmassa teoksessaan, joka julkaistiin otsikolla "Myötävaikutus lopullisten numeroiden teorian luomiseen" (1915). Tämä essee sisältää hänen käsitteensä, johon hänet johdettiin osoittamalla, että ääretön joukko voidaan laittaa henkilökohtaiseen kirjeenvaihtoon yhden sen osajoukoista.
Pienimmän transfinite-kardinaalinumeron allahän tarkoitti kaikkien sellaisten sarjojen kardinaalisuutta, jotka voidaan laittaa henkilökohtaiseen kirjeenvaihtoon luonnollisten numeroiden kanssa. Cantor kutsui sitä aleph-zero. Suuria transfinitejoukkoja merkitään aleph-one, aleph-two jne. Sitten hän kehitti transfiniittilukujen aritmeettisen arvon, joka oli analoginen äärellisen aritmeettisen. Siten hän rikastuttaa äärettömyyden käsitettä.
Vastarinta, jota hän kohtasi, ja aikaettä hänen ideoidensa hyväksyminen vaati, johtuu siitä, että oli vaikea arvioida uudelleen muinaista kysymystä siitä, mikä luku on. Cantor osoitti, että viivan pisteillä on suurempi teho kuin aleph-zero. Tämä johti jatkuvuushypoteesin tunnettuun ongelmaan - alefinollan ja viivan pisteiden kardinaalisuuden välillä ei ole kardinaaleja. Tämä ongelma herätti suurta kiinnostusta 1900-luvun ensimmäisellä ja toisella puoliskolla, ja monet matemaatikot, mukaan lukien Kurt Gödel ja Paul Cohen, tutkivat sitä.
masennus
Georg Cantorin elämäkerta vuodesta 1884psyykkisen sairauden puhkeaminen varjoi, mutta hän jatkoi aktiivista työskentelyä. Vuonna 1897 hän auttoi pitämään ensimmäisen kansainvälisen matemaattisen kongressin Zürichissä. Osittain siksi, että Kronecker vastusti häntä, hän tunsi usein myötätuntoa nuorille pyrkiville matemaatikoille ja pyrki löytämään keinon vapauttaa heidät uusien ideoiden uhkaamana tuntemien opettajien sortosta.
tunnustus
Vuosisadan vaihteessa hänen työnsä oli täysintunnustettu funktioteorian, analyysin ja topologian perustaksi. Lisäksi Cantor Georgin kirjat toimivat sysäyksenä matematiikan loogisten perustojen intuitionististen ja formalististen koulujen edelleen kehittämiselle. Tämä on muuttanut merkittävästi opetusjärjestelmää ja liittyy usein "uuteen matematiikkaan".
Vuonna 1911 g.Kantor oli kutsuttujen joukossa juhlimaan Skotlannin St Andrewsin yliopiston 500-vuotisjuhlaa. Hän meni sinne toivoen tapaavansa Bertrand Russellin, joka äskettäin julkaistussa teoksessa Principia Mathematica viittasi toistuvasti saksalaiseen matemaatikkoon, mutta näin ei käynyt. Yliopisto myönsi Kantorille kunniatohtorin tutkinnon, mutta sairauden takia hän ei voinut hyväksyä palkintoa henkilökohtaisesti.
Kantor jäi eläkkeelle vuonna 1913., eli köyhyydessä ja nälkään ensimmäisen maailmansodan aikana. Juhlat hänen 70. syntymäpäivänsä kunniaksi vuonna 1915 peruttiin sodan takia, mutta pieni seremonia pidettiin hänen kotonaan. Hän kuoli 06.01.1918 Hallessa, psykiatrisessa sairaalassa, jossa hän vietti elämänsä viimeiset vuodet.
Georg Cantor: elämäkerta. Perhe
9. elokuuta 1874Saksalainen matemaatikko meni naimisiin Wally Gutmannin kanssa. Pariskunnalla oli 4 poikaa ja 2 tytärtä. Viimeinen lapsi syntyi vuonna 1886 uudessa talossa, jonka Kantor hankki. Hänen isänsä perintö auttoi häntä tukemaan perhettä. Kantorin terveydentilaan vaikutti voimakkaasti nuorimman poikansa kuolema vuonna 1899 - siitä lähtien hän ei ole jättänyt masennusta.
