O funcție continuă este o funcțiefără „salturi”, adică una pentru care este îndeplinită condiția: mici modificări ale argumentului sunt urmate de mici modificări ale valorilor corespunzătoare ale funcției. Graficul unei astfel de funcții este o curbă lină sau continuă.
Continuitatea la un punct care limitează uniisetul poate fi definit folosind conceptul de limită, și anume: funcția trebuie să aibă o limită în acest punct, care este egală cu valoarea sa în punctul limită.
Dacă sunt încălcate aceste condiții la un moment dat,ei spun că funcția la un moment dat suferă o discontinuitate, adică continuitatea ei este ruptă. În limbajul limitelor, un punct de întrerupere poate fi descris ca o nepotrivire între valoarea unei funcții în punctul de rupere și limita unei funcții (dacă există).
Punctul de pauză poate fi de unică folosințăexistența unei limite a funcției este necesară, dar nu coincide cu valoarea acesteia la un moment dat. În acest caz, poate fi „corectat” în acest moment, adică poate fi redefinit la punctul de continuitate.
O imagine complet diferită se dezvoltă dacă limita funcției nu există la un moment dat. Există două puncte de pauză posibile:
- de primul tip - ambele limite unilateral sunt prezente și finite, iar valoarea uneia dintre ele sau ambele nu coincide cu valoarea funcției la un moment dat;
- de cel de-al doilea fel, atunci când una sau ambele limite unilateral nu există sau valorile lor sunt infinite.
Proprietățile funcțiilor continue
- Funcția obținută ca urmare a operațiilor aritmetice, precum și suprapunerea funcțiilor continue pe domeniul lor de definiție, este de asemenea continuă.
- Dacă vi se oferă o funcție continuă care este pozitivă la un moment dat, atunci puteți găsi întotdeauna un cartier suficient de mic, pe care își păstrează semnul.
- În mod similar, dacă valorile sale în două puncte A și Bsunt egale, respectiv, a și b, și a este diferită de b, atunci pentru punctele intermediare va lua toate valorile din intervalul (a; b). O concluzie interesantă poate fi extrasă din acest lucru: dacă permiteți o bandă elastică întinsă să se micșoreze, astfel încât să nu se afunde (rămâne drept), atunci unul dintre punctele sale va rămâne nemișcat. Geometric, aceasta înseamnă că există o linie dreaptă care trece prin orice punct intermediar între A și B, care intersectează graficul funcției.
Să subliniem unele dintre funcțiile elementare continue (în domeniul lor de definiție):
- constant;
- raţional;
- trigonometric.
Între două concepte fundamentale înmatematica - continuitate și diferențiere - există o legătură inextricabilă. Este suficient să ne amintim că pentru ca o funcție să poată fi diferențiată este necesar să fie o funcție continuă.
Dacă funcția este diferențiată la un moment dat, atunci este continuă acolo. Cu toate acestea, nu este deloc necesar ca derivatul său să fie continuu.
O funcție având un setderivat continuu, aparține unei clase separate de funcții netede. Cu alte cuvinte, este o funcție continuă diferențiată. Dacă derivatul are un număr limitat de puncte de discontinuitate (numai de primul tip), atunci o astfel de funcție se numește netedă.
Un alt concept important de calculeste continuitatea uniformă a unei funcții, adică capacitatea acesteia de a fi la fel de continuă în orice punct al domeniului său de definiție. Astfel, aceasta este o proprietate care este considerată la o multitudine de puncte și nu la unul separat.
Dacă rezolvați punctul, atunci nu primiți nimicîn afară de definiția continuității, adică din prezența continuității uniforme rezultă că avem o funcție continuă. În general, conversația nu este adevărată. Cu toate acestea, conform teoremei lui Cantor, dacă o funcție este continuă pe un set compact, adică pe un interval închis, atunci este uniform continuu pe ea.
