Maclaurin sērija un noteiktu funkciju sadalīšanās

Augstākās matemātikas studentiem būtu jāzinaka noteiktas jaudas sērijas summa, kas pieder pie dotās sērijas konverģences intervāla, ir nepārtraukta un bezgalīga reižu diferencētas funkcijas. Rodas jautājums: vai ir iespējams apgalvot, ka dotā patvaļīgā funkcija f (x) ir noteiktas jaudas sērijas summa? Tas ir, kādos apstākļos f-ija f (x) var attēlot ar jaudas sēriju? Šāda jautājuma nozīme ir tajā, ka f-yu f (x) ir iespējams aptuveni aizstāt ar jaudas sērijas dažu pirmo terminu summu, tas ir, ar polinomu. Šāda funkcijas aizstāšana ar diezgan vienkāršu izteiksmi - polinomu - ir ērta arī dažu matemātiskās analīzes problēmu risināšanai, proti: risinot integrālus, aprēķinot diferenciālvienādojumus utt.

Pierādīts, ka dažiem f-ii f (x), kuros ir iespējams aprēķināt atvasinājumus līdz (n + 1) kārtībai, ieskaitot pēdējo, apkārtnē (α - R; x₀ + R) daži punkti x = α formula ir derīga:

Šī formula nes slavenā zinātnieka Brook Taylor vārdu. Sēriju, kas iegūta no iepriekšējās, sauc par Maclaurin sēriju:

Noteikums, kas ļauj veikt paplašināšanu Maclaurin sērijā:

1. Nosakiet pirmās, otrās, trešās ... kārtas atvasinājumus.
2. Aprēķiniet, ar ko atvasinājumi pie x = 0 ir vienādi.
3. Pierakstiet šai funkcijai Maclaurin sēriju un pēc tam nosakiet tās konverģences intervālu.
4. Nosakiet intervālu (-R; R), kur Maklaurina formulas atlikusī daļa

R_n(x) -> 0 kā n -> bezgalība. Ja tāda pastāv, funkcijai f (x) tajā jāsakrīt ar Maclaurin sērijas summu.

Tagad aplūkosim Maclaurin sēriju atsevišķām funkcijām.

1. Tātad pirmais būs f (x) = e^x... Protams, pēc savas īpatnības šādai funkcijai ir dažādu secību atvasinājumi, un f^k)(x) = e^ar, kur k ir vienāds ar visiem dabiskajiem skaitļiem. Aizstāt x = 0. Mēs saņemam f^k)(0) = e⁰= 1, k = 1,2 ... Pamatojoties uz iepriekš minēto, sērija e^x izskatīsies šādi:

2. Maklaurīna sērija funkcijai f (x) = sin x. Tūlīt paskaidrosim, ka visu nezināmo funkcijai būs atvasinājumi, turklāt f^"(x) = cos x = grēks (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = grēks (x + 2 * n / 2) ..., f^k)(x) = grēks (x + k * n / 2), kur k ir vienāds ar jebkuru dabisko skaitli. Tas ir, pēc vienkāršu aprēķinu veikšanas mēs varam nonākt pie secinājuma, ka f (x) = sin x sērija būs šāda:

3. Tagad mēģināsim apsvērt f-yu f (x) = cos x. Attiecībā uz visiem nezināmiem tam ir patvaļīgas kārtības atvasinājumi, un | f^k)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Atkal pēc noteiktu aprēķinu veikšanas iegūstam, ka f (x) = cos x sērija izskatīsies šādi:

Tātad, mēs esam uzskaitījuši vissvarīgākās funkcijasvar paplašināt Maclaurin sērijā, taču dažām funkcijām tos papildina Teilora sērija. Tagad mēs tos arī uzskaitīsim. Ir arī vērts atzīmēt, ka Teilora un Maklaurina sērijas ir svarīga augstākās matemātikas sēriju risināšanas semināra sastāvdaļa. Tātad Teilora rindās.

1. Pirmā būs f-ii f (x) = ln (1 + x) virkne.Tāpat kā iepriekšējos piemēros, dotajam f (x) = ln (1 + x) mēs varam pievienot sērijas, izmantojot Maclaurin sērijas vispārējo formu. tomēr šai funkcijai Maclaurin sēriju var iegūt daudz vieglāk. Integrējot noteiktu ģeometrisko virkni, mēs iegūstam virkni šāda parauga f (x) = ln (1 + x):

2. Un otrais, kas mūsu rakstā būs galīgs, būs f (x) = arctan x sērija. Attiecībā uz x, kas pieder intervālam [-1; 1], sadalīšanās ir derīga:

Tas ir viss. Šajā rakstā tika apskatītas visbiežāk izmantotās Teilora un Maklaurina sērijas augstākajā matemātikā, it īpaši ekonomikas un tehniskajās universitātēs.