מהי הסתברות מותנית וכיצד לחשב אותה נכון?

לעתים קרובות בחיים אנו מתמודדים עם מה שצריךלהעריך את הסיכויים להתרחש אירוע. בין אם כדאי לקנות כרטיס הגרלה ובין אם לא, מה יהיה מינו של הילד השלישי במשפחה, האם יהיה ברור מחר או שירד גשם שוב - יש אינספור דוגמאות לדוגמאות כאלה. במקרה הפשוט ביותר, יש לחלק את מספר התוצאות החיוביות במספר האירועים הכולל. אם יש 10 כרטיסים מנצחים בהגרלה, ויש 50 מהם בסך הכל, אז הסיכוי לקבל פרס הוא 10/50 = 0.2, כלומר 20 מול 100. אבל מה לעשות אם יש כמה אירועים, והם קשורים קשר הדוק? במקרה זה, כבר לא יהיה לנו עניין בהסתברות פשוטה, אלא בהתניה. מהו ערך זה וכיצד ניתן לחשב אותו - זה יהיה בדיוק מה שידון במאמר שלנו.

הרעיון של

הסתברות מותנית היא הסיכוי להתרחשותאירוע ספציפי, בתנאי שכבר התרחש אירוע קשור אחר. בואו נסתכל על דוגמה פשוטה של ​​הטלת מטבע. אם עדיין לא הייתה תיקו, אז הסיכוי לקבל ראש או זנב יהיה זהה. אבל אם חמש פעמים ברציפות המטבע נפל כשהמעיל למעלה, אז תסכים לצפות שהשישי, השביעי, ואף יותר מכך החזרה העשירית של תוצאה כזו תהיה לא הגיונית. עם כל הופעה חוזרת של ראשים, הסיכוי להופעת זנבות גדל ובמוקדם או במאוחר הוא יעלה.

נוסחת הסתברות מותנית

בואו עכשיו להבין איך הערך הזהמְחוֹשָׁב. הבה נציין את האירוע הראשון ב- B, והשני ב- A. אם הסיכוי להתרחשות B שונה מאפס, אז השוויון הבא יהיה נכון:

P (A | B) = P (AB) / P (B), היכן:

• Р (А | В) - הסתברות מותנית של סך А;
• P (AB) היא ההסתברות להתרחשות משותפת של אירועים A ו- B;
• P (B) היא ההסתברות לאירוע B.

אם משנים מעט את היחס הזה, אנו מקבלים P (AB) = P (A | B) * P (B). ואם ניישם את שיטת האינדוקציה, נוכל להפיק נוסחת מוצר ולהשתמש בה למספר אירועים שרירותי:

פ (א₁, א₂, א₃,…א_n) = P (א₁| א₂…א_n) * פ (א₂| א₃…א_n) * פ (א₃| א₄…א_n) ... פ (א_n-1| א_n) * פ (א_n).

תרגול

כדי שיהיה קל יותר להבין כיצדההסתברות המותנית לאירוע מחושבת, שקול כמה דוגמאות. נניח שיש לך אגרטל המכיל 8 שוקולדים ו -7 מנטות. הם זהים בגודלם ושניים מהם נשלפים באופן אקראי ברצף. מה הסיכוי ששניהם יתגלו כשוקולד? הבה נציג את הסימון. תן לסכום A אומר שהממתק הראשון הוא שוקולד, ובסך הכול B - הממתק השני. ואז אתה מקבל את הדברים הבאים:

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0.27

בואו נשקול עוד מקרה אחד. נניח שיש משפחה בת שני ילדים ואנו יודעים שלפחות ילד אחד הוא ילדה.

מהי ההסתברות המותנית שיש לבניםההורים האלה עדיין לא? כמו במקרה הקודם, נתחיל בסימון. תנו ל- P (B) - ההסתברות שיש לפחות ילדה אחת במשפחה, P (A | B) - ההסתברות שגם הילד השני הוא ילדה, P (AB) - הסיכוי שישנן שתי בנות המשפחה. עכשיו בואו נעשה את החישובים. בסך הכל יכולים להיות 4 שילובים שונים של מין הילדים, ובמקרה אחד בלבד (כשיש שני בנים במשפחה), לא תהיה ילדה בין הילדים. לכן ההסתברות P (B) = 3/4 ו- P (AB) = 1/4. לאחר מכן בעקבות הנוסחה שלנו נקבל:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

אתה יכול לפרש את התוצאה כך:אם לא היינו יודעים על המין של אחד הילדים, הסיכוי של שתי בנות יהיה 25 עד 100. אך מכיוון שאנו יודעים שילד אחד הוא ילדה, ההסתברות שאין ילדים במשפחה עולה לאחת -שְׁלִישִׁי.