Въпроси, произтичащи от проучванетотригонометричните функции са разнообразни. Някои от тях са за това в кои четвърти косинусът е положителен и отрицателен, в кои четвърти синусът е положителен и отрицателен. Всичко се оказва просто, ако знаете как да изчислявате стойността на тези функции под различни ъгли и сте запознати с принципа на нанасяне на функции върху графика.
Какви са стойностите на косинуса
Ако разгледаме правоъгълен триъгълник, тогава имаме следното съотношение, което го определя: косинусът на ъгъла и е съотношението на съседния крак BC към хипотенузата AB (фиг. 1): cos и = BC / AB.
Използвайки същия триъгълник, можете да намерите синусаъгъл, тангенс и котангенс. Синусът ще бъде съотношението на обратното на ъгъла на крака AC към хипотенузата AB. Тангенсът на ъгъл се намира, ако синусът на желания ъгъл е разделен на косинуса на същия ъгъл; замествайки съответните формули за намиране на синус и косинус, получаваме, че tg и = AC / BC. Котангенсът, като обратна на допирателната функция, ще бъде намерен по следния начин: ctg и = BC / AC.
Тоест за същите стойности на ъгълаустанови, че в правоъгълен триъгълник съотношението на страните винаги е същото. Изглежда, че стана ясно откъде идват тези стойности, но защо се получават отрицателни числа?
За да направите това, трябва да разгледате триъгълника в декартовата координатна система, където присъстват както положителни, така и отрицателни стойности.
Ясно за кварталите, къде е какво
Първо тримесечие
Ако поставите правоъгълен триъгълник през първата четвърт (от 0за до 90за), където оста x и оста y имат положителни стойности(сегментите AO и BO лежат на осите, където стойностите имат знак "+"), след това синусът, че косинусът също ще има положителни стойности и им се присвоява стойност със знак плюс. Но какво се случва, ако преместите триъгълника във втората четвърт (от 90за до 180за)?
Второ тримесечие
Виждаме, че AO краката имат отрицателна стойност по оста y. Косинус на ъгъл и сега има тази страна спрямо минуса,следователно крайната му стойност става отрицателна. Оказва се, че в коя четвърт косинусът е положителен зависи от местоположението на триъгълника в декартовата координатна система. И в този случай косинусът на ъгъла става отрицателен. Но за синуса нищо не се е променило, тъй като за определяне на неговия знак е необходима OB-страната, която в този случай остава със знак плюс. Нека обобщим първите две тримесечия.
За да разберете в кои четвърти косинусположителни и в кои отрицателни (както и синус и други тригонометрични функции), е необходимо да се разгледа какъв знак е присвоен на един или друг крак. За косинус на ъгъл и кракът АО е важен, за синуса - OB.
Досега първото тримесечие се превърна в единственото, което отговаря на въпроса: "В кои четвърти едновременно са положителни синус и косинус?" Нека да видим по-нататък дали все пак ще има съвпадения в знака на тези две функции.
През второто тримесечие кракът на АО започна да има отрицателна стойност, което означава, че косинусът също стана отрицателен. Положителна стойност се съхранява за синус.
Трето тримесечие
Сега и двата крака AO и OB стават отрицателни. Нека си припомним връзките за косинус и синус:
Cos a = AO / AB;
Sin a = VO / AB.
AB винаги има положителен знак в даденакоординатна система, тъй като тя не е насочена към нито една от двете страни, определени от осите. Но краката станаха отрицателни, което означава, че резултатът и за двете функции също е отрицателен, защото ако извършвате операции за умножение или деление с числа, сред които един и само един има знак минус, тогава резултатът също ще бъде с този знак.
Резултатът на този етап:
1) В кое тримесечие косинусът е положителен? В първата от трите.
2) В кое тримесечие синусът е положителен? В първия и втория от трите.
Четвърта четвърт (от 270за до 360за)
Тук AO кракът отново придобива знак плюс, а оттам и косинус.
За синуса случаите все още са „отрицателни“, тъй като кракът на OB остана под началната точка O.
данни
За да разберем в кои кварталикосинус е положителен, отрицателен и т.н., трябва да запомните съотношението за изчисляване на косинуса: кракът, съседен на ъгъла, разделен на хипотенузата. Някои учители предлагат да запомнят това: k (osine) = (k) ъгъл. Ако си спомняте тази „измама“, тогава автоматично разбирате, че синусът е съотношението на обратното на ъгъла на крака към хипотенузата.
Спомнете си в кои четвърти е косинусътположителни, а в кои отрицателни е доста трудно. Има много тригонометрични функции и всички те имат свои собствени значения. Но все пак в резултат: положителните стойности за синуса са 1, 2 четвърти (от 0за до 180за); за косинус 1, 4 четвърти (от 0за до 90за и от 270за до 360за). В останалите тримесечия функциите имат стойности с минус.
Може би ще бъде по-лесно за някой да запомни къде е кой знак, според изображението на функцията.
За синуса може да се види, че от нула до 180за гребена е над линията за стойност sin (x),следователно функцията също е положителна тук. За косинуса е същото: в коя четвърт косинусът е положителен (снимка 7), а в коя четвърт се вижда от движението на линията над и под оста cos (x). В резултат на това можем да си спомним два начина за определяне на знака на синусовата, косинусова функции:
един.По протежение на въображаем кръг с радиус, равен на един (макар че всъщност няма значение какъв радиус има кръгът, но в учебниците най-често се дава точно такъв пример; това улеснява възприемането, но в същото време, ако не правите резервация, че това не е от съществено значение, децата могат да се объркат).
2. По образа на зависимостта на функцията от (x) от самия аргумент x, както на последната фигура.
Използвайки първия метод, можете да РАЗБЕРЕТЕ от каквотова е знакът, който зависи и ние обяснихме това подробно по-горе. Фигура 7, изградена върху тези данни, е най-добрият начин за визуализиране на получената функция и нейния знак.
