Nepřetržitá funkce je funkcebez „skoků“, to je ten, pro který je podmínka splněna: malé změny argumentu jsou následovány malými změnami odpovídajících hodnot funkce. Grafem takové funkce je hladká nebo souvislá křivka.
Kontinuita v bodě omezujícím pro některémnožiny, lze určit pomocí pojmu limit, jmenovitě: funkce musí mít limit v tomto bodě, který se rovná jeho hodnotě v limitním bodě.
Pokud jsou tyto podmínky v určitém okamžiku porušeny,oni říkají, že funkce v tomto bodě utrpí přestávku, to je, jeho kontinuita je narušena. V jazyce limitů lze bod diskontinuity popsat jako nesoulad hodnoty funkce v diskontinuálním bodě s limitem funkce (pokud existuje).
Bod zlomu může být proto odstranitelnýexistence funkčního limitu je nutná, ale neshoduje se s jeho hodnotou v daném bodě. V tomto případě to může být „opraveno“ v tomto bodě, tj. Znovu definováno na kontinuitu.
Pokud neexistuje hranice funkce v daném bodě, vytvoří se úplně jiný obrázek. Existují dva možné body zlomu:
- první druh - oba jednostranné limity jsou a jsou konečné a hodnota jednoho nebo obou z nich se neshoduje s hodnotou funkce v daném bodě;
- druhý druh, když jeden nebo oba jednostranné limity neexistují nebo jejich hodnoty jsou nekonečné.
Vlastnosti spojitých funkcí
- Funkce získaná jako výsledek aritmetických operací, jakož i superpozice spojitých funkcí v jejich definiční oblasti, je také spojitá.
- Pokud máte v určitém okamžiku nepřetržitou funkci, která je pozitivní, můžete vždy najít dostatečně malé okolí, na kterém si zachovává své znamení.
- Podobně, pokud jeho hodnoty ve dvou bodech A a Bjsou stejné, respektive, aab, a je odlišné od b, pak pro mezilehlé body vezme všechny hodnoty z intervalu (a; b). Z toho lze vyvodit zajímavý závěr: pokud dovolíte, aby se napnutá elastická páska zmenšila tak, aby se neklesla (zůstane rovná), pak jeden z jejích bodů zůstane nehybný. Geometricky to znamená, že přímkou prochází jakýkoli mezilehlý bod mezi A a B, který protíná graf funkce.
Podívejme se na některé z kontinuálních (ve své doméně definice) elementárních funkcí:
- konstantní;
- Racionální;
- trigonometrický.
Mezi dvěma základními pojmy vmatematika - kontinuita a odlišnost - existuje neoddělitelná souvislost. Stačí si pamatovat, že k tomu, aby funkce byla diferencovatelná, je nutné, aby byla funkcí spojitou.
Pokud je funkce v určitém okamžiku diferencovatelná, pak je zde spojitá. Není však vůbec nutné, aby byl jeho derivát spojitý.
Funkce s nějakou sadounepřetržitý derivát, patří do samostatné třídy hladkých funkcí. Jinými slovy, jedná se o nepřetržitě diferencovatelnou funkci. Pokud derivát má omezený počet bodů nespojitosti (pouze prvního druhu), pak se taková funkce nazývá po částech hladká.
Další důležitý koncept počtuje jednotná kontinuita funkce, tj. její schopnost být stejně kontinuální v kterémkoli bodě své definiční oblasti. Jedná se tedy o vlastnost, která je považována za soubor bodů a nikoliv samostatně.
Pokud tento bod vyřešíte, nedostanete nickromě definice kontinuity, tj. z přítomnosti jednotné kontinuity, vyplývá, že máme spojitou funkci. Obecně řečeno, konverzace není pravda. Avšak podle Cantorovy věty je-li funkce spojitá na kompaktním souboru, tj. V uzavřeném intervalu, pak je na ní rovnoměrně spojitá.
