¿Qué es una tangente a un círculo? Propiedades de la tangente del círculo. Tangente común a dos círculos

Secantes, tangentes: todo esto se podía escuchar cientos de veces en las lecciones de geometría. Pero la graduación de la escuela terminó, pasan los años y todos estos conocimientos se olvidan. ¿Qué conviene recordar?

Esencia

El término "tangente a un círculo",probablemente para todos. Pero casi todo el mundo podrá formular rápidamente su definición. Mientras tanto, una línea tangente es una línea recta que se encuentra en el mismo plano con un círculo que la cruza solo en un punto. Puede haber una gran variedad de ellos, pero todos tienen las mismas propiedades, que se discutirán a continuación. Como puede adivinar, el punto de contacto es el lugar donde el círculo y la línea se cruzan. En cada caso específico, es uno, pero si hay más, entonces ya será una secante.

Historia de descubrimiento y estudio

El concepto de línea tangente se remonta a la antigüedad.La construcción de estas líneas rectas, primero en un círculo y luego en elipses, parábolas e hipérbolas con la ayuda de una regla y un compás, se llevó a cabo incluso en las etapas iniciales del desarrollo de la geometría. Por supuesto, la historia no retuvo el nombre del descubridor, pero es obvio que incluso en ese momento la gente era bastante consciente de las propiedades de la tangente a un círculo.

En los tiempos modernos, el interés por este fenómeno estallóde nuevo, comenzó una nueva ronda de estudio de este concepto en combinación con el descubrimiento de nuevas curvas. Entonces, Galileo introdujo el concepto de cicloide, y Fermat y Descartes construyeron una tangente a él. En cuanto a los círculos, parece que no quedaron secretos para los antiguos de esta zona.

Propiedades

El radio dibujado hasta el punto de intersección será perpendicular a la línea. eso

la principal, pero no la única propiedad quetiene una tangente al círculo. Otra característica importante ya incluye dos líneas rectas. Entonces, a través de un punto que se encuentra fuera del círculo, puede dibujar dos tangentes, mientras que sus segmentos serán iguales. Hay un teorema más sobre este tema, pero rara vez se aprueba dentro del marco de un curso escolar estándar, aunque es extremadamente conveniente para resolver algunos problemas. Suena así. Desde un punto ubicado fuera del círculo, se dibujan una tangente y una secante. Se forman los segmentos AB, AC y AD. A es la intersección de líneas, B es el punto de tangencia, C y D son intersecciones. En este caso, se cumplirá la siguiente igualdad: la longitud de la tangente al círculo, al cuadrado, será igual al producto de los segmentos AC y AD.

Hay una consecuencia importante de lo anterior.Para cada punto del círculo, puede dibujar una línea tangente, pero solo una. La prueba de esto es bastante simple: teóricamente, dejando caer la perpendicular desde el radio sobre ella, descubrimos que el triángulo formado no puede existir. Y esto significa que la tangente es la única.

edificio

Entre otros problemas de geometría, hay una categoría especial, generalmente no

amado por alumnos y estudiantes. Para resolver tareas de esta categoría, solo necesita una brújula y una regla. Estas son tareas de construcción. También existen para construir una línea tangente.

Entonces, dado un círculo y un punto fuera de élfronteras. Y necesitas dibujar una tangente a través de ellos. ¿Cómo se puede hacer esto? En primer lugar, debe dibujar un segmento entre el centro del círculo O y un punto dado. Luego, usando una brújula, debes dividirla por la mitad. Para hacer esto, debe establecer un radio, un poco más de la mitad de la distancia entre el centro del círculo original y este punto. Entonces necesitas construir dos arcos que se crucen. Además, no es necesario cambiar el radio de la brújula y el centro de cada parte del círculo será el punto inicial y O, respectivamente. Las intersecciones de los arcos deben estar conectadas, lo que dividirá el segmento por la mitad. Establezca un radio igual a esta distancia en la brújula. Luego, con el centro en el punto de intersección, construya otro círculo. Sobre él estarán tanto el punto inicial como O. En este caso, habrá dos intersecciones más con el círculo dado en el problema. Serán los puntos de contacto para el punto originalmente especificado.

Interesante

Fue la construcción de tangentes al círculo lo que condujo al nacimiento

calculo diferencial.El primer trabajo sobre este tema fue publicado por el famoso matemático alemán Leibniz. Proporcionó la posibilidad de encontrar máximos, mínimos y tangentes independientemente de los valores fraccionarios e irracionales. Bueno, ahora también se usa para muchos otros cálculos.

Además, la tangente al círculo está asociada conel significado geométrico de la tangente. De aquí proviene su nombre. Traducido del latín tangens - "tangente". Así, este concepto se asocia no solo con la geometría y el cálculo diferencial, sino también con la trigonometría.

Dos circulos

La tangente no siempre afecta a una sola figura.Si se puede dibujar un gran conjunto de líneas rectas en un círculo, ¿por qué no al revés? Lata. Pero la tarea en este caso es seriamente complicada, porque la tangente a dos círculos puede no pasar por ningún punto, y la posición relativa de todas estas figuras puede ser muy

diferente.

Tipos y variedades

Cuando se trata de dos círculos y uno ovarias líneas rectas, incluso si se sabe que se trata de tangentes, no queda claro de inmediato cómo se ubican todas estas figuras entre sí. En base a esto, se distinguen varias variedades. Entonces, los círculos pueden tener uno o dos puntos en común o no tenerlos en absoluto. En el primer caso, se cruzarán y en el segundo, se tocarán. Y aquí se distinguen dos variedades. Si un círculo está, por así decirlo, anidado en el segundo, entonces el toque se llama interno, si no, externo. Es posible comprender la posición relativa de las figuras no solo en base al dibujo, sino también teniendo información sobre la suma de sus radios y la distancia entre sus centros. Si estos dos valores son iguales, los círculos se tocan. Si el primero es más, se cruzan, y si es menos, entonces no tienen puntos en común.

Lo mismo ocurre con las líneas rectas. Para dos círculos que no tienen puntos en común, puede

construye cuatro tangentes. Dos de ellos se cruzarán entre las formas, se llaman internas. Un par de otros son externos.

Si hablamos de círculos que tienen unopunto común, la tarea se simplifica enormemente. El hecho es que para cualquier posición relativa en este caso solo tendrán una tangente. Y pasará por el punto de su intersección. Entonces la construcción no causará dificultades.

Si las figuras tienen dos puntos de intersección, entoncespara ellos, se puede construir una línea recta que sea tangente al círculo tanto de uno como del segundo, pero solo del exterior. La solución a este problema es similar a la que se discutirá a continuación.

Resolución de problemas

Tanto la tangente interna como externa a dosLos círculos, en construcción, no son tan simples, aunque este problema se puede solucionar. El caso es que para esto se usa una figura auxiliar, así que piensa en este método tú mismo

bastante problemático. Entonces, dados dos círculos con diferentes radios y centros O1 y O2. Para ellos, necesitas construir dos pares de tangentes.

En primer lugar, cerca del centro del círculo más grande.necesitas construir uno auxiliar. En este caso, la diferencia entre los radios de las dos figuras originales debe establecerse en la brújula. Las tangentes al círculo auxiliar se construyen desde el centro del círculo más pequeño. Después de eso, desde O1 y O2, se dibujan perpendiculares a estas líneas hasta que se cruzan con las figuras originales. Como se desprende de la propiedad principal de la recta tangente, se encuentran los puntos requeridos en ambos círculos. El problema está resuelto, al menos en su primera parte.

Para construir tangentes internas, tendrás que resolver prácticamente

una tarea similar.Necesitará una forma secundaria nuevamente, pero esta vez su radio será igual a la suma de las originales. Las tangentes se dibujan desde el centro de uno de estos círculos. El curso posterior de la solución se puede entender a partir del ejemplo anterior.

Tangente a un círculo o incluso a dos o más -no es una tarea tan difícil. Por supuesto, los matemáticos han dejado de resolver estos problemas manualmente y confían los cálculos a programas especiales. Pero no piense que ahora no es necesario poder hacerlo usted mismo, porque para formular correctamente una tarea para una computadora, debe hacer y comprender mucho. Desafortunadamente, existe el temor de que después de la transición final a la forma de prueba de control del conocimiento, la construcción de tareas cause cada vez más dificultades a los estudiantes.

En cuanto a encontrar tangentes comunes para un mayor número de círculos, esto no siempre es posible, incluso si se encuentran en el mismo plano. Pero en algunos casos puedes encontrar una línea tan recta.

Ejemplos de la vida

Una tangente común a dos círculos suele serocurre en la práctica, aunque no siempre es perceptible. Transportadores, sistemas de bloques, correas de transferencia de poleas, tensión de hilo en una máquina de coser e incluso solo una cadena de bicicleta: todos estos son ejemplos de la vida. Por lo tanto, no debe pensar que los problemas geométricos se quedan solo en la teoría: encuentran aplicación práctica en la ingeniería, la física, la construcción y muchos otros campos.