Paralelizmus rovín: stav a vlastnosti

Rovnobežnosť rovín je koncept, ktorý sa v euklidovskej geometrii prvýkrát objavil pred viac ako dvetisíc rokmi.

Hlavné charakteristiky klasickej geometrie

Zrod tejto vednej disciplíny je spojený snajslávnejšie dielo starogréckeho mysliteľa Euklida, ktorý napísal brožúru „Začiatok“ v treťom storočí pred naším letopočtom. Rozdelené do trinástich kníh boli „Počiatky“ najvyšším výdobytkom starej matematiky a stanovili základné postuláty spojené s vlastnosťami plochých postáv.

Klasická podmienka pre rovnobežnosť rovínbol formulovaný takto: dve roviny možno nazvať rovnobežnými, ak nemajú spoločné body. Toto bolo uvedené v piatom postuláte euklidovskej práce.

Vlastnosti paralelnej roviny

V euklidovskej geometrii sa vyznačujú spravidla piatimi:

• Majetok jeden (popisuje rovnobežnosť rovín a ich jedinečnosť). Prostredníctvom jedného bodu, ktorý leží mimo konkrétnej danej roviny, môžeme nakresliť jednu a iba jednu rovinu rovnobežnú s ňou

• Druhá vlastnosť (nazýva sa to aj trojparalelná vlastnosť). V prípade, že sú dve roviny rovnobežné s treťou, sú tiež navzájom rovnobežné.

• Majetok tretí (inými slovami, nazýva sa to vlastnosť priamky pretínajúcej rovnobežnosť rovín). Ak jedna priamka pretína jednu z týchto rovnobežných rovín, potom pretína druhú.

• Nehnuteľnosť štyri (vlastnosť priamok vytesaných do rovín, ktoré sú navzájom rovnobežné). Keď sa dve rovnobežné roviny pretínajú s treťou (v ľubovoľnom uhle), sú čiary ich priesečníka tiež rovnobežné

• Piata vlastnosť (vlastnosť popisujúca rôzne segmentyrovnobežné rovné čiary, ktoré sú uzavreté medzi rovinami navzájom rovnobežnými). Segmenty tých rovnobežných priamok, ktoré sú uzavreté medzi dvoma rovnobežnými rovinami, sú nevyhnutne rovnaké.

Rovnobežnosť rovín v neeuklidovských geometriách

Takýmito prístupmi sú najmä geometriaLobachevskij a Riemann. Ak sa Euklidova geometria realizovala na plochých priestoroch, potom v Lobachevskom v negatívne zakrivených priestoroch (zakrivené, jednoducho povedané) a v Riemannovej nachádza realizáciu v pozitívne zakrivených priestoroch (inými slovami sféry). Existuje veľmi rozšírený stereotypný názor, že Lobačevského paralelné roviny (a tiež čiary) sa pretínajú.

Nie je to však pravda.Zrod hyperbolickej geometrie skutočne súvisel s dôkazom piateho Euklidovho postulátu a so zmenou jeho názorov, avšak už zo samotnej definície rovnobežných rovín a priamok vyplýva, že sa nemôžu pretínať ani u Lobachevského, ani u Riemanna priestory sú realizované. A zmena názorov a formulácií bola nasledovná. Postulát, že bodom, ktorý neleží na tejto rovine, možno nakresliť iba jednu rovnobežnú rovinu, bol nahradený inou formuláciou: cez bod, ktorý neleží na danej konkrétnej rovine, sú v ňom umiestnené prinajmenšom dve priamky. rovnaká rovina s danou a nepretínajú ju.