Lyginimo sistemos plačiai naudojamosmatematinis įvairių procesų modeliavimas. Pavyzdžiui, sprendžiant valdymo ir gamybos planavimo problemas, logistikos maršrutus (transportavimo problemą) arba įrangos išdėstymą.
Lyginimo sistemos naudojamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos ir biologijos srityse, sprendžiant gyventojų dydžio nustatymo problemas.
Linijinių lygčių sistema vadinama dviem ar daugiau.lygtis su keliais kintamaisiais, kuriems reikia rasti bendrą sprendimą. Tokia numerių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrais lygiais arba įrodo, kad seka neegzistuoja.
Linijinė lygtis
Formą ax + pagal = c sudaro lygtys. Žymėjimas x, y nežinomas, kurio vertė turi būti nustatyta, b, a yra kintamųjų koeficientai, c yra laisva lygties trukmė.
Nustačius lygtį, braižant grafiką, bus linija, kurios visi taškai yra polinomo sprendimas.
Linijinių lygčių sistemų tipai
Paprastiausi yra linijinių lygčių sistemų pavyzdžiai su dviem kintamaisiais X ir Y.
F1 (x, y) = 0 ir F2 (x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, ir (x, y) yra funkciniai kintamieji.
Išspręsti lygties sistemą - tai reiškia, kad reikia rasti tokias vertes (x, y), kuriomis sistema virsta tikra lygybe arba nustato, kad nėra tinkamų x ir y verčių.
Vertybių (x, y) pora, parašyta taško koordinatėmis, vadinama linijinių lygčių sistemos sprendimu.
Jei sistemose yra vienas bendras sprendimas arba nėra sprendimų, jie vadinami lygiaverčiais.
Homogeninės linijinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinė pusė yra nulis. Jei po ženklo „lygybė“ dalis turi teisę arba išreiškė funkciją, tokia sistema yra nevienalytė.
Kintamųjų skaičius gali būti daug daugiau nei du, tada turėtumėte kalbėti apie linijinių lygčių sistemos pavyzdį su trimis ar daugiau kintamaisiais.
Mokiniai, susidūrę su sistemomis, daro prielaidąkad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau tai nėra taip. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų; jų gali būti tiek, kiek jums patinka.
Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo būdai
Не существует общего аналитического способа panašių sistemų sprendimai, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Matematikos mokyklos kursas išsamiai aprašo tokius metodus kaip permutacija, algebrinė pridėjimas, pakaitalas, grafinis ir matricinis metodas, sprendimas Gauso metodu.
Pagrindinė užduotis mokant sprendimus yratai išmokyti tinkamai analizuoti sistemą ir rasti optimalų kiekvieno pavyzdžio sprendimo algoritmą. Svarbiausia ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti to ar kito metodo taikymo principus
Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas 7Pagrindinė mokyklos programa yra gana paprasta ir labai išsamiai paaiškinta. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Linijinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodais išsamiau nagrinėjamas pirmaisiais aukštojo mokslo metais.
Sistemų sprendimas pakeitimo metodu
Poveikio metodas veikiavieno kintamojo vertės išraiška per antrąjį. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji sumažinama iki formos su vienu kintamuoju. Veiksmas kartojamas atsižvelgiant į nežinomųjų skaičių sistemoje
Pateiksime 7-osios klasės linijinių lygčių sistemos pavyzdį pagal pakaitalo metodą:
Kaip matote iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštasper F (X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ą sistemos lygtį vietoje X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. Šio pavyzdžio sprendimas nesukelia jokių sunkumų ir leidžia jums gauti Y vertę.Paskutinis žingsnis yra patikrinti gautas reikšmes.
Išspręskite tiesinių lygčių sistemos pavyzdįpakeisti ne visada įmanoma. Lygtys gali būti sudėtingos, o kintamojo išraiška antrojo nežinomojo atžvilgiu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomi, sprendimas pakaitomis taip pat yra nepraktiškas.
Linijinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:
Algebrinis papildymo sprendimas
Ieškant sistemų sprendimo pagal pridėjimo metodą, atliekamas terminas po termino ir lygčių dauginimas iš įvairių skaičių. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra vieno kintamojo lygtis.
Norint taikyti šį metodą, reikia praktikos.ir stebėjimas. Lengvųjų lygčių sistemą išspręsti taikant 3 ar daugiau kintamųjų pridėjimo metodą nėra lengva. Algebrinis papildymas yra patogus, kai lygtyse yra trupmenos ir dešimtainiai skaičiai.
Sprendimo veiksmų algoritmas:
- Padauginkite abi lygties puses iš kažkokio skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turi tapti lygus 1.
- Pridėkite gautą išraiškos terminą pagal terminą ir raskite vieną iš nežinomų.
- Gautą reikšmę pakeiskite į 2-ą sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.
Sprendimas įvedant naują kintamąjį
Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti ne daugiau kaip dviejų lygčių sprendimą, nežinomųjų skaičius taip pat turi būti ne didesnis kaip du.
Metodas naudojamas supaprastinti vieną išlygtis įvedant naują kintamąjį. Naujoji lygtis yra išspręsta atsižvelgiant į įvestą nežinomą, o gauta vertė naudojama nustatant pradinį kintamąjį.
Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, 1-ą sistemos lygtį pavyko sumažinti iki standartinio kvadratinio trinomo. Polinomą galite išspręsti radę diskriminantą.
Būtina rasti diskriminanto vertę pagalžinoma formulė: D = b2 - 4 * a * c, kur D yra reikalingas diskriminantas, b, a, c yra daugianario veiksniai. Pateiktame pavyzdyje a = 1, b = 16, c = 39, taigi D = 100. Jei diskriminantas yra didesnis už nulį, tada yra du sprendimai: t = -b ± √D / 2 * a, jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tada yra vienas sprendimas: x = -b / 2 * a.
Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.
Vizualus sistemų sprendimo būdas
Tinka sistemoms su 3 lygtimis.Metodas susideda iš kiekvienos į sistemą įtrauktos lygties grafikų koordinačių ašies braižymo. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.
Grafinis metodas turi daugybę niuansų. Panagrinėkime keletą pavyzdžių, kaip vizualiai išspręsti tiesinių lygčių sistemas.
Kaip matote iš pavyzdžio, kiekvienai tiesiai buvobuvo pastatyti du taškai, kintamojo x reikšmės buvo pasirinktos savavališkai: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3 ) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija ...
Antrosios lygties veiksmus reikia pakartoti. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.
Šiame pavyzdyje turite rasti linijinių lygčių sistemos grafinį sprendimą: 0,5x-y + 2 = 0 ir 0,5x-y-1 = 0.
Kaip matote iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą ilgį.
2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiaustatybos, tampa akivaizdu, kad jų sprendimai yra skirtingi. Reikėtų prisiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sukurti grafiką.
Matrica ir jos atmainos
Matricos naudojamos glaustai parašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica vadinama ypatingos rūšies lentele, užpildyta skaičiais. N * m matricoje yra n - eilučių ir m - stulpelių.
Matrica yra kvadratas, kai kiekisstulpeliai ir eilutės yra lygūs vienas kitam. Vektorinė matrica yra vieno stulpelio matrica su begaliniu eilučių skaičiumi. Matrica su vienomis įstrižainėmis ir kitais nulio elementais vadinama tapatumo matrica.
Atvirkštinė matrica yra tokia matrica, kurią padauginus iš kurios pirminė virsta tapatumo matrica, tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.
Taisyklės, kaip lygčių sistemą paversti matrica
Taikant lygčių sistemas, koeficientai ir laisvi lygčių terminai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.
Matricos eilutė bent jau vadinama nulinevienas eilutės elementas nėra nulis. Todėl, jei bet kurioje iš lygčių kintamųjų skaičius skiriasi, tada vietoj trūkstamo nežinomo būtina parašyti nulį.
Matricos stulpeliai turi griežtai sutaptikintamieji. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientus galima užrašyti tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmajame, nežinomo y koeficientą - tik antrame.
Padauginus matricą, visi matricos elementai nuosekliai padauginami iš skaičiaus.
Atvirkštinės matricos radimo variantai
Atvirkštinės matricos radimo formulė yra gana paprasta: K-1= 1 / | K |, kur K-1 yra atvirkštinė matrica ir | K | - matricos determinantas. | K | neturėtų būti nulis, tada sistema turi sprendimą.
Determinantas lengvai apskaičiuojamas matricai „du po du“; jums tereikia padauginti įstrižainės elementus. Pasirinkus „trys po tris“, yra formulė | K | = a1į2su3 + a1į3su2 + a3į1su2 + a2į3su1 + a2į1su3 + a3į2su1... Galite naudoti formulę arba galiteatminkite, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad stulpelių ir elementų eilučių skaičius darbe nesikartotų.
Linijinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matricos metodu
Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas, kuriose yra daug kintamųjų ir lygčių.
Pvznm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius xn - kintamieji ir bn - laisvi nariai.
Tada turite rasti atvirkštinę matricą ir padauginti iš jos originalą. Rasti kintamųjų reikšmes gautoje vieneto matricoje yra lengva užduotis.
Gauso sistemų sprendimas
Aukštojoje matematikoje tiriamas Gauso metodaskartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimo procesas yra vadinamas Gausso-Cramerio sprendimo metodu. Šie metodai naudojami norint rasti kintamas sistemas, turinčias daug tiesinių lygčių.
Gauso metodas yra labai panašus į sprendimus supakaitalai ir algebrinis papildymas, tačiau sistemingesni. Mokyklos kurse Gauso sprendimas naudojamas 3 ir 4 lygčių sistemoms. Metodo tikslas - padaryti sistemą panašią į apverstą trapeciją. Atliekant algebrines transformacijas ir pakeitimus, vieno kintamojo vertė randama vienoje iš sistemos lygčių. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, bet 3 ir 4 - atitinkamai su 3 ir 4 kintamaisiais.
Perkėlus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtimis.
7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso metodo sprendimo pavyzdys apibūdinamas taip:
Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) etape buvo gautos dvi lygtys 3 kartus3-2x4= 11 ir 3x3+ 2x4= 7. Bet kurios iš lygčių sprendimas leis sužinoti vieną iš kintamųjų xn.
5 teoremoje, kuri minima tekste, sakoma, kad jei viena iš sistemos lygčių bus pakeista ekvivalentine, tai susidariusi sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.
Studentams sunku suvokti Gausso metodąvidurinę mokyklą, tačiau tai yra vienas įdomesnių būdų ugdyti vaikų intelektą pažengusiose matematikos ir fizikos pamokose.
Kad būtų lengviau įrašyti skaičiavimus, įprasta atlikti šiuos veiksmus:
Lygčių ir nemokamų sąlygų koeficientaiyra parašyti matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė yra susijusi su viena iš sistemos lygčių. Vertikali juosta atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys nurodo lygčių skaičių sistemoje.
Pirmiausia užrašykite matricą, su kuriadarbas, tada visi veiksmai atliekami vienoje iš eilučių. Gauta matrica parašoma po rodyklės ženklu ir reikalingi algebriniai veiksmai tęsiami tol, kol bus pasiektas rezultatas.
Dėl to turėtų būti gauta matrica, kuriojeviena iš įstrižainių yra 1, o visi kiti koeficientai yra lygūs nuliui, tai yra, matrica perkeliama į vieną formą. Nepamirškite atlikti skaičiavimų su skaičiais abiejose lygties pusėse.
Šis įrašymo būdas yra mažiau sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daug nežinomų dalykų.
Nemokama bet kokio sprendimo taikymasreikės priežiūros ir tam tikros patirties. Ne visi metodai yra taikomojo pobūdžio. Kai kurie būdai rasti sprendimus yra labiau pageidaujami šioje kitoje žmogaus veiklos srityje, o kiti egzistuoja mokymo tikslais.
