Was ist eine Tangente an einen Kreis? Kreistangens-Eigenschaften. Gemeinsame Tangente an zwei Kreise

Sekanten, Tangenten - all dies war im Geometrieunterricht hunderte Male zu hören. Aber der Schulabschluss ist vorbei, Jahre vergehen und all dieses Wissen ist vergessen. Woran sollte man sich erinnern?

Essenz

Der Begriff "Tangente an einen Kreis" Zeichen,wahrscheinlich an alle. Aber kaum jeder wird in der Lage sein, seine Definition schnell zu formulieren. In der Zwischenzeit wird eine Tangentenlinie als gerade Linie bezeichnet, die in derselben Ebene mit einem Kreis liegt, der sie nur an einem Punkt schneidet. Es kann eine große Vielfalt von ihnen geben, aber sie haben alle die gleichen Eigenschaften, auf die weiter unten eingegangen wird. Wie Sie sich vorstellen können, ist der Kontaktpunkt der Ort, an dem sich der Kreis und die Linie schneiden. In jedem Fall ist es einer, aber wenn es mehr davon gibt, wird es bereits eine Sekante sein.

Entdeckungs- und Studiengeschichte

Das Konzept einer Tangentenlinie reicht bis in die Antike zurück. Die Konstruktion dieser geraden Linien, zuerst zu einem Kreis und dann zu Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit Hilfe eines Lineals und eines Kompasses, wurde in den Anfangsstadien der Entwicklung der Geometrie durchgeführt. Natürlich hat die Geschichte den Namen des Entdeckers nicht bewahrt, aber es ist offensichtlich, dass die Menschen schon damals die Eigenschaften der Tangente an einen Kreis genau kannten.

In der Neuzeit stieg das Interesse an diesem Phänomenwieder - eine neue Runde des Studiums dieses Konzepts begann in Kombination mit der Entdeckung neuer Kurven. Also führte Galileo das Konzept einer Zykloide ein und Fermat und Descartes bauten eine Tangente daran auf. Was die Kreise betrifft, so scheint es, dass es in diesem Bereich keine Geheimnisse für die Alten gab.

Eigenschaften

Der zum Schnittpunkt gezeichnete Radius verläuft senkrecht zur Linie. Das

die Haupt-, aber nicht die einzige Eigenschaft, diehat eine Tangente an den Kreis. Ein weiteres wichtiges Merkmal sind bereits zwei gerade Linien. Durch einen Punkt außerhalb des Kreises können Sie also zwei Tangenten zeichnen, während ihre Segmente gleich sind. Es gibt noch einen Satz zu diesem Thema, der jedoch selten im Rahmen eines Standardschulkurses verabschiedet wird, obwohl er für die Lösung einiger Probleme äußerst praktisch ist. Es klingt so. Von einem Punkt außerhalb des Kreises werden eine Tangente und eine Sekante gezogen. Die Segmente AB, AC und AD werden gebildet. A - Schnittpunkt von Linien, B - Tangentialpunkt, C und D - Schnittpunkte. In diesem Fall gilt die folgende Gleichheit: Die Länge der Tangente an den Kreis im Quadrat entspricht dem Produkt der Segmente AC und AD.

Daraus ergibt sich eine wichtige Konsequenz. Für jeden Punkt des Kreises können Sie eine Tangente zeichnen, aber nur eine. Der Beweis dafür ist recht einfach: Wenn wir die Senkrechte vom Radius darauf fallen lassen, stellen wir theoretisch fest, dass das gebildete Dreieck nicht existieren kann. Und das bedeutet, dass die Tangente die einzige ist.

Gebäude

Neben anderen Problemen in der Geometrie gibt es eine spezielle Kategorie, normalerweise nicht

von Schülern und Studenten geliebt. Um Aufgaben aus dieser Kategorie zu lösen, benötigen Sie nur einen Kompass und ein Lineal. Dies sind Bauaufgaben. Sie existieren auch für den Aufbau einer Tangentenlinie.

Also, gegeben ein Kreis und ein Punkt, der außerhalb davon liegtGrenzen. Und Sie müssen eine Tangente durch sie ziehen. Wie kann das gemacht werden? Zunächst müssen Sie ein Segment zwischen dem Mittelpunkt des Kreises O und einem bestimmten Punkt zeichnen. Dann sollten Sie ihn mit einem Kompass in zwei Hälften teilen. Dazu müssen Sie einen Radius festlegen - etwas mehr als die Hälfte des Abstands zwischen dem Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises und diesem Punkt. Dann müssen Sie zwei sich kreuzende Bögen bauen. Darüber hinaus muss der Radius des Kompasses nicht geändert werden, und der Mittelpunkt jedes Teils des Kreises ist der Anfangspunkt bzw. O. Die Schnittpunkte der Bögen müssen verbunden werden, wodurch die Linie in zwei Hälften geteilt wird. Stellen Sie den Radius am Kompass gleich dieser Entfernung ein. Erstellen Sie dann mit der Mitte am Schnittpunkt einen weiteren Kreis. Sowohl der Anfangspunkt als auch O werden darauf liegen. In diesem Fall gibt es zwei weitere Schnittpunkte mit dem im Problem angegebenen Kreis. Sie sind die Tangentialpunkte für den ursprünglich angegebenen Punkt.

Interessant

Es war die Konstruktion von Tangenten an den Kreis, die zur Geburt führte

Differentialrechnung. Die erste Arbeit zu diesem Thema wurde vom berühmten deutschen Mathematiker Leibniz veröffentlicht. Es bot die Möglichkeit, Maxima, Minima und Tangenten unabhängig von gebrochenen und irrationalen Werten zu finden. Nun, jetzt wird es auch für viele andere Berechnungen verwendet.

Außerdem ist die Tangente an den Kreis verbunden mitdie geometrische Bedeutung der Tangente. Daraus leitet sich sein Name ab. Übersetzt aus dem Lateinischen tangens - "Tangente". Somit ist dieses Konzept nicht nur mit Geometrie und Differentialrechnung verbunden, sondern auch mit Trigonometrie.

Zwei Kreise

Die Tangente betrifft nicht immer nur eine Figur.Wenn eine riesige Menge gerader Linien zu einem Kreis gezogen werden kann, warum dann nicht umgekehrt? Dürfen. Die Aufgabe ist in diesem Fall jedoch sehr kompliziert, da die Tangente an zwei Kreise möglicherweise durch keine Punkte verläuft und die relative Position all dieser Figuren sehr groß sein kann

unterschiedlich.

Arten und Sorten

Wenn es um zwei Kreise und einen geht odermehrere Geraden, dann wird, auch wenn bekannt ist, dass es sich um Tangenten handelt, nicht sofort klar, wie all diese Figuren zueinander stehen. Auf dieser Grundlage werden mehrere Sorten unterschieden. Kreise können also einen oder zwei gemeinsame Punkte haben oder gar nicht haben. Im ersten Fall überschneiden sie sich, im zweiten berühren sie sich. Und hier gibt es zwei Sorten. Ist ein Kreis sozusagen im zweiten verschachtelt, dann heißt die Berührung intern, wenn nicht, dann extern. Die relative Lage der Figuren kann nicht nur anhand der Zeichnung verstanden werden, sondern auch anhand der Summe ihrer Radien und des Abstands zwischen ihren Mittelpunkten. Wenn diese beiden Werte gleich sind, sind die Kreise tangential. Wenn der erste mehr ist, schneiden sie sich, und wenn er weniger ist, haben sie keine gemeinsamen Punkte.

Bei geraden Linien ist es genauso. Für zwei beliebige Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben, können Sie

vier Tangenten bilden. Zwei von ihnen werden sich zwischen den Formen schneiden, sie werden intern genannt. Ein paar andere sind extern.

Wenn wir über Kreise sprechen, die einen habengemeinsamen Punkt wird die Aufgabe stark vereinfacht. Tatsache ist, dass sie in diesem Fall für jede relative Position nur eine Tangente haben. Und es wird durch den Punkt ihrer Kreuzung gehen. Die Konstruktion wird also keine Schwierigkeiten bereiten.

Wenn die Figuren zwei Schnittpunkte haben, dannfür sie lässt sich eine Gerade konstruieren, die den Kreis sowohl des einen als auch des zweiten, aber nur des äußeren tangiert. Die Lösung dieses Problems ist ähnlich der, die unten diskutiert wird.

Problemlösung

Sowohl interne als auch externe Tangente an zweiKreise sind im Aufbau nicht so einfach, obwohl dieses Problem gelöst werden kann. Tatsache ist, dass dafür eine Hilfsfigur verwendet wird, also überlege dir diese Methode selbst

recht problematisch. Gegeben seien also zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien und Mittelpunkten O1 und O2. Für sie müssen Sie zwei Tangentenpaare bilden.

Zunächst in der Nähe des Zentrums des größeren KreisesSie müssen ein Hilfsgerät bauen. In diesem Fall muss auf dem Zirkel die Differenz der Radien der beiden Originalfiguren festgestellt werden. Tangenten an den Hilfskreis werden vom Mittelpunkt des kleineren Kreises gebildet. Danach werden von O1 und O2 Senkrechte zu diesen Linien gezogen, bis sie sich mit den Originalfiguren schneiden. Wie aus der Haupteigenschaft der Tangente hervorgeht, werden die benötigten Punkte auf beiden Kreisen gefunden. Das Problem ist gelöst, zumindest der erste Teil.

Um interne Tangenten zu bilden, müssen Sie praktisch lösen

eine ähnliche Aufgabe.Sie benötigen wieder eine sekundäre Form, aber diesmal entspricht der Radius der Summe der ursprünglichen. Tangenten werden von der Mitte eines dieser Kreise darauf gezogen. Der weitere Lösungsverlauf ist dem vorherigen Beispiel zu entnehmen.

Tangential an einen Kreis oder sogar an zwei oder mehr -keine so schwierige Aufgabe. Mathematiker lösen solche Probleme natürlich schon lange nicht mehr manuell und vertrauen Berechnungen speziellen Programmen an. Aber denken Sie nicht, dass es jetzt nicht notwendig ist, dies selbst zu tun, denn um eine Aufgabe für einen Computer richtig zu formulieren, müssen Sie viel tun und verstehen. Leider ist zu befürchten, dass nach der endgültigen Umstellung auf die Testform der Wissenssteuerung das Bauen von Aufgaben den Studierenden immer mehr Schwierigkeiten bereiten wird.

Das Finden gemeinsamer Tangenten für eine größere Anzahl von Kreisen ist nicht immer möglich, selbst wenn sie in derselben Ebene liegen. Aber in einigen Fällen können Sie eine solche gerade Linie finden.

Lebensbeispiele

Eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise ist oftkommt in der Praxis vor, obwohl dies nicht immer auffällt. Förderbänder, Blocksysteme, Umlenkrollen, Fadenspannung in einer Nähmaschine oder auch nur eine Fahrradkette – all das sind Beispiele aus dem Leben. Sie sollten also nicht denken, dass geometrische Probleme nur in der Theorie bleiben: Sie finden praktische Anwendung in den Ingenieurwissenschaften, der Physik, dem Bauwesen und vielen anderen Bereichen.