На школском курсу математике дете први пут чује појам „једначина“. Шта је то, покушајмо заједно да схватимо. У овом чланку ћемо размотрити врсте и решења.
Математика. Једначине
За почетак предлажемо да се тиме позабавите самиконцепт шта је то? Као што кажу многи уџбеници математике, једначина је неки израз, између којег увек постоји знак једнакости. Ови изрази садрже слова, такозване променљиве, чија вредност мора бити пронађена.
Шта је променљива? Ово је атрибут система који мења његово значење. Добар пример променљивих су:
- температура ваздуха;
- висина детета;
- тежина и тако даље.
У математици се означавају словима, на пример,к, а, б, ц ... Обично задатак из математике звучи овако: пронађите вредност једначине. То значи да треба да пронађете вредност ових променљивих.
Вариетиес
Једначина (шта је то, анализирали смо у претходном пасусу) може бити следећег облика:
- линеарно;
- квадрат;
- кубни;
- алгебарски;
- трансцендентални.
За детаљније упознавање са свим врстама, размотрићемо сваку засебно.
Линеарна једначина
Ово је прва врста коју школарци упознају.Решавају се прилично брзо и лако. Дакле, линеарна једначина, шта је то? Ово је израз облика: ах = ц. То није баш јасно, па ћемо дати неколико примера: 2к = 26; 5к = 40; 1,2к = 6.
Погледајмо неке примере једначина.За ово морамо сакупити све познате податке с једне, а непознанице с друге стране: к = 26/2; к = 40/5; к = 6 / 1.2. Овде су коришћена основна правила математике: а * ц = е, од овога ц = е / а; а = е / ц. Да бисмо завршили решење једначине, изводимо једну радњу (у нашем случају поделу) к = 13; к = 8; к = 5. То су били примери множења, погледајмо сада одузимање и сабирање: к + 3 = 9; 10к-5 = 15. Познате податке преносимо у једном правцу: к = 9-3; к = 20/10. Изводимо последњу акцију: к = 6; к = 2.
Могуће су и варијанте линеарних једначина, при чемукористи се више променљивих: 2к-2и = 4. Да би се решило, потребно је сваком делу додати по 2и, добијамо 2к-2и + 2и = 4-2и, као што смо приметили, на левој страни знака једнакости поништавају се -2и и + 2и, док још увек имају: 2к = 4 -2г. Последњи корак је да се сваки део подели са два, добићемо одговор: х је једнако два минус игра.
Проблеми са једначином сусрећу се чак и напапируси Ахмес. Ево једног од проблема: број и четврти део збрајају се на 15. Да бисмо га решили, напишемо следећу једначину: к плус једна четврта к једнако је петнаест. Видимо још један пример линеарне једначине, као резултат решења добијамо одговор: к = 12. Али овај проблем се може решити на други начин, наиме египатски или, како се то на други начин назива, начин претпоставке. У папирусу се користи следеће решење: узми четири и четврти део, односно један. Укупно дају пет, сада се петнаест мора поделити са збиром, добијамо три, последњом акцијом помножимо три са четири. Добијамо одговор: 12. Зашто у решењу делимо петнаест са пет? Тако сазнајемо колико је пута петнаест, односно резултат који треба да добијемо је мањи од пет. На тај начин су се проблеми решавали у средњем веку, почео је да се назива методом лажног положаја.
Квадратне једначине
Поред претходно размотрених примера, постоје и други. Које? Квадратна једначина, шта је то? Они су облика секире2+ бк + ц = 0. Да бисте их решили, потребно је да се упознате са неким концептима и правилима.
Прво треба да пронађете дискриминант по формули: б2-4ац. Постоје три опције за исход одлуке:
- дискриминанта је већа од нуле;
- мање од нуле;
- је нула.
У првој опцији одговор можемо добити из два корена која се налазе по формули: -б + -роот из дискриминанте подељене удвострученим првим коефицијентом, односно 2а.
У другом случају, једначина нема корене. У трећем случају, корен се налази по формули: -б / 2а.
Размотрите пример квадратне једначине за вишедетаљно упознавање: три х на квадрат минус четрнаест к минус пет једнако је нули. За почетак, као што је раније написано, тражимо дискриминацију, у нашем случају је једнака 256. Имајте на уму да је резултујући број већи од нуле, стога бисмо требали добити одговор који се састоји од два корена. Замените резултујући дискриминант у формулу за проналажење корена. Као резултат, имамо: к је једнако пет и минус једна трећина.
Посебни случајеви у квадратним једначинама
То су примери у којима су неке вредности нула (а, б или ц), а можда и неколико.
На пример, узмите следећу једначину којаје квадрат: два к на квадрат једнако је нули, овде видимо да су б и ц нула. Покушајмо да га решимо, јер за то обе стране једначине делимо са две, имамо: к2= 0. Као резултат, добијамо к = 0.
Још један случај 16к2-9 = 0. Овде је само б = 0. Решимо једначину, пренесите слободни коефицијент на десну страну: 16к2= 9, сада сваки део делимо са шеснаест: х2= девет шеснаесте. Будући да имамо к на квадрат, коријен 9/16 може бити негативан или позитиван. Одговор записујемо на следећи начин: х је једнако плус / минус три четвртине.
Такође је могуће да је одговор да једначина уопште нема корене. Погледајмо овај пример: 5к2+ 80 = 0, овде б = 0. Да бисте решили слободни термин, баците га на десну страну, након ових радњи добијамо: 5к2= -80, сада сваки део делимо са пет: к2= минус шеснаест. Ако квадрирамо било који број, тада нећемо добити негативну вредност. Стога наш одговор звучи овако: једначина нема корене.
Триномска декомпозиција
Квадратни задатак може звучати на други начин: факторисати квадратни трином. То се може урадити помоћу следеће формуле: а (к-к1) (к-к2). За ово је, као и за другу варијанту задатка, неопходно пронаћи дискриминанта.
Размотрите следећи пример: 3к2-14к-5, фактор трином.Налазимо дискриминантни, користећи већ познату формулу, испада да је једнак 256. Одмах приметимо да је 256 веће од нуле, дакле, једначина ће имати два корена. Налазимо их, као у претходном пасусу, имамо: к = пет и минус једну трећину. Користимо формулу за рачунање тринома на факторе: 3 (к-5) (к + 1/3). У другој загради добили смо знак једнакости, јер формула садржи знак минус, а корен је такође негативан, користећи елементарно знање из математике, укупно имамо знак плус. Ради једноставности множимо први и трећи члан једначине да бисмо се ослободили разломка: (к-5) (к + 1).
Једначине редукујући на квадрат
У овом тренутку научићемо како да решавамо сложеније једначине. Почнимо одмах са примером:
(Икс2 - 2к)2 - 2 (к2 - 2к) - 3 = 0. Можемо видети понављајуће елементе: (к2 - 2к), за решење је погодно да га заменимодругу променљиву, а затим решите уобичајену квадратну једначину, одмах напомињемо да ћемо у таквом задатку добити четири корена, ово вас не би требало уплашити. Означавамо понављање променљиве а. Добијамо: а2-2а-3 = 0.Наш следећи корак је проналажење дискриминанта нове једначине. Добијамо 16, налазимо два корена: минус један и три. Сетимо се да смо извршили замену, заменили ове вредности, као резултат добили смо једначине: к2 - 2к = -1; Икс2 - 2к = 3.Решавамо их у првом одговору: к је једнако јединици, у другом: к је једнако минус један и три. Одговор записујемо на следећи начин: плус / минус један и три. Одговор се по правилу пише у растућем редоследу.
Кубичне једначине
Размотримо још једну могућу опцију. Реч је о кубним једначинама. Изгледају као: секира 3 + б к 2 + цк + д = 0. Даље ћемо размотрити примере једначина, и прво, мало теорије. Могу имати три корена, а постоји и формула за проналажење дискриминанта за кубну једначину.
Размотримо пример: 3к3+ 4к2+ 2к = 0. Како то решити? Да бисмо то урадили, једноставно постављамо к изван заграда: к (3к2+ 4к + 2) = 0. Све што треба да урадимо је да израчунамо корене једначине у загради. Дискриминант квадратне једначине у заградама је мањи од нуле, на основу овога израз има корен: к = 0.
Алгебра. Једначине
Пређимо на следећи приказ. Сада ћемо на брзину погледати алгебарске једначине. Један од задатака је следећи: методом груписања факторизирај 3к4+ 2к3+ 8к2+ 2к + 5. Најприкладнији начин био би следеће груписање: (3к4+ 3к2) + (2к3+ 2к) + (5к2+5). Имајте на уму да 8к2 из првог израза који смо представили као збир 3к2 и 5к2... Сада из сваке заграде извадимо заједнички фактор 3к2(к2 + 1) + 2к (к2+1) +5 (к2+1). Видимо да имамо заједнички фактор: к на квадрат плус један, стављамо га ван заграда: (к2+1) (3к2+ 2к + 5). Даље ширење је немогуће, јер обе једначине имају негативни дискриминантан карактер.
Трансценденталне једначине
Предлажемо да се позабавимо следећим типом. То су једначине које садрже трансценденталне функције, наиме логаритамске, тригонометријске или експоненцијалне. Примери: 6син2к + тгк-1 = 0, к + 5лгк = 3 и тако даље. Како се решавају научићете из курса тригонометрије.
Фунцтион
У завршној фази размотрите концепт једначинефункције. За разлику од претходних опција, овај тип није решен, али се на њему гради граф. Да бисте то урадили, једначину треба добро анализирати, пронаћи све потребне тачке за изградњу, израчунати минимум и максимум бодова.