Има няколко дефиниции на теорията заномера ". Един от тях казва, че това е специален клон на математиката (или по-висока аритметика), която изучава подробно цели числа и обекти подобни на тях.
Друга дефиниция пояснява, че този клон на математиката изследва свойствата на числата и тяхното поведение в различни ситуации.
Някои учени вярват, че теорията е толкова широка, че е невъзможно да се даде точната й дефиниция, но е достатъчно да я разделим на няколко по-малко обемни теории.
Установете надеждно, когато теорията започнаномера не е възможно. Определено е установено: днес най-старият, но не единственият документ, който свидетелства за интереса на древните в теорията на числата, е малка част от глинена таблетка от 1800 г.пр.Хр. Той съдържа цяла серия т. Нар. Питагорейски тройници (естествени числа), много от които се състоят от пет знака. Огромен брой такива трилинии елиминират техния механичен избор. Това показва, че интересът към теорията на броя възниква, очевидно, много по-рано, отколкото първоначално са планирали учените.
Питагорейците, Евклид и Диофантус, индианците на Ариабата, Брахмагупта и Бхаскара, които са живели в Средновековието и дори по-късно Фермата, Ойлер, Лагранж, се считат за най-забележителните лица в развитието на теорията.
В началото на ХХ век теорията на числата привлича вниманието на такива математически гении като А. Н. Коркин, Е. Золотаров, А. Марков, Б. Н. Делоне, Д. К. Фадевеев, И. М. Виноградов, Г. .Weil, A. Selberg.
Разработване и задълбочаване на изчисленията и изследваниятадревните математици, те довеждат теорията до ново, много по-високо ниво, обхващащо много области. Задълбочените изследвания и търсенето на нови доказателства доведоха до откриването на нови проблеми, някои от които досега не са проучени. Остава отворена: предположението на Артин за безкрайността на множеството от примати, въпроса за безкрайността на броя на примесите, много други теории.
Понастоящем основните компоненти, които разделят теорията на числата, са теории: елементарни, големи числа, произволни числа, аналитични, алгебрични.
Теорията на елементарните числа се изучавацели числа, които не привличат методи и концепции от други области на математиката. Номерата на Фибоначи, малката теорема на Ферма, са най-често срещаните понятия, известни дори на ученици от тази теория.
Теорията за големите числа (или закона на голям брой)подразделение на теорията на вероятностите, което се стреми да докаже, че аритметичната средна стойност (в противен случай емпиричната средна стойност) на голяма извадка се доближава до математическото очакване (което също се нарича теоретична средна стойност) на тази проба при условие на фиксирано разпределение.
Теория на случаен номер, разделяне на всички събитиянесигурна, детерминирана и случайна, опитвайки се да определи вероятността от сложни събития от вероятността от прости събития. Този раздел включва свойствата на условните вероятности и теоремата за тяхното умножение, теоремата на хипотезите (която често се нарича формула на Бейс) и т.н.
Теорията на аналитичните числа, както е ясно от нейнатаимена, за изучаване на математически величини и числени свойства прилага методите и техниките на математическия анализ. Едно от основните направления на тази теория е доказателството за теоремата (с помощта на сложен анализ) за разпределението на първостепенните числа.
Теорията на алгебричните номера работи директно с числа, техните аналози (например алгебрични числа), изучава теорията на делителите, кохмологията на групите, функциите на Дирихле и др.
Вековните опити да се докаже теоремата на Ферма са довели до възникването и развитието на тази теория.
До 20-и век теорията на числата се смятала за абстрактнанаука, "чисто изкуство от математиката", което няма абсолютно никаква практическа или утилитарна употреба. Днес изчисленията му се използват в криптографските протоколи, при изчисляването на траекторията на сателитите и космическите сонди в програмирането. Икономика, финанси, компютърни науки, геология - всички тези науки днес са невъзможни без теория на числата.
