Pasaulis yra sukurtas taip, kad daugelio sprendimasProblema sumažinama ieškant kvadratinės lygties šaknų. Lygčių šaknys yra svarbios apibūdinant įvairius modelius. Tai žinojo senovės Babilono kraštotyrininkai. Astronomai ir inžinieriai taip pat buvo priversti spręsti tokias problemas. Dar VI a. Po Kr. Indų mokslininkas Aryabhata sukūrė pagrindą kvadratinės lygties šaknims surasti. XIX amžiuje formulės įgavo galutinį vaizdą.
Bendrosios sąvokos
Siūlome susipažinti su pagrindiniais kvadratinių lygčių įstatymais. Apskritai lygybė gali būti parašyta taip:
ah2 + bx + c = 0,
Kvadratinės lygties šaknų skaičius gali būti vienas arba du. Greita analizė gali būti atliekama naudojant diskriminavimo sąvoką:
D = b2 - 4ac
Priklausomai nuo apskaičiuotos vertės, mes gauname:
- Kai D> 0, yra dvi skirtingos šaknys. Bendrosios kvadratinės lygties šaknų nustatymo formulė atrodo (-b ± √D) / (2a).
- D = 0, šiuo atveju šaknis yra viena ir atitinka vertę x = -b / (2a)
- D <0, jei neigiama diskriminacinė vertė, lygties sprendimas neegzistuoja.
Pastaba: jei diskriminatorius yra neigiamas, lygtis neturi šaknų tik iš tikrųjų skaičių. Jei išplėsime algebrą į sudėtingų šaknų sąvoką, tada lygtis turi sprendimą.
Pateikiame veiksmų grandinę, patvirtinančią šaknų radimo formulę.
Iš bendrosios lygties formos išplaukia:
ah2 + bx = -c
Dešinė ir kairė pusės padaugintos iš 4a ir pridedama b2gauti
cha2su2 + 4abx + b2 = -4ac + b2
Kairę pusę paverskite polinomo kvadratu (2ax + b)2. Ištraukite iš abiejų lygties 2ax + b = -b ± √ pusių kvadratinę šaknį (-4ac + b2), perduodame koeficientą b į dešinę pusę, gauname:
2ax = -b ± √ (-4ac + b2)
Tai reiškia:
x = (-b ± √ (b2 - 4ac))
Ką reikėjo parodyti.
Ypatingas atvejis
Kai kuriais atvejais problemos sprendimas gali būti supaprastintas. Taigi, norint gauti tolygų koeficientą b, gauname paprastesnę formulę.
Mes žymime k = 1 / 2b, tada kvadratinės lygties šaknų bendra formulė yra tokia:
x = (-k ± √ (k2 - ac)) / a
Jei D = 0, gauname x = -k / a
Kitas ypatingas atvejis bus a = 1 lygties sprendimas.
Vaizdui x2 + bx + c = 0 šaknys bus x = -k ± √ (k2 - c) kai diskriminantas yra didesnis nei 0. Tuo atveju, kai D = 0, šaknis bus nustatyta pagal paprastą formulę: x = -k.
Naudojant diagramas
Bet kuris asmuo, net pats to nežinodamas, nuolat susiduria su fiziniais, cheminiais, biologiniais ir net socialiniais reiškiniais, kuriuos gerai apibūdina kvadratinė funkcija.
Pastaba: kreivė, pagrįsta kvadratine funkcija, vadinama parabolė.
Štai keletas pavyzdžių.
- Apskaičiuojant sviedinio trajektoriją, naudojama judėjimo savybė palei kūno parabolę, iššautą kampu į horizontą.
- Parabolės savybė tolygiai paskirstyti apkrovą yra plačiai naudojama architektūroje.
Suprasdami parabolinės funkcijos svarbą, išsiaiškinkime, kaip naudoti grafiką, norint ištirti jo savybes, naudojant sąvokas „diskriminantas“ ir „kvadratinės lygties šaknys“.
Priklausomai nuo koeficientų a ir b vertės, kreivės padėčiai yra tik šeši variantai:
- Diskriminantas yra teigiamas, a ir b turi skirtingus ženklus. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, kvadratinė lygtis turi du sprendimus.
- Diskriminantas ir koeficientas b yra lygūs nuliui, koeficientas a yra didesnis už nulį. Grafikas yra teigiamoje zonoje, lygtis turi 1 šaknį.
- Diskriminantas ir visi koeficientai yra teigiami. Kvadratinė lygtis neturi sprendimo.
- Diskriminantas ir koeficientas a yra neigiami, b yra didesnis nei nulis. Grafiko šakos nukreiptos žemyn, lygtis turi dvi šaknis.
- Diskriminantas ir koeficientas b yra lygūs nuliui, koeficientas a yra neigiamas. Parabolė žiūri žemyn, lygtis turi vieną šaknį.
- Diskriminantas ir visi koeficientai yra neigiami. Sprendimų nėra, funkcijų vertės yra visiškai neigiamoje zonoje.
Pastaba: variantas a = 0 nėra svarstomas, nes šiuo atveju parabolė degeneruojasi tiesia linija.
Visa tai, kas išdėstyta pirmiau, gerai iliustruoja toliau pateiktame paveikslėlyje.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
Sąlyga: naudodamiesi bendromis savybėmis, padarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys yra lygios viena kitai.
Sprendimas:
pagal problemos teiginį x1 = x2arba -b + √ (b2 - 4ac) / (2a) = -b + √ (b2 - 4ac) / (2a). Įrašo supaprastinimas:
-b + √ (b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b2 - 4ac) / (2a)) = 0, atidarykite skliaustus ir pateikite panašius terminus. Lygtis įgauna formą 2√ (b2 - 4ac) = 0. Šis teiginys teisingas, kai b2 - 4ac = 0, taigi b2 = 4ac, tada reikšmė b = 2√ (ac) pakeičiama į lygtį
ah2 + 2√ (ac) x + c = 0, redukuotoje formoje gauname x2 + 2√ (c / a) x + c = 0.
Atsakymas yra:
jei n lygus 0 ir bet kuris c, yra tik vienas sprendimas, jei b = 2√ (c / a).
Kvadratinės lygtys dėl viso jų paprastumoyra labai svarbūs atliekant inžinerinius skaičiavimus. Beveik bet kokį fizinį procesą galima apibūdinti apytiksliai naudojant n eilės galios funkcijas. Kvadratinė lygtis bus pirmasis toks derinimas.
