Secvența de numere și limita sareprezintă una dintre cele mai importante probleme de matematică de-a lungul istoriei acestei științe. Cunoștințe actualizate constant, noi teoreme și dovezi formulate - toate acestea ne permit să luăm în considerare acest concept din noi poziții și din unghiuri diferite.
Succesiunea numerică conformUna dintre cele mai comune definiții este o funcție matematică, a cărei bază este un set de numere naturale aranjate după unul sau altul.
Această funcţie poate fi considerată definită dacă se cunoaşte legea conform căreia pentru fiecare număr natural se poate defini clar numărul real.
Există mai multe opțiuni pentru a crea secvențe de numere.
În primul rând, această funcție poate fi definită astfelnumită metoda „explicită”, când există o anumită formulă cu ajutorul căreia fiecare dintre termenii săi poate fi determinat prin simpla înlocuire a unui număr de serie într-o secvență dată.
A doua metodă se numește „recurente”.Esența sa este că sunt specificați primii termeni ai unei secvențe numerice, precum și o formulă recurentă specială, cu ajutorul căreia, cunoscând termenul anterior, îl puteți găsi pe următorul.
În sfârșit, cel mai general mod de a specificasecvențe este așa-numita „metodă analitică”, când fără prea multe dificultăți este posibil nu numai identificarea unuia sau altul membru sub un anumit număr de serie, ci și, cunoscând mai mulți membri consecutivi, să se ajungă la o formulă generală pentru o funcție dată. .
Secvența de numere poate fi în scădere sau în creștere. În primul caz, fiecare membru ulterior este mai mic decât cel anterior, iar în al doilea, dimpotrivă, este mai mare.
Având în vedere acest subiect, nu se poate să nu se atingăîntrebare despre limitele secvenţelor. Limita unei secvențe este un număr atunci când, pentru orice valoare, inclusiv infinitezimală, există un număr ordinal după care abaterea membrilor succesivi ai șirului de la un punct dat în formă numerică devine mai mică decât valoarea specificată în timpul formării. a acestei functii.
Conceptul de limită a unei secvențe numerice este utilizat în mod activ atunci când se efectuează anumite calcule integrale și diferențiale.
Secvențele matematice au un întreg set de proprietăți destul de interesante.
În primul rând, orice succesiune de numere esteun exemplu de funcție matematică; prin urmare, acele proprietăți care sunt caracteristice funcțiilor pot fi aplicate în siguranță la secvențe. Cel mai frapant exemplu de astfel de proprietăți este prevederea despre serii aritmetice crescătoare și descrescătoare, care sunt unite printr-un concept general - secvențe monotone.
În al doilea rând, există un grup destul de maresecvențele care nu pot fi clasificate fie în creștere, fie în descreștere sunt secvențe periodice. În matematică, ele sunt de obicei considerate acele funcții în care există o așa-numită lungime a perioadei, adică de la un anumit moment (n) începe să se aplice următoarea egalitate yn = yn+T, unde T va fi chiar lungimea perioadei.
