กฎของพีชคณิตแห่งตรรกะ

คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ตาม "สมัยก่อน"คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์เป็นหลักการพื้นฐานของการทำงานขึ้นอยู่กับสมมติฐานบางประการ เรียกว่ากฎของพีชคณิตตรรกะ อริสโตเติลนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้อธิบายถึงวินัยดังกล่าวเป็นครั้งแรก (แน่นอนว่าไม่มีรายละเอียดมากเท่าในรูปแบบสมัยใหม่) โดย Aristotle นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

ในฐานะที่เป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่แยกจากกันภายในกรอบของการศึกษาแคลคูลัสเชิงประพจน์พีชคณิตของตรรกะมีข้อสรุปและข้อสรุปที่มีโครงสร้างชัดเจนจำนวนหนึ่ง

เพื่อให้เข้าใจหัวข้อนี้ดีขึ้นเราจะวิเคราะห์แนวคิดที่จะช่วยในอนาคตเพื่อเรียนรู้กฎของพีชคณิตของตรรกะ

บางทีคำหลักในวินัยที่ศึกษาคือคำพูด นี่เป็นคำสั่งที่ไม่สามารถเป็นได้ทั้งเท็จและจริง เขามักจะมีเพียงหนึ่งในลักษณะเหล่านี้ ในกรณีนี้เป็นที่ยอมรับตามอัตภาพว่าความจริงได้รับค่า 1 ความเท็จ - 0 และคำสั่งนั้นเรียกว่าตัวอักษรละตินบางตัว: A, B, C กล่าวอีกนัยหนึ่งสูตร A = 1 หมายความว่าคำสั่ง A เป็นจริง คุณสามารถจัดการกับงบได้หลายวิธี ลองพิจารณาการกระทำที่คุณสามารถทำได้โดยสังเขป โปรดทราบว่ากฎของพีชคณิตของตรรกะไม่สามารถเรียนรู้ได้โดยไม่ต้องรู้กฎเหล่านี้

1. การตัดขาด สองคำสั่ง - ผลลัพธ์ของการดำเนินการ "หรือ" อาจเป็นเท็จหรือจริงก็ได้ ใช้อักขระ "v"

2. คำสันธาน ผลลัพธ์ของการกระทำดังกล่าวที่ดำเนินการกับสองคำสั่งจะเป็นคำสั่งใหม่จริงก็ต่อเมื่อข้อความเดิมทั้งสองเป็นจริง ใช้การดำเนินการ "และ" สัญลักษณ์ "^"

3. นัย. การดำเนินการ "ถ้า A แล้ว B" ผลลัพธ์คือข้อความที่เป็นเท็จก็ต่อเมื่อ A เป็นจริงและ B ใช้สัญลักษณ์ "->"

4. ความเท่าเทียมกัน การทำงาน "A if and only if B when" คำสั่งนี้เป็นจริงในกรณีที่ตัวแปรทั้งสองมีคะแนนเท่ากัน ใช้สัญลักษณ์ "<->"

นอกจากนี้ยังมีการดำเนินการหลายอย่างที่ใกล้เคียงกับความหมาย แต่จะไม่ได้รับการพิจารณาในบทความนี้

ตอนนี้ให้เราพิจารณารายละเอียดเกี่ยวกับกฎพื้นฐานของพีชคณิตของตรรกะ:

1. Commutative หรือ displaceable กล่าวว่าการเปลี่ยนตำแหน่งของคำศัพท์เชิงตรรกะในการดำเนินการร่วมหรือ disjunction ไม่ส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์

2. เชื่อมโยงหรือเชื่อมโยง ตามกฎหมายนี้ตัวแปรในการรวมหรือการแยกการดำเนินการสามารถรวมกันเป็นกลุ่มได้

3. Distributive หรือการกระจาย สาระสำคัญของกฎหมายคือตัวแปรที่เหมือนกันในสมการสามารถนำออกจากวงเล็บได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนตรรกะ

4. กฎของเดอมอร์แกน (การผกผันหรือการปฏิเสธ)การปฏิเสธของการดำเนินการรวมจะเทียบเท่ากับการแยกส่วนของการปฏิเสธของตัวแปรดั้งเดิม ในทางกลับกันการปฏิเสธของ disjunction จะเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธของตัวแปรเดียวกัน

5. การปฏิเสธสองครั้ง การปฏิเสธคำสั่งสองครั้งส่งผลให้คำสั่งเดิมสามครั้งเป็นการปฏิเสธ

6. กฎของ idempotency มีลักษณะเช่นนี้สำหรับการเพิ่มตรรกะ: x v x v x v x = x; สำหรับการคูณ: x ^ x ^ x ^ = x

7. กฎแห่งการไม่ขัดแย้งกล่าวว่าข้อความสองข้อความหากขัดแย้งกันจะไม่สามารถเป็นจริงได้ในเวลาเดียวกัน

8. กฎหมายของการยกเว้นที่สาม ในสองคำแถลงที่ขัดแย้งกันข้อความหนึ่งเป็นจริงเสมออีกคำเป็นเท็จไม่ได้ระบุข้อความที่สาม

9. กฎการดูดกลืนสามารถเขียนด้วยวิธีนี้สำหรับการบวกเชิงตรรกะ: x v (x ^ y) = x สำหรับการคูณ: x ^ (x v y) = x

10. กฎแห่งการติดกาวคำสันธานสองคำที่อยู่ติดกันสามารถติดกันทำให้เกิดการรวมกันของอันดับที่ต่ำกว่า ในกรณีนี้ตัวแปรที่คำสันธานดั้งเดิมถูกจับเข้าด้วยกันจะหายไป ตัวอย่างสำหรับการเพิ่มตรรกะ:

(x ^ y) v (-x ^ y) = y

เราได้พิจารณาเฉพาะกฎหมายที่ใช้มากที่สุดพีชคณิตของลอจิกซึ่งในความเป็นจริงอาจมีได้อีกมากมายเนื่องจากสมการเชิงตรรกะมักจะได้มาในรูปแบบที่ยาวและหรูหราซึ่งสามารถย่อให้สั้นลงได้โดยใช้กฎหมายที่คล้ายคลึงกันหลายประการ

ตามกฎแล้วเพื่อความสะดวกในการนับและระบุผลลัพธ์โดยใช้ตารางพิเศษ กฎที่มีอยู่ทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะตารางที่มีโครงสร้างทั่วไปของสี่เหลี่ยมตารางถูกวาดโดยการกระจายตัวแปรแต่ละตัวในเซลล์แยกกัน ยิ่งสมการมีขนาดใหญ่เท่าไหร่การจัดการโดยใช้ตารางก็จะง่ายขึ้นเท่านั้น