Τι είναι η συμμετρία στα μαθηματικά; Ορισμός και παραδείγματα

Κατανοήστε τι είναι η συμμετρία στα μαθηματικά,είναι απαραίτητο να κατακτήσουμε περαιτέρω τα βασικά και προηγμένα θέματα της άλγεβρας, της γεωμετρίας. Αυτό είναι επίσης σημαντικό για την κατανόηση του σχεδίου, της αρχιτεκτονικής, των κανόνων σχεδίασης. Παρά τη στενή σύνδεση με την πιο ακριβή επιστήμη - τα μαθηματικά, η συμμετρία είναι σημαντική για καλλιτέχνες, ζωγράφους, δημιουργούς και για όσους ασχολούνται με επιστημονικές δραστηριότητες και σε οποιονδήποτε τομέα.

Γενικές πληροφορίες

Όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και οι φυσικές επιστήμες στοβασίζονται σε μεγάλο βαθμό στην έννοια της συμμετρίας. Επιπλέον, βρίσκεται στην καθημερινή ζωή, είναι ένα από τα βασικά για τη φύση του Σύμπαντος μας. Κατανοώντας τι είναι η συμμετρία στα μαθηματικά, πρέπει να αναφερθεί ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι αυτού του φαινομένου. Είναι συνηθισμένο να μιλάμε για τέτοιες επιλογές:

• Διμερής, δηλαδή όταν η συμμετρία είναι καθρέφτης. Αυτό το φαινόμενο στην επιστημονική κοινότητα συνήθως ονομάζεται «διμερές».
• N-n σειρά.Για αυτήν την έννοια, το βασικό φαινόμενο είναι η γωνία περιστροφής, υπολογιζόμενη διαιρώντας 360 μοίρες με κάποια δεδομένη ποσότητα. Επιπλέον, ο άξονας γύρω από τον οποίο γίνονται αυτές οι στροφές καθορίζεται εκ των προτέρων.
• Ακτινική, όταν παρατηρείται το φαινόμενο της συμμετρίας,εάν οι στροφές γίνονται αυθαίρετα μέσω κάποιας γωνίας τυχαίας σε μέγεθος. Ο άξονας επιλέγεται επίσης ανεξάρτητα. Η ομάδα SO (2) χρησιμοποιείται για να περιγράψει αυτό το φαινόμενο.
• Σφαιρικός.Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για τρεις διαστάσεις, στις οποίες περιστρέφεται το αντικείμενο, επιλέγοντας αυθαίρετες γωνίες. Ξεχωρίζει μια συγκεκριμένη περίπτωση ισοτροπίας, όταν το φαινόμενο γίνεται τοπικό, εγγενές στο περιβάλλον ή στο χώρο.
• Περιστροφικός, συνδυάζοντας τις δύο προηγουμένως περιγραφείσες ομάδες.
• Lorentz αμετάβλητο όταν πραγματοποιούνται αυθαίρετες περιστροφές. Για αυτόν τον τύπο συμμετρίας, η βασική έννοια είναι "χωροχρόνος Minkowski".
• Super, που ορίζεται ως αντικατάσταση μποζόνια με φερμιόνια.
• Το υψηλότερο, αποκαλύφθηκε κατά τη διάρκεια της ομαδικής ανάλυσης.
• Μεταφραστική, όταν υπάρχουν μετατοπίσεις χώρου, για τις οποίες οι επιστήμονες προσδιορίζουν την κατεύθυνση, την απόσταση. Με βάση τα δεδομένα που λαμβάνονται, πραγματοποιείται συγκριτική ανάλυση για να αποκαλυφθεί συμμετρία.
• Ο μετρητής παρατηρείται σε περίπτωση ανεξαρτησίαςθεωρία μετρητή με κατάλληλους μετασχηματισμούς. Εδώ, δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στη θεωρία πεδίου, συμπεριλαμβανομένης της εστίασης στις ιδέες του Yang-Mills.
• Kaino, που ανήκει στην κατηγορία των ηλεκτρονικώνδιαμορφώσεις. Τα μαθηματικά (τάξη 6) δεν έχουν ιδέα τι είναι αυτή η συμμετρία, επειδή είναι επιστήμη ανώτερης τάξης. Το φαινόμενο οφείλεται σε δευτερεύουσα περιοδικότητα. Ανακαλύφθηκε κατά τη διάρκεια της επιστημονικής εργασίας του E. Biron. Η ορολογία εισήχθη από τον S. Shchukarev.

Καθρεφτισμένο

Κατά τη διάρκεια του σχολείου, οι μαθητές πρακτικάπάντα ζητούσε να κάνει τη δουλειά "Συμμετρία γύρω μας" (μαθηματικό έργο). Κατά κανόνα, συνιστάται για εφαρμογή στην έκτη τάξη ενός κανονικού σχολείου με γενικό πρόγραμμα διδασκαλίας θεμάτων. Για να αντιμετωπίσετε το έργο, πρέπει πρώτα να εξοικειωθείτε με την έννοια της συμμετρίας, ειδικότερα, για να προσδιορίσετε ποιος είναι ο τύπος καθρέφτη ως ένας από τους βασικούς και πιο κατανοητούς για τα παιδιά.

Για να προσδιορίσετε το φαινόμενο της συμμετρίας, λάβετε υπόψηένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα και επίσης επιλέξτε ένα επίπεδο. Πότε μιλούν για τη συμμετρία του εν λόγω αντικειμένου; Αρχικά, επιλέγεται ένα σημείο σε αυτό και στη συνέχεια βρίσκεται μια αντανάκλαση για αυτό. Ένα τμήμα τραβιέται μεταξύ των δύο και υπολογίζεται σε ποια γωνία στο προηγούμενο επιλεγμένο επίπεδο περνά.

Κατανοώντας τι είναι η συμμετρία στα μαθηματικά,να θυμάστε ότι το επίπεδο που επιλέχθηκε για να ανιχνεύσει αυτό το φαινόμενο θα ονομάζεται επίπεδο συμμετρίας και τίποτα άλλο. Το σχεδιαζόμενο τμήμα πρέπει να τέμνει με αυτό σε ορθή γωνία. Η απόσταση από ένα σημείο σε αυτό το επίπεδο και από αυτό στο δεύτερο σημείο του τμήματος γραμμής πρέπει να είναι ίση.

Νουάν

Τι άλλο ενδιαφέρον μπορείτε να μάθετε εξετάζοντας αυτόφαινόμενο όπως η συμμετρία; Τα Μαθηματικά (Βαθμός 6) λένε ότι δύο φιγούρες που θεωρούνται συμμετρικές δεν είναι απαραίτητα ταυτόσημες μεταξύ τους. Η ισότητα υπάρχει με μια στενή και ευρεία έννοια. Έτσι, τα συμμετρικά αντικείμενα σε ένα στενό δεν είναι το ίδιο πράγμα.

Τι παράδειγμα από τη ζωή μπορείτε να δώσετε; Στοιχειώδης!Τι γνώμη έχετε για τα γάντια μας, γάντια; Όλοι έχουμε συνηθίσει να τα φοράμε και ξέρουμε ότι δεν μπορούμε να χάσουμε, γιατί το δεύτερο δεν μπορεί να ταιριάξει σε ένα ζευγάρι, πράγμα που σημαίνει ότι θα πρέπει να αγοράσουμε ξανά και τα δύο. Και όλα γιατί; Επειδή τα ζευγαρωμένα προϊόντα, αν και συμμετρικά, έχουν σχεδιαστεί για το αριστερό και το δεξί χέρι. Αυτό είναι ένα τυπικό παράδειγμα συμμετρίας καθρέφτη. Όσον αφορά την ισότητα, τέτοια αντικείμενα αναγνωρίζονται ως «καθρέφτη».

Και τι γίνεται με το κέντρο;

Η κεντρική συμμετρία αρχίζει μεπροσδιορισμός των ιδιοτήτων του σώματος, σε σχέση με τις οποίες είναι απαραίτητο να αξιολογηθεί το φαινόμενο. Για να το ονομάσετε συμμετρικό, επιλέξτε πρώτα κάποιο σημείο που βρίσκεται στο κέντρο. Στη συνέχεια, επιλέγεται ένα σημείο (υπό όρους θα το ονομάσουμε Α) και αναζητούμε ένα ζευγάρι για αυτό (θα το ορίσουμε υπό όρους ως Ε).

Κατά τον προσδιορισμό της συμμετρίας των σημείων Α και Εσυνδέονται με ευθεία γραμμή, συλλαμβάνοντας το κεντρικό σημείο του σώματος. Στη συνέχεια, μετρήστε την προκύπτουσα ευθεία γραμμή. Εάν το τμήμα από το σημείο Α στο κέντρο του αντικειμένου είναι ίσο με το τμήμα που διαχωρίζει το κέντρο από το σημείο Ε, μπορούμε να πούμε ότι το κέντρο συμμετρίας έχει βρεθεί. Η κεντρική συμμετρία στα μαθηματικά είναι μία από τις βασικές έννοιες που επιτρέπουν την περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας της γεωμετρίας.

Και αν περιστρέψουμε;

Αναλύοντας τι είναι η συμμετρία στα μαθηματικά,Η έννοια του υποτύπου περιστροφής αυτού του φαινομένου δεν μπορεί να αγνοηθεί. Για να κατανοήσετε τους όρους, πάρτε ένα σώμα που έχει ένα κεντρικό σημείο και ορίστε επίσης έναν ακέραιο.

Κατά τη διάρκεια του πειράματος, ένα δεδομένο σώμα περιστρέφεται κατάγωνία ίση με το αποτέλεσμα της διαίρεσης 360 μοιρών με τον επιλεγμένο ακέραιο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να γνωρίζετε ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας (2η τάξη, μαθηματικά, σχολικό πρόγραμμα). Αυτός ο άξονας είναι μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα δύο επιλεγμένα σημεία. Μπορούμε να μιλήσουμε για τη συμμετρία περιστροφής εάν στην επιλεγμένη γωνία περιστροφής το σώμα βρίσκεται στην ίδια θέση όπως πριν από τους χειρισμούς.

Στην περίπτωση που ο φυσικός αριθμός ήταν2 επιλέγεται και το φαινόμενο της συμμετρίας ανακαλύπτεται, λένε ότι η αξονική συμμετρία ορίζεται στα μαθηματικά. Αυτό είναι χαρακτηριστικό για μια σειρά από σχήματα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα: τρίγωνο.

Περισσότερα για παραδείγματα

Η πρακτική πολλών ετών διδασκαλίας μαθηματικών και γεωμετρίας στο λύκειο δείχνει ότι ο ευκολότερος τρόπος αντιμετώπισης του φαινομένου της συμμετρίας είναι η εξήγησή του με συγκεκριμένα παραδείγματα.

Ας ξεκινήσουμε εξετάζοντας τη σφαίρα. Τα φαινόμενα συμμετρίας είναι ταυτόχρονα χαρακτηριστικά για ένα τέτοιο σώμα:

• κεντρικός;
• καθρέφτη?
• περιστροφικός.

Ως κύριο σημείο, επιλέξτε το σημείο που βρίσκεταιακριβώς στο κέντρο του σχήματος. Για να επιλέξετε ένα επίπεδο, ορίστε έναν μεγάλο κύκλο και, όπως ήταν, τον "κόψτε" σε στρώματα. Για τι μιλούν τα μαθηματικά; Η περιστροφή και η κεντρική συμμετρία στην περίπτωση μιας μπάλας είναι έννοιες αλληλένδετες, ενώ η διάμετρος του σχήματος θα χρησιμεύσει ως άξονας για το υπό εξέταση φαινόμενο.

Ένα άλλο καλό παράδειγμα είναι ένας στρογγυλός κώνος.Η αξονική συμμετρία είναι χαρακτηριστική αυτού του σχήματος. Στα μαθηματικά και την αρχιτεκτονική, αυτό το φαινόμενο έχει βρει ευρείες θεωρητικές και πρακτικές εφαρμογές. Σημειώστε: ο άξονας του κώνου λειτουργεί ως άξονας για το φαινόμενο.

Το φαινόμενο που μελετήθηκε καταδεικνύεται σαφώς από την ευθεία γραμμήπρίσμα. Αυτό το σχήμα χαρακτηρίζεται από συμμετρία καθρέφτη. Ένα "κόψιμο" επιλέγεται ως επίπεδο, παράλληλο με τις βάσεις του σχήματος, σε ίσα διαστήματα από αυτά. Κατά τη δημιουργία ενός γεωμετρικού, περιγραφικού, αρχιτεκτονικού έργου (στα μαθηματικά, η συμμετρία δεν είναι λιγότερο σημαντική από ό, τι στις ακριβείς και περιγραφικές επιστήμες), θυμηθείτε την εφαρμογή στην πράξη και τα οφέλη κατά τον προγραμματισμό των φέροντων στοιχείων του φαινομένου του κατοπτρισμού.

Τι γίνεται με πιο ενδιαφέρουσες φιγούρες;

Τι μπορούν να μας πουν τα μαθηματικά (τάξη 6);Η κεντρική συμμετρία δεν είναι μόνο σε ένα τόσο απλό και κατανοητό αντικείμενο όπως μια μπάλα. Είναι επίσης χαρακτηριστικό για πιο ενδιαφέρουσες και πολύπλοκες φιγούρες. Για παράδειγμα, αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο. Για ένα τέτοιο αντικείμενο, το κεντρικό σημείο γίνεται αυτό στο οποίο τέμνονται οι διαγώνιοί του.

Αλλά αν σκεφτούμε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές,τότε θα είναι αξονικά συμμετρικό σχήμα. Μπορείτε να το προσδιορίσετε εάν επιλέξετε τον σωστό άξονα. Το σώμα είναι συμμετρικό σε μια γραμμή κάθετη στη βάση και το τέμνει ακριβώς στη μέση.

Η συμμετρία στα μαθηματικά και την αρχιτεκτονική λαμβάνει απαραίτητα υπόψη τον ρόμβο. Αυτό το σχήμα είναι αξιοσημείωτο επειδή συνδυάζει ταυτόχρονα δύο τύπους συμμετρίας:

• αξονικός;
• κεντρικός.

Η διαγώνιος του αντικειμένου πρέπει να επιλεγεί ως άξονας. Στο σημείο που τέμνονται οι διαγώνιοι του ρόμβου, βρίσκεται το κέντρο συμμετρίας του.

Σχετικά με την ομορφιά και τη συμμετρία

Διαμόρφωση έργου μαθηματικών, συμμετρία γιαπου θα ήταν ένα βασικό θέμα, συνήθως πρώτα απ 'όλα θυμούνται τα σοφά λόγια του μεγάλου επιστήμονα Weil: "Η συμμετρία είναι μια ιδέα που ένας συνηθισμένος άνθρωπος προσπαθεί να καταλάβει εδώ και πολλούς αιώνες, επειδή είναι αυτή που δημιουργεί την τέλεια ομορφιά μέσω ενός μοναδική παραγγελία ».

Όπως γνωρίζετε, άλλα αντικείμενα φαίνονται στους περισσότερουςόμορφο, ενώ άλλα είναι απωθητικά, ακόμη και αν δεν υπάρχουν εμφανή ελαττώματα σε αυτά. Γιατί συμβαίνει; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δείχνει τη σχέση μεταξύ αρχιτεκτονικής και μαθηματικών στη συμμετρία, επειδή αυτό το φαινόμενο γίνεται η βάση για την αξιολόγηση ενός αντικειμένου ως αισθητικά ελκυστικού.

Μία από τις πιο όμορφες γυναίκες στον πλανήτη μας είναι το σούπερ μοντέλο Brush Tarlikton. Είναι σίγουρη ότι έφτασε στην επιτυχία κυρίως λόγω ενός μοναδικού φαινομένου: τα χείλη της είναι συμμετρικά.

Όπως γνωρίζετε, η φύση και τείνει στη συμμετρία, καιδεν μπορεί να το φτάσει. Αυτός δεν είναι ένας γενικός κανόνας, αλλά ρίξτε μια ματιά στους ανθρώπους γύρω σας: στα ανθρώπινα πρόσωπα, είναι πρακτικά αδύνατο να βρείτε απόλυτη συμμετρία, αν και η επιθυμία για αυτό είναι προφανής. Όσο πιο συμμετρικό είναι το πρόσωπο του συνομιλητή, τόσο πιο όμορφος εμφανίζεται.

Πώς η συμμετρία έγινε η ιδέα της ομορφιάς

Είναι εκπληκτικό σε τι βασίζεται η συμμετρίααντίληψη ενός ατόμου για την ομορφιά του περιβάλλοντος χώρου και των αντικειμένων σε αυτόν. Για πολλούς αιώνες οι άνθρωποι προσπαθούν να καταλάβουν τι φαίνεται όμορφο και τι απωθεί με αμεροληψία.

Η συμμετρία, οι αναλογίες είναι αυτά που βοηθούνοπτικά αντιλαμβάνονται κάποιο αντικείμενο και το αξιολογούν θετικά. Όλα τα στοιχεία, τα μέρη πρέπει να είναι ισορροπημένα και σε λογικές αναλογίες μεταξύ τους. Έχει διαπιστωθεί εδώ και καιρό ότι οι άνθρωποι αγαπούν τα ασύμμετρα αντικείμενα πολύ λιγότερο. Όλα αυτά συνδέονται με την έννοια της «αρμονίας». Από την αρχαιότητα, σοφοί, ηθοποιοί και καλλιτέχνες προβληματίζονται γιατί αυτό είναι τόσο σημαντικό για ένα άτομο.

Αξίζει να ρίξετε μια πιο προσεκτική ματιά στα γεωμετρικά σχήματα και το φαινόμενο της συμμετρίας θα γίνει προφανές και κατανοητό. Τα πιο χαρακτηριστικά συμμετρικά φαινόμενα στο χώρο γύρω μας:

• βράχια?
• άνθη και φύλλα φυτών.
• ζευγαρωμένα εξωτερικά όργανα που είναι εγγενή στους ζωντανούς οργανισμούς.

Τα περιγραφόμενα φαινόμενα έχουν την προέλευσή τους στην ίδια τη φύση.Αλλά τι μπορείτε να δείτε συμμετρικά, κοιτάζοντας προσεκτικά τα προϊόντα των ανθρώπινων χεριών; Είναι αξιοσημείωτο ότι οι άνθρωποι στρέφονται προς τη δημιουργία τέτοιων, αν προσπαθούν να κάνουν κάτι όμορφο ή λειτουργικό (ή και τα δύο τέτοια και τέτοια ταυτόχρονα):

• σχέδια και στολίδια δημοφιλή από την αρχαιότητα.
• δομικά στοιχεία?
• δομικά στοιχεία εξοπλισμού ·
• κεντήματα

Σχετικά με την ορολογία

Η "συμμετρία" είναι μια λέξη που προήλθε στη γλώσσα μαςοι αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι για πρώτη φορά έδωσαν μεγάλη προσοχή σε αυτό το φαινόμενο και προσπάθησαν να το μελετήσουν. Ο όρος δηλώνει την παρουσία ενός συγκεκριμένου συστήματος, καθώς και έναν αρμονικό συνδυασμό τμημάτων του αντικειμένου. Μεταφράζοντας τη λέξη "συμμετρία", μπορείτε να επιλέξετε ως συνώνυμα:

• αναλογικότητα?
• ομοιότητα;
• αναλογικότητα.

Από την αρχαιότητα, η συμμετρία ήταν μια σημαντική έννοιαγια την ανάπτυξη της ανθρωπότητας σε διάφορους τομείς και βιομηχανίες. Από την αρχαιότητα, οι λαοί είχαν γενικές ιδέες για αυτό το φαινόμενο, θεωρώντας το κυρίως με μια ευρεία έννοια. Η συμμετρία σήμαινε αρμονία και ισορροπία. Σήμερα, η ορολογία διδάσκεται σε ένα κανονικό σχολείο. Για παράδειγμα, ο δάσκαλος λέει στα παιδιά ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας (2η τάξη, μαθηματικά) σε μια κανονική τάξη.

Ως ιδέα, αυτό το φαινόμενο γίνεται συχνάη αρχική προϋπόθεση των επιστημονικών υποθέσεων και θεωριών. Αυτό ήταν ιδιαίτερα δημοφιλές στους προηγούμενους αιώνες, όταν η ιδέα της μαθηματικής αρμονίας που ήταν εγγενής στο σύστημα του ίδιου του σύμπαντος κυριάρχησε σε όλο τον κόσμο. Οι γνώστες εκείνων των εποχών ήταν πεπεισμένοι ότι η συμμετρία είναι μια εκδήλωση θεϊκής αρμονίας. Αλλά στην αρχαία Ελλάδα, οι φιλόσοφοι διαβεβαίωσαν ότι ολόκληρο το Σύμπαν είναι συμμετρικό και όλα αυτά βασίστηκαν στο αξίωμα: "Η συμμετρία είναι όμορφη".

Μεγάλοι Έλληνες και συμμετρία

Η συμμετρία έχει ενθουσιάσει το μυαλό διάσημων επιστημόνωνΑρχαία Ελλάδα. Τα στοιχεία έχουν επιζήσει μέχρι σήμερα ότι ο Πλάτωνας ζήτησε ξεχωριστά να θαυμάσουν τα κανονικά πολύεδρα. Κατά τη γνώμη του, τέτοιες φιγούρες είναι η προσωποποίηση των στοιχείων του κόσμου μας. Υπήρχε η ακόλουθη ταξινόμηση:

Σε μεγάλο βαθμό εξαιτίας αυτής της θεωρίας, είναι συνηθισμένο να ονομάζουμε τακτικά πολυεδρικά στερεά.

Αλλά η ορολογία εισήχθη νωρίτερα και εδώ ο γλύπτης Πολύκλειτος έπαιξε σημαντικό ρόλο.

Πυθαγόρας και συμμετρία

Κατά τη διάρκεια της ζωής του Πυθαγόρα και αργότερα, ότανη διδασκαλία του άνθιζε, το φαινόμενο της συμμετρίας ήταν σαφώς καθορισμένο. Thenταν τότε που η συμμετρία υποβλήθηκε σε επιστημονική ανάλυση, η οποία απέδωσε σημαντικά αποτελέσματα για πρακτική εφαρμογή.

Σύμφωνα με τα ευρήματα:

• Η συμμετρία βασίζεται στις έννοιες της αναλογίας, της ομοιομορφίας και της ισότητας. Όταν παραβιάζεται η μία ή η άλλη έννοια, το σχήμα γίνεται λιγότερο συμμετρικό, μετατρέποντας σταδιακά σε εντελώς ασύμμετρο.
• Υπάρχουν 10 αντίθετα ζεύγη.Σύμφωνα με το δόγμα, η συμμετρία είναι ένα φαινόμενο που φέρνει τα αντίθετα σε ένα και έτσι σχηματίζει το σύμπαν στο σύνολό του. Για πολλούς αιώνες, αυτό το αξίωμα είχε ισχυρή επιρροή σε μια σειρά επιστημών, ακριβών και φιλοσοφικών, καθώς και φυσικών.

Ο Πυθαγόρας και οι οπαδοί του αναγνώρισαν «τέλεια συμμετρικά σώματα», στα οποία κατέταξαν εκείνα που πληρούν τις προϋποθέσεις:

• κάθε όψη είναι πολύγωνο.
• τα πρόσωπα συναντιούνται σε γωνίες.
• το σχήμα πρέπει να έχει ίσες πλευρές και γωνίες.

Pταν ο Πυθαγόρας που είπε πρώτος ότι υπάρχουν μόνο πέντε τέτοια σώματα. Αυτή η μεγάλη ανακάλυψη έθεσε τα θεμέλια για τη γεωμετρία και είναι εξαιρετικά σημαντική για τη σύγχρονη αρχιτεκτονική.

Θέλεις να βλέπεις περισσότερο με τα μάτια σουυπέροχο φαινόμενο συμμετρίας; Πιάστε μια νιφάδα χιονιού το χειμώνα. Παραδόξως, αυτό το μικροσκοπικό κομμάτι πάγου που πέφτει από τον ουρανό δεν έχει μόνο μια εξαιρετικά σύνθετη κρυσταλλική δομή, αλλά και απόλυτα συμμετρική. Εξετάστε το προσεκτικά: η νιφάδα χιονιού είναι πραγματικά όμορφη και οι περίπλοκες γραμμές της είναι μαγευτικές.