Derivácia nejakej funkcie f (x) v konkrétnombod x0 sa nazýva hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že x nasleduje po 0 a hranica existuje. Derivát sa zvyčajne označuje prvočíslom, niekedy bodkou alebo diferenciálom. Derivácia cez hranicu je často zavádzajúca, pretože takáto reprezentácia sa používa len zriedka.
Funkcia, ktorá má deriváciu v určitombod x0 sa v takomto bode zvykne nazývať diferencovateľné. Predpokladajme, že D1 je množina bodov, v ktorých je funkcia f diferencovaná. Ak každému číslu priradíme číslo x prislúchajúce Df'(x), dostaneme funkciu s oblasťou zápisu D1. Táto funkcia je deriváciou y = f (x). Označuje sa takto: f '(x).
Okrem toho je derivát široko používaný vfyziky a techniky. Pozrime sa na najjednoduchší príklad. Hmotný bod sa pohybuje po súradnici priamo a je daný pohybový zákon, to znamená, že súradnica x tohto bodu je známa funkcia x (t). Počas časového intervalu od t0 do t0 + t je pohyb bodu x (t0 + t) -x (t0) = x a jeho priemerná rýchlosť v (t) je x / t.
Niekedy sa charakter pohybu prezentuje tak, že prina krátke časové úseky sa priemerná rýchlosť nemení, čo znamená, že pohyb s vyššou mierou presnosti sa považuje za rovnomerný. Alebo hodnota priemernej rýchlosti, ak t0 nasleduje po nejakej absolútne presnej hodnote, ktorá sa nazýva okamžitá rýchlosť v (t0) tohto bodu v určitom časovom okamihu t0. Predpokladá sa, že okamžitá rýchlosť v (t) je známa pre akúkoľvek diferencovanú funkciu x (t), pričom v (t) sa bude rovnať x '(t). Jednoducho povedané, rýchlosť je časovou deriváciou súradnice.
Okamžitá rýchlosť má pozitívne ajzáporné hodnoty, ako aj hodnotu 0. Ak je v určitom časovom intervale (t1; t2) kladný, potom sa bod pohybuje rovnakým smerom, to znamená, že súradnica x (t) rastie s časom a ak v ( t) je záporné, potom súradnica x (t) klesá.
V ťažších prípadoch sa bod pohybuje v rovine alebo v priestore. Potom je rýchlosť vektorovou veličinou a určuje každú zo súradníc vektora v (t).
Podobne sa to dá porovnať so zrýchlenímbodový pohyb. Rýchlosť je funkciou času, to znamená v = v (t). A deriváciou takejto funkcie je zrýchlenie pohybu: a = v ’(t). To znamená, že sa ukazuje, že časovou deriváciou rýchlosti je zrýchlenie.
Predpokladajme, že y = f (x) je ľubovoľne diferencovanéfunkciu. Potom môžete uvažovať o pohybe hmotného bodu pozdĺž súradnicovej čiary, ktorá sa vyskytuje za zákonom x = f (t). Mechanický obsah derivátu umožňuje prezentovať vizuálnu interpretáciu teorémov diferenciálneho počtu.
Ako nájdem derivát? Nájdenie derivácie nejakej funkcie sa nazýva jej derivácia.
Tu je niekoľko príkladov, ako nájsť odvodenú funkciu:
Derivácia konštantnej funkcie je nula; derivácia funkcie y = x sa rovná jednej.
Ako zistíte deriváciu zlomku? Ak to chcete urobiť, zvážte nasledujúci materiál:
Pre ľubovoľné x0 <> 0 máme
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Existuje niekoľko pravidiel na nájdenie derivátu. menovite:
Ak sú funkcie A a B diferencované v bode x0,potom sa ich súčet diferencuje v bode: (A + B) ’= A’ + B ’. Jednoducho povedané, derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií. Ak je funkcia v určitom bode diferencovaná, potom jej prírastok nasleduje po nule, keď prírastok argumentu nasleduje po nule.
Ak sú funkcie A a B diferencované v bode x0,potom je ich súčin diferencovaný v bode: (A * B) '= A'B + AB'. (Hodnoty funkcií a ich derivácií sú vypočítané v bode x0). Ak je funkcia A (x) diferencovaná v bode x0 a C je konštantná, potom je funkcia CA diferencovaná v tomto bode a (CA) '= CA'. To znamená, že takýto konštantný faktor je vyňatý zo znamienka derivácie.
Ak sú funkcie A a B diferencované v bode x0 a funkcia B sa nerovná nule, ich pomer je tiež diferencovaný v bode: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
