Особине и методе проналажења корена квадратне једначине

Свет је уређен тако да је решење великог бројаПроблеми се своде на проналажење корена квадратне једначине. Корени једначина важни су за описивање различитих образаца. То су знали чак и геодети древног Вавилона. Астрономи и инжењери су такође били принуђени да реше такве проблеме. Још у 6. веку нове ере, индијски научник Ариабхата развио је темеље за проналажење корена квадратне једначине. Формуле су попримиле готов изглед у 19. веку.

Општи појмови

Предлажемо да се упознате са основним законима квадратних једнакости. Генерално, једнакост се може записати на следећи начин:

секира² + бк + ц = 0,

Број корена квадратне једначине може бити један или два. Брза анализа може се извршити користећи појам дискриминатора:

Д = б² - 4ац

У зависности од израчунате вредности добијамо:

• За Д> 0 постоје два различита корена. Општа формула за одређивање корена квадратне једначине изгледа (-б ± √Д) / (2а).
• Д = 0, у овом случају је корен један и одговара вредности к = -б / (2а)
• Д <0, нема решења за једначину за негативну вредност дискриминанта.

Напомена: ако је дискриминант негативан, једначина нема корене само у опсегу реалних бројева. Ако се алгебра прошири на концепт сложених корена, онда једначина има решење.

Ево ланца акција који потврђују формулу за проналажење корена.

Из општег облика једначине следи:

секира² + бк = -ц

Помножите десну и леву страну са 4а и додајте б², добијамо

4а²са² + 4абк + б² = -4ац + б²

Трансформишите леву страну као квадратни полином (2ак + б)²... Узмите квадратни корен обе стране једначине 2ак + б = -б ± √ (-4ац + б²), преносимо коефицијент б на десну страну, добијамо:

2ак = -б ± √ (-4ац + б²)

То подразумева:

к = (-б ± √ (б² - 4ац))

Шта се тражило да се покаже.

Посебан случај

У неким случајевима решавање проблема може бити поједностављено. Дакле, за парни коефицијент б добијамо једноставнију формулу.

Означавамо к = 1 / 2б, тада формула општег облика корена квадратне једначине поприма облик:

к = (-к ± √ (к² - ац)) / а

За Д = 0 добијамо к = -к / а

Још један посебан случај биће решење једначине за а = 1.

За поглед к² + бк + ц = 0 корени ће бити к = -к ± √ (к² - в) када је дискриминант већи од 0. За случај када је Д = 0, корен ће се одредити једноставном формулом: к = -к.

Коришћење графикона

Свака особа, а да то и не зна, непрестано се суочава са физичким, хемијским, биолошким, па и друштвеним појавама које добро описује квадратна функција.

Напомена: Крива заснована на квадратној функцији назива се парабола.

Ево неколико примера.

1. При израчунавању путање пројектила користи се својство кретања дуж параболе тела испаљеног под углом у односу на хоризонт.
2. Особина параболе да равномерно распоређује оптерећење широко се користи у архитектури.

Разумевање важности параболичке функције, хајде да схватимо како помоћу графа истражити његова својства, користећи концепте „дискриминанта“ и „корена квадратне једначине“.

У зависности од вредности коефицијената а и б, постоји само шест опција за положај криве:

1. Дискриминатор је позитиван, а и б имају различите знакове. Гране параболе усмерене су нагоре, квадратна једначина има два решења.
2. Дискриминант и коефицијент б једнаки су нули, коефицијент а је већи од нуле. Графикон је у позитивној зони, једначина има 1 корен.
3. Дискриминанти и сви коефицијенти су позитивни. Квадратна једначина нема решење.
4. Дискриминант и коефицијент а су негативни, б је већи од нуле. Гране графа су усмерене надоле, једначина има два корена.
5. Дискриминант и коефицијент б једнаки су нули, коефицијент а је негативан. Парабола гледа доле, једначина има један корен.
6. Дискриминанти и сви коефицијенти су негативни. Нема решења, вредности функције су потпуно у негативној зони.

Напомена: опција а = 0 се не узима у обзир, јер се у овом случају парабола дегенерише у праву линију.

Све наведено добро илуструје доња слика.

Примери решавања проблема

Услов: користећи општа својства, направите квадратну једначину чији су корени међусобно једнаки.

Одлука:

условом задатка к₁ = к₂, или -б + √ ​​(б² - 4ац) / (2а) = -б + √ ​​(б² - 4ац) / (2а). Поједностављивање уноса:

-б + √ ​​(б² - 4ац) / (2а) - (-б - √ (б² - 4ац) / (2а)) = 0, отворите заграде и наведите сличне изразе. Једначина има облик 2√ (б² - 4ац) = 0. Ова изјава је тачна када је б² - 4ац = 0, дакле б² = 4ац, тада се у једначину замењује вредност б = 2√ (ац)

секира² + 2√ (ац) к + ц = 0, у редукованом облику добијамо к² + 2√ (ц / а) к + ц = 0.

Одговор:

за а није једнако 0 и било које ц, постоји само једно решење ако је б = 2√ (ц / а).

Квадратне једначине за сву њихову једноставностсу од велике важности у инжењерским прорачунима. Готово сваки физички процес може се описати са одређеном апроксимацијом користећи функције снаге реда н. Квадратна једначина биће прва таква апроксимација.