Dar mokydamiesi mokykloje visi mokiniai supranta šią sąvoką„Euklido geometrija“, kurios pagrindinės nuostatos yra sutelktos aplink kelias aksiomas, pagrįstas tokiais geometriniais elementais kaip taškas, plokštuma, tiesė, judėjimas. Visi jie kartu sudaro tai, kas nuo seno buvo žinoma kaip „euklido erdvė“.
Euklido erdvė, kurios apibrėžimas yrayra pagrįstas vektorių skaliarinio dauginimo padėtimi, yra ypatingas tiesinės (afininės) erdvės atvejis, atitinkantis daugybę reikalavimų. Pirma, vektorių skaliarinė sandauga yra absoliučiai simetriška, tai yra vektorius su koordinatėmis (x; y) yra kiekybiškai identiškas vektoriui, kurio koordinatės (y; x), bet priešinga kryptimi.
Antra, tuo atveju, jei ataško vektoriaus sandauga su savimi, tada šio veiksmo rezultatas bus teigiamas. Vienintelė išimtis bus tas atvejis, kai šio vektoriaus pradinė ir galutinė koordinatės bus lygios nuliui: šiuo atveju jo sandauga su savimi taip pat bus lygi nuliui.
Trečia, yra paskirstomumasskaliarinis produktas, tai yra galimybė vieną iš jos koordinačių suskaidyti į dviejų reikšmių sumą, o tai nesukels jokių galutinių vektorių skaliarinio dauginimo rezultatų pokyčių. Galiausiai, ketvirta, vektorius padauginus iš to paties tikrojo skaičiaus, jų taškinis sandauga taip pat padidės tuo pačiu dydžiu.
Tuo atveju, jei tenkinamos visos šios keturios sąlygos, galime drąsiai sakyti, kad turime euklido erdvę.
Praktiniu požiūriu Euklido erdvę galima apibūdinti šiais konkrečiais pavyzdžiais:
- Paprasčiausias atvejis yra vektorių rinkinys su skaliariniu sandaugu, apibrėžtu pagal pagrindinius geometrijos dėsnius.
- Euklido erdvė bus gauta net jeijei vektoriais turime omenyje tam tikrą baigtinį realiųjų skaičių rinkinį su tam tikra formule, apibūdinančia jų skaliarinę sumą ar sandaugą.
- Specialus Euklido erdvės atvejis turėtų būti pripažintas vadinamąja nulio erdve, kuri gaunama, jei abiejų vektorių skaliarinis ilgis yra lygus nuliui.
Euklido erdvė turi daugybęspecifines savybes. Pirma, skaliarinis faktorius gali būti išimtas iš skliaustų ir iš pirmojo, ir iš antrojo skaliarinio produkto veiksnio, rezultatas nepasikeis. Antra, kartu su taškinio produkto pirmojo elemento skirstomumu veikia ir antrojo elemento skirstomumas. Be to, be skaliarinės vektorių sumos, pasiskirstymas taip pat vyksta vektorių atimties atveju. Galiausiai, trečia, skaliariai padauginus vektorių iš nulio, rezultatas taip pat bus lygus nuliui.
Taigi, Euklido erdvė yrasvarbiausia geometrinė sąvoka, naudojama sprendžiant problemas, susijusias su vektorių tarpusavio išsidėstymu vienas kito atžvilgiu, kuriam apibūdinti naudojama tokia sąvoka kaip taškinis sandauga.
