Σε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών, ένα παιδί ακούει τον όρο «εξίσωση» για πρώτη φορά. Τι είναι αυτό, ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε μαζί. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τους τύπους και τις λύσεις.
Μαθηματικά. Εξισώσεις
Αρχικά, προτείνουμε να το αντιμετωπίσετε μόνοι σαςέννοια του τι είναι; Όπως λένε πολλά εγχειρίδια μαθηματικών, μια εξίσωση είναι κάποια έκφραση, μεταξύ της οποίας υπάρχει πάντα ένα ίσο πρόσημο. Αυτές οι εκφράσεις περιέχουν γράμματα, τις λεγόμενες μεταβλητές, η τιμή των οποίων πρέπει να βρεθεί.
Τι είναι μεταβλητή; Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό του συστήματος που αλλάζει τη σημασία του. Ένα καλό παράδειγμα μεταβλητών είναι:
- θερμοκρασία του αέρα;
- ύψος παιδιού?
- βάρος και ούτω καθεξής.
Στα μαθηματικά, συμβολίζονται με γράμματα, για παράδειγμα,x, a, b, c ... Συνήθως μια μαθηματική εργασία έχει ως εξής: βρείτε την τιμή της εξίσωσης. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρείτε την τιμή αυτών των μεταβλητών.
Ποικιλίες
Η εξίσωση (τι είναι, συζητήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) μπορεί να έχει την ακόλουθη μορφή:
- γραμμικός;
- τετράγωνο;
- κυβικός;
- αλγεβρικός;
- υπερφυσικός.
Για μια πιο λεπτομερή εξοικείωση με όλους τους τύπους, θα εξετάσουμε το καθένα ξεχωριστά.
Γραμμική εξίσωση
Αυτό είναι το πρώτο είδος που γνωρίζουν οι μαθητές.Λύνονται αρκετά γρήγορα και εύκολα. Λοιπόν, γραμμική εξίσωση, τι είναι; Αυτή είναι μια έκφραση της μορφής: ah = c. Αυτό δεν είναι πολύ σαφές, οπότε θα δώσουμε μερικά παραδείγματα: 2x = 26; 5x = 40; 1,2x = 6.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα εξισώσεων.Για αυτό πρέπει να συλλέξουμε όλα τα γνωστά δεδομένα αφενός και τα άγνωστα αφετέρου: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. Εδώ χρησιμοποιήθηκαν οι στοιχειώδεις κανόνες των μαθηματικών: a * c = e, από αυτό c = e / a? a = e / c Για να ολοκληρώσουμε τη λύση της εξίσωσης, εκτελούμε μία ενέργεια (στην περίπτωσή μας, διαίρεση) x = 13; x = 8; x = 5. Αυτά ήταν παραδείγματα πολλαπλασιασμού, τώρα ας δούμε την αφαίρεση και την πρόσθεση: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. Μεταφέρουμε τα γνωστά δεδομένα προς μία κατεύθυνση: x = 9-3; x = 20/10. Εκτελούμε την τελευταία ενέργεια: x = 6; x = 2.
Παραλλαγές γραμμικών εξισώσεων είναι επίσης δυνατές, όπουχρησιμοποιούνται περισσότερες από μία μεταβλητές: 2x-2y = 4. Για να λυθεί, είναι απαραίτητο να προσθέσουμε 2y σε κάθε μέρος, παίρνουμε 2x-2y + 2y = 4-2y, όπως παρατηρήσαμε, στην αριστερή πλευρά του σημείου ισότητας -2y και + 2y ακυρώνονται, ενώ ακόμα έχουν: 2x = 4 -2y. Το τελευταίο βήμα είναι να διαιρέσουμε κάθε μέρος με δύο, παίρνουμε την απάντηση: το x είναι ίσο με δύο μείον το παιχνίδι.
Προβλήματα εξισώσεων συναντώνται ακόμη και σεπάπυροι Αχμές. Εδώ είναι ένα από τα προβλήματα: ο αριθμός και το τέταρτο μέρος αθροίζονται στο 15. Για να το λύσουμε, γράφουμε την ακόλουθη εξίσωση: x συν ένα τέταρτο x ισούται με δεκαπέντε. Βλέπουμε ένα άλλο παράδειγμα γραμμικής εξίσωσης, ως αποτέλεσμα της λύσης, παίρνουμε την απάντηση: x = 12. Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο, δηλαδή την αιγυπτιακή ή, όπως αλλιώς ονομάζεται, τη μέθοδο της παραδοχής. Στον πάπυρο, χρησιμοποιείται η ακόλουθη λύση: πάρτε τέσσερα και το τέταρτο μέρος, δηλαδή ένα. Συνολικά, δίνουν πέντε, τώρα δεκαπέντε πρέπει να διαιρεθούν με το άθροισμα, παίρνουμε τρία, με την τελευταία ενέργεια πολλαπλασιάζουμε το τρία επί τέσσερα. Παίρνουμε την απάντηση: 12. Γιατί διαιρούμε δεκαπέντε επί πέντε στη λύση; Ανακαλύπτουμε λοιπόν πόσες φορές δεκαπέντε, δηλαδή το αποτέλεσμα που πρέπει να πάρουμε είναι λιγότερο από πέντε. Με αυτόν τον τρόπο, τα προβλήματα λύθηκαν τον Μεσαίωνα, άρχισε να ονομάζεται μέθοδος ψευδούς θέσης.
Τετραγωνικές εξισώσεις
Εκτός από τα παραδείγματα που συζητήθηκαν νωρίτερα, υπάρχουν και άλλα. Ποια από όλα? Τετραγωνική εξίσωση, τι είναι; Είναι της μορφής τσεκούρι2+ bx + c = 0. Για να τα λύσετε, πρέπει να εξοικειωθείτε με ορισμένες έννοιες και κανόνες.
Πρώτον, πρέπει να βρείτε το διακριτικό με τον τύπο: β2-4ac. Υπάρχουν τρεις επιλογές για το αποτέλεσμα της απόφασης:
- το διακριτικό είναι μεγαλύτερο από μηδέν ·
- λιγότερο από μηδέν?
- είναι μηδέν.
Στην πρώτη επιλογή, μπορούμε να πάρουμε την απάντηση από δύο ρίζες, οι οποίες βρίσκονται με τον τύπο: -b + -root από το διακριτικό διαιρούμενο με τον διπλό πρώτο συντελεστή, δηλαδή 2α.
Στη δεύτερη περίπτωση, η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Στην τρίτη περίπτωση, η ρίζα βρίσκεται με τον τύπο: -b / 2a.
Εξετάστε ένα παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης για περισσότεραλεπτομερής γνωριμία: τρία x τετράγωνο μείον δεκατέσσερα x μείον πέντε ισούται με μηδέν. Αρχικά, όπως γράφτηκε νωρίτερα, ψάχνουμε για το διακριτικό, στην περίπτωσή μας είναι ίσο με 256. Σημειώστε ότι ο αριθμός που προκύπτει είναι μεγαλύτερος από μηδέν, επομένως, θα πρέπει να λάβουμε μια απάντηση που αποτελείται από δύο ρίζες. Αντικαταστήστε το προκύπτον διακριτικό στη φόρμουλα εύρεσης των ριζών. Ως αποτέλεσμα, έχουμε: x είναι ίσο με πέντε και μείον ένα τρίτο.
Ειδικές περιπτώσεις σε τετραγωνικές εξισώσεις
Αυτά είναι παραδείγματα στα οποία ορισμένες τιμές είναι μηδενικές (a, b ή c) και πιθανώς αρκετές.
Για παράδειγμα, πάρτε την ακόλουθη εξίσωση, η οποίαείναι τετράγωνο: δύο x τετραγωνικά ισούται με μηδέν, εδώ βλέπουμε ότι τα b και c είναι μηδέν. Ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε, για αυτό διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με δύο, έχουμε: x2= 0. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε x = 0.
Άλλη θήκη 16x2-9 = 0. Εδώ μόνο b = 0. Ας λύσουμε την εξίσωση, μεταφέρουμε τον ελεύθερο συντελεστή στη δεξιά πλευρά: 16x2= 9, τώρα διαιρούμε κάθε μέρος με δεκαέξι: x2= εννέα δέκατα έκτα. Δεδομένου ότι έχουμε x τετράγωνο, η ρίζα του 9/16 μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Γράφουμε την απάντηση ως εξής: x είναι ίσο με συν / μείον τρία τέταρτα.
Είναι επίσης πιθανό να μην υπάρχει τέτοια απάντηση καθώς η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες. Ας δούμε αυτό το παράδειγμα: 5x2+ 80 = 0, εδώ b = 0. Για να λύσετε τον δωρεάν όρο, ρίξτε τον στη δεξιά πλευρά, μετά από αυτές τις ενέργειες παίρνουμε: 5x2= -80, τώρα διαιρούμε κάθε μέρος με πέντε: x2= μείον δεκαέξι. Εάν τετραγωνίσουμε οποιονδήποτε αριθμό, τότε δεν θα έχουμε αρνητική τιμή. Επομένως, η απάντησή μας ακούγεται ως εξής: η εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Τριωνική αποσύνθεση
Μια τετραγωνική εργασία μπορεί να ακούγεται με έναν άλλο τρόπο: παράγοντας ένα τετράγωνο τριωνύμιο. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a (x-x1) (x-x2). Για αυτό, όπως και στην άλλη παραλλαγή της εργασίας, είναι απαραίτητο να βρεθεί ο διακριτικός.
Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα: 3x2-14x-5, συντελεστής του τριωνύμου.Βρίσκουμε το διακριτικό, χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό σε μας τύπο, αποδεικνύεται ότι είναι ίσος με 256. Σημειώνουμε αμέσως ότι το 256 είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, επομένως, η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες. Τα βρίσκουμε, όπως και στην προηγούμενη παράγραφο, έχουμε: x = πέντε και μείον ένα τρίτο. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του τριωνύμου σε παράγοντες: 3 (x-5) (x + 1/3). Στη δεύτερη παρένθεση, πήραμε ένα πρόσημο ίσο, επειδή ο τύπος περιέχει ένα σύμβολο μείον και η ρίζα είναι επίσης αρνητική, χρησιμοποιώντας βασικές γνώσεις μαθηματικών, συνολικά έχουμε ένα σύμβολο συν. Για λόγους απλότητας, πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο και τον τρίτο όρο της εξίσωσης για να απαλλαγούμε από το κλάσμα: (x-5) (x + 1).
Εξισώσεις που μειώνονται στο τετράγωνο
Σε αυτό το σημείο, θα μάθουμε πώς να λύνουμε πιο πολύπλοκες εξισώσεις. Ας ξεκινήσουμε αμέσως με ένα παράδειγμα:
(Χ2 - 2x)2 - 2 (x2 - 2x) - 3 = 0. Μπορούμε να δούμε τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία: (x2 - 2x), για τη λύση μας βολεύει να την αντικαταστήσουμεμια άλλη μεταβλητή και στη συνέχεια λύστε τη συνήθη τετραγωνική εξίσωση, σημειώνουμε αμέσως ότι σε μια τέτοια εργασία θα έχουμε τέσσερις ρίζες, αυτό δεν πρέπει να σας τρομάξει. Δηλώνουμε την επανάληψη της μεταβλητής α. Παίρνουμε: α2-2α-3 = 0.Το επόμενο βήμα μας είναι να βρούμε το διακριτικό της νέας εξίσωσης. Παίρνουμε 16, βρίσκουμε δύο ρίζες: μείον μία και τρεις. Θυμόμαστε ότι κάναμε την αντικατάσταση, αντικαταστήσαμε αυτές τις τιμές, με αποτέλεσμα να έχουμε τις εξισώσεις: x2 - 2x = -1; Χ2 - 2x = 3.Τα λύνουμε στην πρώτη απάντηση: το x είναι ίσο με ένα, στη δεύτερη: το x είναι ίσο με ένα και τρία. Γράφουμε την απάντηση ως εξής: συν / μείον ένα και τρία. Κατά κανόνα, η απάντηση γράφεται με αύξουσα σειρά.
Κυβικές εξισώσεις
Ας εξετάσουμε μια άλλη πιθανή επιλογή. Πρόκειται για κυβικές εξισώσεις. Μοιάζουν με: τσεκούρι 3 + b x 2 + cx + d = 0. Θα εξετάσουμε παραδείγματα εξισώσεων αργότερα, και πρώτα, μια μικρή θεωρία. Μπορούν να έχουν τρεις ρίζες και υπάρχει επίσης ένας τύπος για την εύρεση του διακριτικού για μια κυβική εξίσωση.
Εξετάστε ένα παράδειγμα: 3x3+ 4x2+ 2x = 0. Πώς να το λύσετε; Για να γίνει αυτό, απλώς τοποθετούμε το x έξω από τις αγκύλες: x (3x2+ 4x + 2) = 0. Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης σε παρένθεση. Η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης σε αγκύλες είναι μικρότερη από μηδέν, με βάση αυτό, η έκφραση έχει μια ρίζα: x = 0.
Αλγεβρα. Εξισώσεις
Ας περάσουμε στην επόμενη προβολή. Τώρα θα ρίξουμε μια γρήγορη ματιά στις αλγεβρικές εξισώσεις. Μία από τις εργασίες είναι η ακόλουθη: με τη μέθοδο της ομαδοποίησης, παραγοντοποιήστε 3x4+ 2x3+ 8x2+ 2x + 5. Ο πιο βολικός τρόπος θα ήταν η ακόλουθη ομαδοποίηση: (3x4+ 3x2) + (2x3+ 2x) + (5x2+5). Σημειώστε ότι 8x2 από την πρώτη έκφραση που παρουσιάσαμε ως άθροισμα 3x2 και 5x2... Τώρα βγάζουμε από κάθε παρένθεση τον κοινό συντελεστή 3x2(x2 + 1) + 2x (x2+1) +5 (x2+1). Βλέπουμε ότι έχουμε έναν κοινό παράγοντα: x τετράγωνο συν ένα, το βάζουμε έξω από τις αγκύλες: (x2+1) (3x2+ 2x + 5). Η περαιτέρω επέκταση είναι αδύνατη, καθώς και οι δύο εξισώσεις έχουν αρνητικό διαχωριστικό.
Υπερβατικές Εξισώσεις
Προτείνουμε να ασχοληθούμε με τον ακόλουθο τύπο. Αυτές είναι εξισώσεις που περιέχουν υπερβατικές συναρτήσεις, συγκεκριμένα λογαριθμικές, τριγωνομετρικές ή εκθετικές. Παραδείγματα: 6sin2x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 και ούτω καθεξής. Θα μάθετε πώς λύνονται από το μάθημα τριγωνομετρίας.
Λειτουργία
Στο τελικό στάδιο, εξετάστε την έννοια της εξίσωσηςλειτουργίες. Σε αντίθεση με τις προηγούμενες επιλογές, αυτός ο τύπος δεν έχει λυθεί, αλλά χτίζεται πάνω του ένα γράφημα. Για να γίνει αυτό, η εξίσωση πρέπει να αναλυθεί καλά, να βρεθούν όλα τα απαραίτητα σημεία για την κατασκευή, να υπολογιστούν τα ελάχιστα και τα μέγιστα σημεία.
