Georgas Cantoras (nuotrauka pateikiama vėliau straipsnyje) -Vokiečių matematikas, sukūręs aibių teoriją ir įvedęs be galo didelių, bet vienas nuo kito besiskiriančių transfinitų skaičių sąvoką. Jis taip pat apibrėžė eilinius ir kardinalius skaičius bei sukūrė jų aritmetiką.
Georgas Cantoras: trumpa biografija
Gimė Sankt Peterburge, 1945 03 03.Jo tėvas buvo danų protestantų religijos atstovas Georgas Waldemaras Kantoras, užsiimantis prekyba, taip pat ir biržoje. Jo motina Maria Boehm buvo katalikė ir kilusi iš garsių muzikantų šeimos. Kai 1856 m. Susirgo Georgo tėvas, šeima, ieškodama švelnesnio klimato, persikėlė iš pradžių į Vysbadeną, o paskui į Frankfurtą. Berniuko matematiniai gabumai pasirodė dar prieš jo 15-ąjį gimtadienį, kai mokėsi privačiose Darmštato ir Vysbadeno mokyklose ir gimnazijose. Galų gale Georgas Cantoras įtikino savo tėvą tvirtai ketinęs tapti matematiku, o ne inžinieriumi.
Po trumpų studijų Ciuricho universitete 1863 m. Kantoras perėjo į Berlyno universitetą studijuoti fizikos, filosofijos ir matematikos. Ten jis buvo mokomas:
- Karlas Theodoras Weierstrassas, kurio analizės specializacija bene labiausiai paveikė Georgą;
- Ernstas Eduardas Kummeris, mokęs aukštesnės aritmetikos;
- Leopoldas Kroneckeris, skaičių teoretikas, vėliau priešinęsis Kantorui.
Praleidęs vieną semestrą Getingeno universitete,Kitais metais 1866 m. Georgas parašė daktaro disertaciją „Matematikoje klausimų teikimo menas yra vertingesnis nei problemų sprendimas“ apie problemą, kurią Karlas Friedrichas Gaussas paliko neišspręstas savo knygoje „Disquisitiones Arithmeticae“ (1801). Trumpai dėstęs Berlyno mergaičių mokykloje, Kantoras pradėjo dirbti Halės universitete, kur liko iki savo gyvenimo pabaigos, pirmiausia būdamas mokytoju, nuo 1872 m. - docentu, o nuo 1879 m. - profesoriumi.
Tyrimai
10 kūrinių serijos pradžioje nuo 1869 iki 1873 mGeorgas Cantoras svarstė skaičių teoriją. Kūrinyje atsispindėjo jo aistra temai, Gauso studijos ir Kroneckerio įtaka. Halle'o „Cantor“ kolegos, pripažinusios jo matematinį talentą, Heinricho Eduardo Heine'o pasiūlymu jis pasisuko į trigonometrinių eilučių teoriją, kurioje išplėtė realiųjų skaičių sampratą.
Pradedant nuo komplekso funkcijos darbovokiečių matematiko Bernhardo Riemanno kintamasis 1854 m., 1870 m. Kantoras parodė, kad tokią funkciją galima pavaizduoti tik vienu būdu - trigonometrinėmis eilėmis. Nagrinėjant skaičių (taškų) rinkinį, kuris neprieštarautų tokiam požiūriui, 1872 m. Jis pirmiausia paskatino neracionalių skaičių apibrėžimą, atsižvelgiant į suartėjančias racionaliųjų skaičių sekas (sveikųjų skaičių trupmenas), o tada prie darbo pradžios viso jo gyvenimo darbas, rinkinių teorija ir transfinitų skaičių samprata.
Rinkinių teorija
Georgas Cantoras, kurio rinkinių teorija gimėsusirašinėdamas su Braunšveigo technikos instituto matematiku Ričardu Dedekindu, jis draugavo su juo nuo vaikystės. Jie priėjo prie išvados, kad rinkiniai, baigtiniai ar begaliniai, yra elementų rinkinys (pavyzdžiui, skaičiai, {0, ± 1, ± 2 ...}), kurie turi tam tikrą savybę, išlaikydami savo individualumą. Tačiau kai Georgas Cantoras naudodamas „vienas su vienu“ susirašinėjimą tyrinėjo jų ypatybes (pavyzdžiui, {A, B, C} - {1, 2, 3}), jis greitai suprato, kad jie skiriasi priklausymo laipsniu, net jei tai būtų begaliniai rinkiniai, tai yra rinkiniai, kurių dalis ar pogrupis apima tiek objektų, kiek jis pats. Jo metodas netrukus davė nuostabių rezultatų.
1873 m. Georgas Cantoras (matematikas) parodė tairacionalūs skaičiai, nors ir begaliniai, yra suskaičiuojami, nes juos galima susirašyti vienas su kitu su natūraliaisiais skaičiais (t. y. 1, 2, 3 ir kt.). Jis parodė, kad realiųjų skaičių aibė, susidedanti iš iracionalių ir racionalių, yra begalinė ir nesuskaičiuojama. Paradoksalu, kad Kantoras įrodė, kad visų algebrinių skaičių rinkinyje yra tiek elementų, kiek ir visų sveikųjų skaičių rinkinyje, ir kad ne algebriniai transcendentiniai skaičiai, kurie yra iracionaliųjų skaičių pogrupis, yra nesuskaičiuojami ir todėl jų skaičius yra didesnis nei sveikieji skaičiai. ir turėtų būti laikomi begaliniais.
Varžovai ir šalininkai
Bet Kantoriaus darbas, kurį jis pirmiausia pateikėšie rezultatai nebuvo paskelbti žurnale „Krell“, nes vienas recenzentų - Kroneckeris - griežtai priešinosi. Bet po Dedekindo įsikišimo 1874 m. Jis buvo paskelbtas pavadinimu „Apie visų tikrųjų algebrinių skaičių charakteristikas“.
Mokslas ir asmeninis gyvenimas
Tais pačiais metais, per medųmėnesius su žmona Wally Gutmann Interlakene, Šveicarijoje, Kantoras susitiko su Dedekindu, kuris palankiai kalbėjo apie savo naują teoriją. Jurgio atlyginimas buvo nedidelis, tačiau už tėvo, mirusio 1863 m., Pinigus jis pasistatė namą savo žmonai ir penkiems vaikams. Daugelis jo darbų buvo paskelbti Švedijoje naujame žurnale „Acta Mathematica“, kurį redagavo ir įkūrė Gesta Mittag-Leffler, kuris vienas pirmųjų pripažino vokiečių matematiko talentą.
Ryšys su metafizika
Kantoriaus teorija tapo visiškai nauju dalykutyrimai, susiję su begaliniu matematika (pavyzdžiui, 1, 2, 3 serijos ir kt. bei sudėtingesniais rinkiniais), kurie daugiausia priklausė nuo susirašinėjimo vienas su kitu. Cantoras, sukūręs naujus metodus klausimams apie tęstinumą ir begalybę pateikti, padarė savo tyrimą dviprasmišką.
Kai jis teigė, kad begalinis skaičius yra tikrasegzistavimo, jis kreipėsi į senovės ir viduramžių filosofiją, atsižvelgdamas į tikrąją ir galimą begalybę, taip pat į ankstyvąjį religinį švietimą, kurį jam davė tėvai. 1883 m. Kantoras knygoje „Bendrosios teorijos pagrindai“ sujungė savo sampratą su Platono metafizika.
Tačiau Kroneckeris, kuris teigė, kad „egzistuoja“tik sveiki skaičiai („Dievas sukūrė sveikus skaičius, likusi dalis yra žmogaus darbas“), daugelį metų karštai atmetė jo samprotavimus ir trukdė jį skirti Berlyno universitete.
Transfinitiniai skaičiai
1895-97 m.Georgas Cantoras savo tęstinumo ir begalybės, įskaitant begalinius eilinius ir kardinalius skaičius, koncepciją visiškai suformavo savo garsiausiame veikale, paskelbtame pavadinimu „Indėlis kuriant transfinitinių skaičių teoriją“ (1915). Šiame rašinyje yra jo samprata, prie kurios jis vadovavosi parodydamas, kad begalinį rinkinį galima susirašinėti vienas su vienu iš jo pogrupių.
Pagal mažiausią transfinitinį kardinalinį skaičiųjis turėjo omenyje bet kokio rinkinio, kurį galima susirašinėti vienas su vienu natūraliais skaičiais, kardinalumą. Kantoras tai pavadino aleph-zero. Dideli transfinitiniai rinkiniai žymimi aleph-one, aleph-two ir kt. Tada jis sukūrė transfinitų skaičių aritmetiką, kuri buvo analogiška baigtinei aritmetikai. Taigi jis praturtino begalybės sampratą.
Opozicija, su kuria jis susidūrė, ir laikaskad jo idėjoms reikėjo visiškai pritarti, yra sunku iš naujo įvertinti senovinį klausimą, kas yra skaičius. Cantoras parodė, kad taškų rinkinys tiesėje turi didesnę galią nei alefas-nulis. Tai paskatino gerai žinomą tęstinumo hipotezės problemą - tarp alefo nulio ir tiesės taškų kardinalumo nėra kardinolų. Ši problema sukėlė didžiulį susidomėjimą 20-ojo amžiaus pirmoje ir antroje pusėje, ją tyrė daugelis matematikų, įskaitant Kurtą Gödelį ir Paulą Coheną.
Depresija
Georgo Cantoro biografija nuo 1884 mbuvo nustelbtas prasidėjusia psichine liga, tačiau jis ir toliau aktyviai dirbo. 1897 m. Jis padėjo surengti pirmąjį tarptautinį matematikos kongresą Ciuriche. Iš dalies dėl to, kad jam priešinosi Kroneckeris, jis dažnai užjautė jaunus pretenduojančius matematikus ir ieškojo būdų, kaip išvaduoti juos nuo mokytojų, kuriems jautėsi naujų idėjų grėsmė, priespaudos.
Pripažinimas
Amžių sandūroje jo darbai buvo visiškaipripažinta funkcijų teorijos, analizės ir topologijos pagrindu. Be to, Kantoro Georgo knygos buvo postūmis toliau plėtoti intuityvias ir formalistines matematikos loginių pagrindų mokyklas. Tai žymiai pakeitė mokymo sistemą ir dažnai siejama su „naująja matematika“.
1911 metais g.Kantoras buvo vienas iš pakviestų švęsti Šv. Andriejaus universiteto Škotijoje 500 metų jubiliejaus. Jis nuvyko ten tikėdamasis susitikti su Bertrand Russell, kuris neseniai išleistame veikale „Principia Mathematica“ pakartotinai užsiminė apie vokiečių matematiką, tačiau taip neatsitiko. Universitetas suteikė Kantorui garbės laipsnį, tačiau dėl ligos jis negalėjo priimti apdovanojimo asmeniškai.
Kantoras išėjo į pensiją 1913 m., gyveno skurde ir badavo per Pirmąjį pasaulinį karą. Šventės, skirtos jo 70-mečiui paminėti 1915 m., Buvo atšauktos dėl karo, tačiau jo namuose įvyko nedidelė ceremonija. Jis mirė 1918 m. Sausio 6 d. Halėje, psichiatrijos ligoninėje, kur praleido paskutinius savo gyvenimo metus.
Georgas Cantoras: biografija. Šeima
1874 m. Rugpjūčio 9 dVokiečių matematikas vedė Wally Gutmann. Pora susilaukė 4 sūnų ir 2 dukterų. Paskutinis vaikas gimė 1886 m. Naujame name, kurį įsigijo Kantoras. Tėvo palikimas padėjo išlaikyti savo šeimą. Kantoro sveikatos būklę stipriai paveikė jauniausio sūnaus mirtis 1899 m. - nuo tada jis nepaliko depresijos.
