Четириъгълник с прави ъгли е ... Сумата от ъглите на четириъгълника

Една от най-интересните геометрични теми отучилищният курс е "Четириъгълници" (клас 8). Какви видове такива фигури съществуват, какви специални свойства притежават? Какво е уникалното в деветдесет градуса четириъгълници? Нека да разгледаме всичко това.

Каква геометрична форма се нарича четириъгълник

Полигоните, които се състоят от четири страни и съответно от четири върха (ъгли), се наричат ​​четириъгълници в евклидовата геометрия.

Интересна е историята на името на този тип фигури. На руски съществителното „четириъгълник“ произлиза от фразата „четири ъгъла“ (точно като „триъгълник“ - три ъгъла, „петоъгълник“ - пет ъгъла и т.н.).

На латински обаче (чрез койтодойдоха много геометрични термини в повечето езици на света) тя се нарича четириъгълник. Тази дума е образувана от цифрата quadri (четири) и съществителното latus (отстрани). Така че можем да заключим, че древните са наричали този многоъгълник просто „четиристранен“.

Между другото, това име (с акцент върху наличието нафигури от този вид от четири страни, а не от ъгли) е оцелял в някои съвременни езици. Например, на английски е четириъгълник, а на френски е четириъгълник.

Освен това в повечето славянски езицивидът на въпросните фигури все още се идентифицира по броя на ъглите, а не по страните. Например на словашки (štvoruholník), на български (“chetyr'g'lnik”), на беларуски (“chatyrohkutnik”), на украински (“chotirikutnik”), на чешки (čtyřúhelník), но на полски четириъгълникът се нарича от броя на страните - cz.

Какви видове четириъгълници се изучават в училищната програма

В съвременната геометрия има 4 вида полигони с четири страни.

Поради твърде сложните свойства на някои от тях, в уроците по геометрия учениците се запознават само с два вида.

• Паралелограма. Противоположните страни на такъв четириъгълник са двойно успоредни една на друга и съответно също са равни по двойки.
• Трапец (трапец или трапец). Този четириъгълник се състои от две противоположни страни, успоредни една на друга. Обаче другата двойка страни няма тази функция.

Видове четириъгълници, които не са изучавани в училищния курс по геометрия

В допълнение към горното, има още два вида четириъгълници, с които учениците не се запознават в уроците по геометрия, поради особената им сложност.

• Делтоид (хвърчило) - фигура, в която всяка от две двойки съседнистраните са равни по дължина една на друга. Такъв четириъгълник получи името си поради факта, че на външен вид доста наподобява буквата на гръцката азбука - "делта".
• Антипаралелограма - тази цифра е толкова сложна, колкото и името й.В него две противоположни страни са равни, но в същото време не са успоредни една на друга. Освен това дългите противоположни страни на този четириъгълник се пресичат, както и удълженията на другите две, по-къси страни.

Видове успоредник

След като се справихте с основните видове четириъгълници, трябва да обърнете внимание на неговите подвидове. И така, всички паралелограми от своя страна също са разделени на четири групи.

• Класически паралелограм.
• Ромб (ромб) - четириъгълна фигура с равни страни. Неговите диагонали се пресичат под прав ъгъл, разделяйки ромба на четири равни правоъгълни триъгълника.
• Правоъгълник Името говори само за себе си. Тъй като това е правоъгълник с прави ъгли (всеки от тях е равен на деветдесет градуса). Противоположните му страни са не само успоредни една на друга, но и равни.
• Квадрат Подобно на правоъгълник, той е четириъгълник справи ъгли, но всички страни са равни помежду си. Това прави тази цифра близка до ромб. Така че може да се твърди, че квадратът е кръстоска между ромб и правоъгълник.

Специални свойства на правоъгълник

Имайки предвид формите, в които всеки от ъглитемежду страните, равни на деветдесет градуса, си струва да се спрем по-отблизо на правоъгълника. И така, кои са специалните характеристики, които го отличават от другите успоредници?

Да се ​​твърди, че разглежданиятуспоредникът е правоъгълник, диагоналите му трябва да са равни една на друга и всеки от ъглите трябва да е прав. Освен това квадратът на неговите диагонали трябва да съответства на сумата от квадратите на двете съседни страни на тази фигура. С други думи, класическият правоъгълник се състои от два правоъгълни триъгълника и в тях, както знаете, сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата. Диагоналът на разглеждания четириъгълник действа като хипотенуза.

Последният от изброените признаци на тази фигурае и неговото специално свойство. Освен това има и други. Например фактът, че всички страни на изследвания четириъгълник с прави ъгли са едновременно неговите височини.

Освен това, ако нарисувате кръг около който и да е правоъгълник, неговият диаметър ще бъде равен на диагонала на вписаната фигура.

Сред другите свойства на този четириъгълник, тогава,че е плоска и не съществува в неевклидовата геометрия. Това се дължи на факта, че в такава система няма четириъгълни фигури, чийто сбор от ъглите е равен на триста шестдесет градуса.

Площад и неговите характеристики

След като се справихме със знаците и свойствата на правоъгълник, струва си да обърнем внимание на втория четириъгълник с прави ъгли, известен на науката (това е квадрат).

Тъй като всъщност е един и същ правоъгълник, но с равни страни, тази фигура има всички свои свойства. Но за разлика от него, квадратът присъства в неевклидовата геометрия.

Освен това тази цифра има и другисобствени отличителни черти. Например фактът, че диагоналите на един квадрат не просто са равни помежду си, но и се пресичат под прав ъгъл. По този начин, подобно на ромб, квадратът се състои от четири правоъгълни триъгълника, на които е разделен от диагоналите.

Освен това тази фигура е най-симетричната от всички четириъгълници.

Каква е сумата от ъглите на четириъгълник

Имайки предвид характеристиките на четириъгълниците на евклидовата геометрия, струва си да се обърне внимание на техните ъгли.

И така, във всяка от горните фигури,независимо дали има прави ъгли или не, общата им сума винаги е една и съща - триста шестдесет градуса. Това е уникална характеристика на този тип фигура.

Периметър на четириъгълници

След като се справихме с това, на което е равна сумата от ъглитечетиристранни и други специални свойства на фигури от този тип, струва си да разберете кои формули е най-добре да използвате за изчисляване на техния периметър и площ.

За да определите периметъра на всеки четириъгълник, просто трябва да добавите дължината на всичките му страни заедно.

Например, във форма KLMN, нейният периметър може да бъде изчислен по формулата: P = KL + LM + MN + KN. Ако замените числата тук, ще получите: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

В случая, когато въпросната фигура е ромбили квадрат, за да намерите периметъра, можете да опростите формулата, като просто умножите дължината на една от страните му по четири: P = KL x 4. Например: 6 x 4 = 24 (cm).

Формули за четириъгълник на площ

След като разбрахме как да намерим периметъра на всяка форма с четири ъгъла и страни, струва си да разгледаме най-популярните и най-прости начини за намиране на неговата площ.

• Класическият начин за изчисляването му еизползвайте формулата S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Оказва се, че площта на всеки четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали на синуса на ъгъла между тях.
• Ако фигурата, чиято площ трябва да бъде намерена, еправоъгълник или квадрат (диагоналите на които винаги са равни една на друга), можете да опростите формулата, като изчислите дължината на един диагонал на квадрат и го умножите по синуса на ъгъла между тях и разделите всичко на две. Например: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• Също така, когато намирате площта на правоъгълник,помощна информация за периметъра на въпросната фигура и дължината на една от нейните страни. В този случай би било най-целесъобразно да се използва формулата S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• В случай на квадрат, неговите свойства ви позволяват да използвате няколко допълнителни формули за намиране на площ. Например, познавайки периметъра на фигурата, можете да използвате тази опция: S = P ²/ 16. И ако е известен радиусът на окръжността, вписана в четириъгълника, площта на квадрата се намира по много подобен начин: S = 4r²... Ако радиусът на описаната окръжност е известен, тогава ще се получи друга формула: S = 2R²... Също така площта на квадрата е 0,8 пъти дължината на линията, изтеглена от ъгъла на фигурата до средата на противоположната страна.
• В допълнение към всичко по-горе, има иотделна формула за намиране на площта, изчислена специално за успоредник. Може да се приложи, ако знаете дължината на двете височини на формата и размера на ъгъла между тях. Тогава височините трябва да се умножат между тях и синуса на ъгъла между тях. Струва си да се отбележи, че можете да използвате тази формула за всички фигури, които принадлежат на успоредници (т.е. на правоъгълник, ромб и квадрат).

Други свойства на четириъгълниците: вписани и описани кръгове

След като разгледахме характеристиките и свойствата на четириъгълник като фигура на евклидова геометрия, струва си да обърнем внимание на способността да се описват или вписват кръгове в него:

• Ако сумите на противоположните ъгли на фигурата са по сто осемдесет градуса и са равни по двойки, тогава около такъв четириъгълник може свободно да се опише кръг.
• Според теоремата на Птолемей, ако е отвънна многоъгълник с четири страни се описва кръг, тогава произведението на неговите диагонали е равно на сумата от произведенията на противоположните страни на тази фигура. По този начин формулата ще изглежда така: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Ако изградите четириъгълник, в който сумите на противоположните страни са равни една на друга, тогава в него може да бъде вписан кръг.

След като разбрах какво е четириъгълник,какви видове съществуват, кои от тях имат само прави ъгли между страните и какви свойства притежават, струва си да си припомним целия този материал. По-специално формулата за намиране на периметъра и площта на разглежданите полигони. В крайна сметка фигурите с тази форма са едни от най-често срещаните и тези знания могат да бъдат полезни за изчисления в реалния живот.