Svět je navržen tak, aby velké množství rozhodnutíproblémy se redukují na nalezení kořenů kvadratické rovnice. Kořeny rovnic jsou důležité pro popis různých vzorců. To bylo známo inspektorům starověkého Babylonu. Astronomové a inženýři byli také nuceni tyto problémy řešit. Již v 6. století nl vyvinul indický vědec Ariabhata základy pro nalezení kořenů kvadratické rovnice. Vzorce získaly hotový vzhled v 19. století.
Obecné pojmy
Navrhujeme, abyste se seznámili se základními zákony kvadratických rovností. Obecně lze rovnost psát takto:
Ach2 + bx + c = 0,
Počet kořenů kvadratické rovnice může být roven jedné nebo dvěma. Rychlou analýzu lze provést pomocí pojmu diskriminující:
D = b2 - 4ac
V závislosti na vypočtené hodnotě dostaneme:
- Pro D> 0 existují dva různé kořeny. Obecný vzorec pro stanovení kořenů kvadratické rovnice vypadá (-b ± √D) / (2a).
- D = 0, v tomto případě root je jedna a odpovídá hodnotě x = -b / (2a)
- D <0, pro zápornou hodnotu diskriminačního, neexistuje řešení rovnice.
Poznámka: Pokud je diskriminující záporný, nemá rovnice žádné kořeny pouze v oblasti reálných čísel. Pokud je algebra rozšířena na koncept složitých kořenů, pak má rovnice řešení.
Dáváme řetězec akcí potvrzující vzorec pro nalezení kořenů.
Z obecné podoby rovnice vyplývá:
Ach2 + bx = -c
Vynásobíme pravou a levou stranu 4a a přidáme b2dostaneme
cha2s2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
Transformujte levou stranu do čtverce polynomu (2ax + b)2. Extrahujeme druhou odmocninu obou stran rovnice 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b2), převedeme koeficient b na pravou stranu, dostaneme:
2ax = -b ± √ (-4ac + b2).
Z toho vyplývá:
x = (-b ± √ (b2 - 4ac))
Což bylo požadováno ukázat.
Zvláštní případ
V některých případech může být řešení problému zjednodušeno. Takže s koeficientem b dostaneme jednodušší vzorec.
Označme k = 1 / 2b, potom obecný vzorec kořenů kvadratické rovnice má tvar:
x = (-k ± √ (k2 - ac)) / a
Pro D = 0 dostaneme x = -k / a
Dalším konkrétním případem je řešení rovnice a = 1.
Pro zobrazení x2 + bx + c = 0 kořeny budou x = -k ± √ (k2 - c) je-li diskriminující větší než 0. V případě, že D = 0, bude kořen určen jednoduchým vzorcem: x = -k.
Používání grafů
Každá osoba, aniž by to měla podezření, se neustále setkává s fyzickými, chemickými, biologickými a dokonce sociálními jevy, které jsou dobře popsány kvadratickou funkcí.
Poznámka: křivka konstruovaná na základě kvadratické funkce se nazývá parabola.
Zde jsou nějaké příklady.
- Při výpočtu dráhy letu střely se používá vlastnost pohybu podél paraboly těla uvolněné pod úhlem k obzoru.
- Vlastnost paraboly rovnoměrně distribuovat zátěž je široce používaná v architektuře.
Pochopíme důležitost parabolické funkce a zjistíme, jak studovat její vlastnosti pomocí grafu pomocí konceptů „diskriminačních“ a „kořenů kvadratické rovnice“.
V závislosti na velikosti koeficientů aab je pro polohu křivky pouze šest možností:
- Diskriminační je pozitivní, a a b mají různé znaky. Větve paraboly vyhledávají, kvadratická rovnice má dvě řešení.
- Rozlišovací faktor a koeficient b jsou rovny nule, koeficient a je větší než nula. Graf je umístěn v kladné zóně, rovnice má 1 kořen.
- Diskriminační a všechny koeficienty mají kladné hodnoty. Kvadratická rovnice nemá řešení.
- Rozlišovací faktor a koeficient a jsou záporné, b je větší než nula. Větve grafu směřují dolů, rovnice má dva kořeny.
- Rozlišovací faktor a koeficient b jsou rovny nule, koeficient a je záporný. Parabola se dívá dolů, rovnice má jeden kořen.
- Hodnoty diskriminačního a všech koeficientů jsou záporné. Neexistují žádná řešení, hodnota funkce je zcela v negativní zóně.
Poznámka: možnost a = 0 není brána v úvahu, protože v tomto případě se parabola degeneruje do přímky.
Vše výše uvedené dobře ilustruje obrázek níže.
Příklady řešení problémů
Podmínka: Pomocí obecných vlastností vytvořte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou navzájem stejné.
Řešení:
podle prohlášení o problému x1 = x2, nebo -b + √ (b2 - 4ac) / (2a) = -b + √ (b2 - 4ac) / (2a). Zjednodušení zadávání:
-b + √ (b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2 - 4ac) / (2a)) = 0, otevřete závorky a uveďte podobné výrazy. Rovnice má formu 2√ (b2 - 4ac) = 0. Toto tvrzení je pravdivé, když b2 - 4ac = 0, tedy b2 = 4ac, pak je do rovnice dosazena hodnota b = 2√ (ac)
Ach2 + 2√ (ac) x + c = 0, v redukované formě získáme x2 + 2√ (c / a) x + c = 0.
Odpověď:
pro ne rovné 0 a libovolnému c existuje pouze jedno řešení, pokud b = 2√ (c / a).
Kvadratické rovnice pro celou jejich jednoduchostmají v technických výpočtech velký význam. Téměř jakýkoli fyzický proces lze popsat s určitou aproximací pomocí výkonových funkcí řádu n. Kvadratická rovnice bude první takovou aproximací.
