Doğal sayı nedir? Tarih, kapsam, özellikler

Matematik, yaklaşık olarak genel felsefeden sıyrıldıMÖ 6. yüzyılda e. ve o andan itibaren dünya çapında muzaffer yürüyüşüne başladı. Gelişimin her aşaması yeni bir şey getirdi - temel sayma evrildi, diferansiyel ve integral hesaba dönüştü, yüzyıllar değişti, formüller daha kafa karıştırıcı hale geldi ve "en karmaşık matematik başladı - ondan tüm sayılar kayboldu" an geldi. Ama temeli neydi?

Zamanın başlangıcı

Doğal sayılar birinciyle aynı seviyede göründümatematiksel işlemler. Bir omurga, iki omurga, üç omurga ... İlk konumsal sayı sistemini çıkaran Hintli bilim adamları sayesinde ortaya çıktılar.

"Konumlandırma" kelimesi, konumunsayıdaki her basamak kesin olarak tanımlanmıştır ve kategorisine karşılık gelir. Örneğin, 784 ve 487 sayıları aynı sayılardır, ancak sayılar eşdeğer değildir, çünkü ilki 7 yüz, ikincisi ise sadece 4'ü içerir. şimdi bildiğimiz forma.

Eski zamanlarda sayılara mistik biryani, en büyük matematikçi Pisagor, sayının dünyanın yaratılışının altında yatan temel unsurlarla birlikte - ateş, su, toprak, hava - olduğuna inanıyordu. Her şeyi yalnızca matematiksel açıdan ele alırsak, o zaman doğal sayı nedir? Doğal sayılar alanı N olarak gösterilir ve sonsuz bir tam sayı ve pozitif sayı dizisidir: 1, 2, 3,… + ∞. Sıfır hariçtir. Öncelikle öğeleri saymak ve sırayı belirtmek için kullanılır.

Matematikte doğal sayı nedir? Peano'nun aksiyomları

N alanı, ilköğretim matematiğinin dayandığı temeldir. Zamanla, tam sayılar, rasyonel, karmaşık sayılar alanları ayırt edildi.

İtalyan matematikçi Giuseppe Peano'nun eserleriaritmetiğin daha fazla yapılandırılmasını mümkün kıldı, resmiyetini sağladı ve N alanının kapsamının ötesine geçen başka sonuçların yolunu açtı.

Doğal sayı nedir, daha önce basit bir dille açıklanmıştı, aşağıda Peano'nun aksiyomlarına dayanan matematiksel bir tanım ele alacağız.

• Birim, doğal bir sayı olarak kabul edilir.
• Doğal sayıyı takip eden sayı doğaldır.
• Ünitenin önünde doğal sayı yoktur.
• B sayısı hem c hem de d sayısından sonra gelirse, c = d olur.
• Tümevarım aksiyomu, sırayladoğal bir sayının ne olduğunu gösterir: Bir parametreye bağlı olan bir ifade 1 sayısı için doğruysa, o zaman bunun doğal sayılar N alanından n sayısı için çalıştığını varsayarız. O halde ifade n = 1 için de geçerlidir doğal sayılar alanından N ...

Doğal sayılar alanı için temel işlemler

N alanı matematik için ilk olduğundan berihesaplamalar, o zaman hem tanım alanlarının hem de aşağıdaki bir dizi işlemin değer aralıklarının ait olduğu ona aittir. Kapalılar ve değiller. Temel fark, kapalı işlemlerin, hangi sayıların dahil olduğuna bakılmaksızın sonucu N kümesi içinde tutacağının garanti edilmesidir. Doğal olmaları yeterli. Kalan sayısal etkileşimlerin sonucu artık o kadar açık değildir ve temel tanımla çelişebileceğinden, ifadede hangi sayıların yer aldığına doğrudan bağlıdır. Yani kapalı operasyonlar:

• ek - x + y = z, burada x, y, z, N alanına dahil edilir;
• çarpma - x * y = z, burada x, y, z N alanına dahil edilir;
• üs alma - x^ve, burada x, y, N alanına dahil edilir.

"Doğal sayı nedir" tanımı bağlamında sonucu bulunmayabilecek işlemlerin geri kalanı aşağıdaki gibidir:

• çıkarma - x - y = z. Doğal sayılar alanı, yalnızca x, y'den büyükse buna izin verir;
• bölme - x / y = z. Doğal sayılar alanı, ancak z'nin y'ye bir kalansız, yani tamamen bölünebilmesi durumunda izin verir.

N alanına ait sayıların özellikleri

Diğer tüm matematiksel akıl yürütme, en önemsiz, ancak daha az önemli olmayan aşağıdaki özelliklere dayanacaktır.

• Toplamanın taşınabilir özelliği x + y = y + x'tir, burada x, y sayıları N alanına dahil edilir. Veya iyi bilinen "toplam, terimlerin yerlerinin değişmesinden değişmez".
• Çarpmanın taşınabilir özelliği x * y = y * x'tir, burada x, y sayıları N alanına dahil edilir.
• Toplamanın kombinasyon özelliği - (x + y) + z = x + (y + z), burada x, y, z N alanına dahil edilir.
• Çarpmanın kombinasyon özelliği - (x * y) * z = x * (y * z), burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.
• dağıtım özelliği - x (y + z) = x * y + x * z, burada x, y, z sayıları N alanına dahil edilir.

Pisagor tablosu

Herkesin bilgisindeki ilk adımlardan biriİlköğretim matematiğinin yapısı, hangi sayıların doğal denildiğini kendileri anladıktan sonra Pisagor tablosu. Sadece bilim açısından değil, aynı zamanda değerli bir bilimsel anıt olarak da görülebilir.

Bu çarpım tablosu geçtizaman, bir dizi değişiklik: sıfır ondan çıkarıldı ve 1'den 10'a kadar olan sayılar, siparişleri hesaba katmadan kendilerini gösterir (yüzlerce, binlerce ...). Satır ve sütun başlıklarının sayı olduğu ve kesişimindeki hücrelerin içeriklerinin çarpımına eşit olduğu tablodur.

Son on yılların öğretmenlik uygulamasındaPisagor masasını "sırayla" ezberleme ihtiyacı vardı, yani önce ezberleme vardı. Sonuç 1 veya daha fazla olduğu için 1 ile çarpma hariç tutuldu. Bu arada, çıplak gözle tabloda bir model görebilirsiniz: sayıların çarpımı, satırın başlığına eşit olan bir adım artar. Böylece, ikinci faktör, istenen ürünü elde etmek için birinciyi kaç kez almamız gerektiğini bize gösterir. Bu sistem, Orta Çağ'da uygulanan sistemden çok daha kullanışlıdır: doğal bir sayının ne olduğunu ve ne kadar önemsiz olduğunu anlamak bile, insanlar ikinin gücüne dayalı bir sistem kullanarak günlük sayımlarını karmaşıklaştırmayı başardılar.

Matematiğin beşiği olarak alt küme

Şu anda, doğal sayıların alanı Nkarmaşık sayıların yalnızca alt kümelerinden biri olarak kabul edilir, ancak bu onları bilimde daha az değerli yapmaz. Doğal sayı, bir çocuğun kendisini ve etrafındaki dünyayı incelerken öğrendiği ilk şeydir. Bir parmak, iki parmak ... Onun sayesinde, bir kişi mantıklı düşünmenin yanı sıra nedeni belirleme ve sonucu çıkarma yeteneğini geliştirerek büyük keşiflere zemin hazırlar.