Постоји неколико дефиниција појма „теоријабројеви ". Један од њих каже да је ово посебна грана математике (или виша аритметика), која детаљно проучава целе бројеве и њима сличне објекте.
Друга дефиниција појашњава да ова грана математике проучава својства бројева и њихово понашање у различитим ситуацијама.
Неки научници верују да је теорија толико опсежна да јој је немогуће дати тачну дефиницију, али довољно је само поделити је на неколико мање обимних теорија.
Поуздано утврдити када се теорија родилабројеви нису могући. Међутим, добро је утврђено: данас је најстарији, али не и једини документ који сведочи о интересовању старих за теорију бројева, мали фрагмент глинене плочице из 1800. п. Садржи бројне такозване питагорејске тројке (природни бројеви), од којих се многи састоје од пет знакова. Огроман број таквих тројки искључује њихову механичку селекцију. То указује да се интересовање за теорију бројева појавило, очигледно, много раније него што су научници у почетку претпостављали.
Најзначајније особе у развоју теорије су питагорејци Еуклид и Диофант, Индијанци Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскара, који су живели у средњем веку, па чак и касније Фермат, Еулер, Лагранге.
Почетком двадесетог века теорија бројева привукла је пажњу математичких генија као А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Марков, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев, И. М. Виноградов, Г Веил, А. Селберг.
Развијање и продубљивање прорачуна и истраживањадревни математичари, довели су теорију на нови, много виши ниво, покривајући многа подручја. Дубинско истраживање и потрага за новим доказима довели су до открића нових проблема, од којих неки још нису проучавани. Останите отворени: Артинова претпоставка о бесконачности скупа простих бројева, питање бесконачности броја простих бројева, многе друге теорије.
Данас су главне компоненте на које је теорија бројева подељена теорије: елементарне, велики бројеви, случајни бројеви, аналитичке, алгебарске.
Основне студије теорије бројевацели бројеви без цртања метода и концепата из других грана математике. Фибоначијеви бројеви, Ферматова мала теорема, најчешћи су појмови из ове теорије познати чак и школарцима.
Теорија великих бројева (или закон великих бројева) -пододељак теорије вероватноће којим се жели доказати да се аритметичка средина (другим речима, емпиријска средина) великог узорка приближава математичком очекивању (које се назива и теоријска средина) овог узорка под условом фиксне расподеле.
Теорија случајних бројева, делећи све догађаје нанесигурна, детерминистичка и случајна, покушава да утврди вероватноћом једноставних догађаја вероватноћу сложених. Овај одељак укључује својства условних вероватноћа и теорему њиховог множења, теорему хипотеза (која се често назива Баиес-овом формулом) итд.
Аналитичка теорија бројева, што се јасно види из њенеимена, за проучавање математичких вредности и нумеричких својстава користи методе и технике математичке анализе. Један од главних праваца ове теорије је доказ теореме (користећи сложену анализу) о расподели простих бројева.
Алгебарска теорија бројева ради директно са бројевима, њиховим аналогама (на пример, алгебарским бројевима), проучава теорију делитеља, кохомологију група, Дирицхлет-ове функције итд.
Вековни покушаји да се докаже Ферматова теорема довели су до појаве и развоја ове теорије.
До двадесетог века теорија бројева сматрала се апстрактномнаука, „чиста уметност из математике“, која нема апсолутно никакву практичну или утилитаристичку примену. Данас се његови прорачуни користе у криптографским протоколима, при израчунавању путања сателита и свемирских сонди, у програмирању. Економија, финансије, рачунарство, геологија - све ове науке данас су немогуће без теорије бројева.
