Acțiune cu fracții comune. Acțiuni combinate cu fracții și fracții zecimale

Fracțiile sunt ordinare și zecimale.Când elevul află despre existența acestuia din urmă, începe cu fiecare ocazie să traducă tot ceea ce este posibil în formă zecimală, chiar dacă acest lucru nu este necesar.

Destul de ciudat, liceeni și studențipreferințele se modifică deoarece este mai ușor să efectuați multe operații aritmetice cu fracții comune. Și valorile cu care se confruntă absolvenții pot fi uneori pur și simplu imposibil de convertit într-o formă zecimală fără pierderi. Ca urmare, ambele tipuri de fracții sunt, într-un fel sau altul, adaptate cazului și au propriile avantaje și dezavantaje. Să vedem cum să lucrăm cu ei.

definiție

Fracțiile sunt aceleași acțiuni.Dacă într-o portocală sunt zece felii și ți s-a dat una, atunci ai 1/10 din fructe în mână. Cu o astfel de notație, ca în propoziția anterioară, fracția va fi numită fracție obișnuită. Dacă scrieți la fel ca 0,1 - zecimal. Ambele variante sunt egale, dar au propriile lor avantaje. Prima opțiune este mai convenabilă pentru înmulțire și împărțire, a doua - pentru adunare, scădere și într-o serie de alte cazuri.

Cum se transformă o fracție într-o altă formă

Să presupunem că aveți o fracție comună și doriți să o convertiți într-o zecimală. Ce trebuie sa fac?

Apropo, trebuie să decideți dinainte ceNu orice număr poate fi scris cu ușurință sub formă zecimală. Uneori trebuie să rotunjiți rezultatul, pierzând un anumit număr de zecimale, iar în multe domenii - de exemplu, în științe exacte - acesta este un lux complet inaccesibil. În același timp, acțiunile cu fracții zecimale și ordinare în clasa a V-a fac posibilă efectuarea unui astfel de transfer de la un tip la altul fără interferențe, cel puțin ca antrenament.

Dacă de la numitor, prin înmulțirea sau împărțirea cu un număr întreg, se poate obține o valoare care este multiplu de 10, transferul va trece fără dificultăți: ¾ se transformă în 0,75, 13/20 în 0,65.

Procedura inversă este și mai ușoară, deoarece puteți obține întotdeauna o fracție obișnuită dintr-o fracție zecimală fără pierderi de precizie. De exemplu, 0,2 devine 1/5, iar 0,08 devine 4/25.

Conversii interne

Înainte de a efectua acțiuni comune cu fracții obișnuite, trebuie să pregătiți numerele pentru posibile operații matematice.

În primul rând, trebuie să aduci tot ce este disponibilexemplu de fracție într-o formă generală. Ele trebuie să fie fie obișnuite, fie zecimale. Faceți imediat o rezervă că înmulțirea și împărțirea sunt mai convenabile de efectuat cu prima.

În pregătirea numerelor pentru acțiuni ulterioare, tuo regulă care este cunoscută ca proprietatea de bază a unei fracții și este folosită atât în ​​primii ani de studiu a materiei, cât și în matematica superioară, care este studiată la universități, va ajuta.

Proprietățile fracției

Să presupunem că ai ceva valoare.Să spunem 2/3. Ce se întâmplă dacă înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3? Obțineți 6/9. Dacă e un milion? 2000000/3000000. Dar stați, pentru că numărul nu se schimbă deloc calitativ - 2/3 rămân egale cu 2000000/3000000. Se schimbă doar forma, nu și conținutul. Același lucru se întâmplă atunci când ambele părți sunt împărțite la aceeași valoare. Aceasta este proprietatea principală a fracției, care vă va ajuta în mod repetat să efectuați acțiuni cu fracții zecimale și obișnuite la teste și examene.

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu acelașiUn număr se numește expansiune a unei fracții, iar diviziunea se numește reducere. Trebuie să spun că tăierea acelorași numere de sus și de jos atunci când înmulțiți și împărțiți fracții este o procedură surprinzător de plăcută (ca parte a unei lecții de matematică, desigur). Se pare că răspunsul este deja aproape și exemplul practic este rezolvat.

Fracții improprii

O fracție improprie este una în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul. Cu alte cuvinte, dacă o parte întreagă poate fi distinsă de ea, se încadrează în această definiție.

Dacă un astfel de număr (mai mare sau egal cu unu)reprezentată ca o fracție obișnuită, se va numi improprie. Și dacă numărătorul este mai mic decât numitorul - corect. Ambele tipuri sunt la fel de convenabile în implementarea acțiunilor posibile cu fracții obișnuite. Ele pot fi înmulțite și împărțite liber, adunate și scăzute.

Dacă, pe de altă parte, se evidențiază o parte întreagă șiacesta are un rest sub forma unei fracții, numărul rezultat se va numi mixt. În viitor, veți întâlni diverse moduri de a combina astfel de structuri cu variabile, precum și de rezolvare a ecuațiilor în care aceste cunoștințe sunt necesare.

Operatii aritmetice

Dacă totul este clar cu proprietatea de bază a unei fracții, atunci cumse comportă la înmulțirea fracțiilor? Acțiunile cu fracții obișnuite din clasa a 5-a presupun tot felul de operații aritmetice care se efectuează în două moduri diferite.

Înmulțirea și împărțirea sunt foarte ușoare.În primul caz, numărătorii și numitorii a două fracții sunt pur și simplu înmulțiți. În al doilea - același lucru, doar transversal. Astfel, numărătorul primei fracții se înmulțește cu numitorul celei de-a doua și invers.

Pentru a efectua adunarea și scăderea, aveți nevoieefectuați o acțiune suplimentară - aduceți toate componentele expresiei la un numitor comun. Aceasta înseamnă că părțile inferioare ale fracțiilor trebuie modificate la aceeași valoare - un multiplu al ambilor numitori disponibili. De exemplu, pentru 2 și 5 va fi 10. Pentru 3 și 6 - 6. Dar atunci ce să faci cu vârful? Nu îl putem lăsa așa cum a fost dacă îl schimbăm pe cel de jos. Conform proprietății de bază a unei fracții, înmulțim numărătorul cu același număr ca și numitorul. Această operație trebuie efectuată pe fiecare dintre numerele pe care le vom aduna sau scădea. Cu toate acestea, astfel de acțiuni cu fracții obișnuite în clasa a VI-a sunt deja efectuate „pe mașină”, iar dificultățile apar numai în stadiul inițial de studiere a subiectului.

comparație

Dacă două fracții au același numitor, atuncicel mai mare este cel al cărui numărător este mai mare. Dacă părțile superioare sunt aceleași, atunci cea cu numitorul mai mic va fi mai mare. Trebuie avut în vedere că astfel de situații de succes pentru comparație apar rar. Cel mai probabil, atât părțile superioare, cât și cele inferioare ale expresiilor nu se vor potrivi. Apoi, trebuie să vă amintiți despre acțiunile posibile cu fracțiile obișnuite și să utilizați tehnica folosită în adunare și scădere. În plus, amintiți-vă că, dacă vorbim despre numere negative, atunci fracția mai mare în modul va fi mai mică.

Avantajele fracțiilor comune

Se întâmplă ca profesorii să spună copiilor unulo frază, al cărei conținut poate fi exprimat astfel: cu cât se oferă mai multe informații la formularea sarcinii, cu atât soluția va fi mai ușoară. Sună ciudat? Dar într-adevăr: cu un număr mare de valori cunoscute, puteți folosi aproape orice formulă, dar dacă sunt furnizate doar câteva numere, pot fi necesare reflecții suplimentare, va trebui să vă amintiți și să demonstrați teoreme, să oferiți argumente în favoarea dreptății dvs. ...

De ce facem asta?În plus, fracțiile obișnuite, cu toată greutatea lor, pot simplifica foarte mult viața unui student, permițându-vă să reduceți linii întregi de valori atunci când înmulțiți și împărțiți, iar atunci când calculați suma și diferența, eliminați argumentele comune și , din nou, reduceți-le.

Când este necesar să se acționeze în comun cufracții și zecimale, transformările sunt efectuate în favoarea primei: cum traduceți 3/17 în formă zecimală? Doar cu pierderea de informații, nu altfel. Dar 0,1 poate fi reprezentat ca 1/10 și apoi ca 17/170. Și apoi se pot adăuga sau scădea cele două numere rezultate: 30/170 + 17/170 = 47/170.

De ce sunt utile zecimale?

Dacă operaţii cu fracţii obişnuiteeste mai convenabil de implementat, atunci este extrem de incomod să scrieți totul cu ajutorul lor, zecimale au un avantaj semnificativ aici. Comparați: 1748/10000 și 0,1748. Este aceeași valoare prezentată în două versiuni diferite. Desigur, a doua cale este mai ușoară!

De asemenea, zecimale sunt mai ușor de reprezentatdeoarece toate datele au o bază comună, care diferă doar prin ordine de mărime. Să presupunem că putem recunoaște cu ușurință o reducere de 30% și chiar o putem evalua ca fiind semnificativă. Veți înțelege imediat care este mai mult - 30% sau 137/379? Astfel, fracțiile zecimale asigură standardizarea calculelor.

În liceu, elevii rezolvă pătratulecuații. Este deja extrem de problematic să efectuați acțiuni cu fracții obișnuite aici, deoarece formula de calcul a valorilor variabilei conține rădăcina pătrată a sumei. În prezența unei fracții care nu poate fi redusă la o zecimală, soluția devine atât de complicată încât devine aproape imposibil să se calculeze răspunsul exact fără un calculator.

Deci, fiecare mod de reprezentare a fracțiilor are propriile sale avantaje în contextul adecvat.

Forme de intrare

Există două moduri de a înregistra acțiunile cufracții obișnuite: printr-o linie orizontală, în două „niveluri” și printr-o oblică (alias „slash”) - într-o linie. Când un elev scrie într-un caiet, prima opțiune este de obicei mai convenabilă și, prin urmare, mai frecventă. Distribuția unui număr de numere în celule contribuie la dezvoltarea atenției în calcule și transformări. Când scrieți într-un șir, puteți încurca din neatenție ordinea acțiunilor, puteți pierde orice date - adică să faceți o greșeală.

Destul de des în timpul nostru existănecesitatea de a imprima numere pe computer. Puteți separa fracțiile cu o bară orizontală tradițională folosind o funcție din Microsoft Word 2010 și versiuni ulterioare. Cert este că în aceste versiuni ale software-ului există o opțiune numită „formulă”. Afișează un câmp transformabil dreptunghiular în care puteți combina orice simboluri matematice, alcătuiți atât fracții cu două și „patru etaje”. La numitor și numărător, puteți folosi paranteze, semne de operație. Ca urmare, vei putea nota orice acțiuni comune cu fracții ordinare și zecimale în forma tradițională, adică modul în care te învață să faci asta la școală.

Dacă utilizați editorul de text Notepad standard, atunci toate expresiile fracționale vor trebui scrise printr-o bară oblică. Din păcate, nu există altă cale aici.

concluzie

Deci am luat în considerare toate acțiunile de bază cu fracții obișnuite, care, se pare, nu sunt atât de multe.

Dacă la început poate părea că este dificilsecțiunea de matematică, atunci aceasta este doar o impresie temporară - amintiți-vă, odată ce v-ați gândit așa la tabla înmulțirii, și chiar mai devreme - despre caietele obișnuite și numărarea de la unu la zece.

Este important să înțelegeți că fracțiile sunt folosite înviata de zi cu zi peste tot. Te vei ocupa de bani și calcule de inginerie, tehnologia informației și alfabetizarea muzicală și peste tot - peste tot! - vor apărea numerele fracționale. Prin urmare, nu fi leneș și studiază temeinic acest subiect - mai ales că nu este atât de dificil.