המתמטיקה בלטה מהפילוסופיה הכללית בערךבמאה השישית לפני הספירה ה, ומאותו רגע החלה צעדתה המנצחת ברחבי העולם. כל שלב בהתפתחות הציג משהו חדש - ספירה אלמנטרית התפתחה, הפכה לחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, מאות השתנו, נוסחאות הפכו מבלבלות יותר, והגיע הרגע שבו "החלה המתמטיקה המורכבת ביותר - כל המספרים נעלמו ממנה". אבל מה היה הבסיס?
תחילת העבודה
מספרים טבעיים הופיעו בקנה אחד עם הראשוןפעולות מתמטיות. עמוד שדרה אחד, שני עמוד שדרה, שלושה עמוד שדרה ... הם הופיעו בזכות מדענים הודים שהסיקו את מערכת המספרים המיקומית הראשונה.
בימי קדם, המספרים קיבלו מיסטיכלומר, המתמטיקאי הגדול ביותר פיתגורס האמין שהמספר עומד בבסיס בריאת העולם יחד עם היסודות הבסיסיים - אש, מים, אדמה, אוויר. אם אנו רואים הכל רק מהצד המתמטי, אז מהו מספר טבעי? שדה המספרים הטבעיים מסומן כ- N והוא סדרה אינסופית של מספרים שלמים ומספרים חיוביים: 1, 2, 3, ... + ∞. אפס אינו נכלל. משמש בעיקר לספירת פריטים ולציון סדר.
מהו מספר טבעי במתמטיקה? האקסיומות של פיאנו
שדה N הוא הבסיס שעליו נשענת מתמטיקה אלמנטרית. עם הזמן הובחנו שדות המספרים השלמים, המספרים הרציונליים והמורכבים.
עבודות של המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פיאנואפשרה את הבנייה הנוספת של חשבון, השיגה את פורמליותה וסללה את הדרך למסקנות נוספות החורגות מתחום התחום N.
- היחידה נחשבת למספר טבעי.
- המספר העוקב אחר המספר הטבעי הוא טבעי.
- אין מספר טבעי מול היחידה.
- אם המספר b עוקב אחרי המספר c וגם המספר d, אז c = d.
- אקסיומת האינדוקציה, שבתורהמראה מהו מספר טבעי: אם משפט כלשהו שתלוי בפרמטר נכון למספר 1, אנו מניחים שהוא עובד למספר n משדה המספרים הטבעיים N. ואז המשפט נכון גם ל- n = 1 מתחום המספרים הטבעיים N ...
פעולות בסיסיות לתחום המספרים הטבעיים
מאז שדה N הפך הראשון למתמטיקהחישובים, אז זה שייכים הן תחומי ההגדרה והן תחומי הערכים של מספר פעולות למטה. הם סגורים ולא. ההבדל העיקרי הוא בכך שפעולות סגורות מובטחות לשמור על התוצאה בתוך ה- N, ללא קשר למספרים. מספיק שהם טבעיים. התוצאה של האינטראקציות המספריות שנותרו כבר אינה כה חד משמעית ותלויה ישירות באילו מספרים מעורבים בביטוי, מכיוון שהיא עשויה לסתור את ההגדרה הבסיסית. אז, פעולות סגורות:
- תוספת - x + y = z, כאשר x, y, z כלולים בשדה N;
- כפל - x * y = z, כאשר x, y, z כלולים בשדה N;
- exponentiation - xו, כאשר x, y כלולים בשדה N.
שאר הפעולות, שתוצאתן עשויה שלא להתקיים בהקשר של ההגדרה "מהו מספר טבעי", הן כדלקמן:
- חיסור - x - y = z. שדה המספרים הטבעיים מאפשר זאת רק אם x גדול מ- y;
- חלוקה - x / y = z. שדה המספרים הטבעיים מאפשר זאת רק אם z ניתן לחלוקה ב- y ללא שארית, כלומר לחלוטין.
מאפייני מספרים השייכים לשדה N
כל חשיבה מתמטית נוספת תתבסס על המאפיינים הבאים, הטריוויאליים ביותר, אך לא פחות חשובים.
- הרכוש המטלטל של תוספת הוא x + y = y + x, כאשר המספרים x, y נכללים בשדה N. או הידוע "הסכום אינו משתנה משינוי מקומות המונחים".
- הרכוש המטלטל של הכפל הוא x * y = y * x, כאשר המספרים x, y כלולים בשדה N.
- מאפיין שילוב של תוספת - (x + y) + z = x + (y + z), כאשר x, y, z נכללים בשדה N.
- מאפיין שילוב של כפל - (x * y) * z = x * (y * z), כאשר המספרים x, y, z נכללים בשדה N.
- מאפיין הפצה - x (y + z) = x * y + x * z, כאשר המספרים x, y, z נכללים בשדה N.
שולחן פיתגורס
אחד הצעדים הראשונים בידיעת כולםמבנה המתמטיקה האלמנטרית, לאחר שהם הבינו בעצמם אילו מספרים נקראים טבעיים, הוא הטבלה הפיתגורית. ניתן לראות זאת לא רק מנקודת מבטו של המדע, אלא גם כאנדרטה מדעית בעלת ערך רב.
טבלת הכפל הזו עברהזמן, מספר שינויים: אפס הוסר ממנו, והמספרים מ -1 עד 10 מציינים את עצמם, מבלי לקחת בחשבון את ההזמנות (מאות, אלפים ...). זוהי טבלה שבה כותרות השורות והעמודות הן מספרים, ותוכן התאים בהצטלבותם שווה למוצר שלהם.
בתרגול ההוראה של העשורים האחרוניםהיה צורך לשנן את השולחן הפיתגוראי "לפי הסדר", כלומר תחילה היה שינון. הכפל ב- 1 לא נכלל מכיוון שהתוצאה הייתה אחת או יותר. בינתיים, בטבלה בעין בלתי מזוינת, ניתן לראות תבנית: תוצר המספרים צומח בצעד אחד, השווה לכותרת השורה. לפיכך, הגורם השני מראה לנו כמה פעמים עלינו לקחת את הראשון על מנת לקבל את המוצר הרצוי. מערכת זו נוחה בהרבה מזו שהייתה נהוגה בימי הביניים: אפילו מבינים מהו מספר טבעי וכמה זה טריוויאלי, אנשים הצליחו לסבך את הספירה היומית שלהם, תוך שימוש במערכת המבוססת על כוחות של שניים.
קבוצת משנה כערש המתמטיקה
כרגע, שדה המספרים הטבעיים Nנחשב רק כאחת מקבוצות המשנה של המספרים המורכבים, אך זה לא הופך אותם ליותר בעלי ערך במדע. מספר טבעי הוא הדבר הראשון שילד לומד כאשר לומד את עצמו ואת העולם סביבו. אצבע אחת, שתי אצבעות ... בזכותו אדם מפתח חשיבה לוגית, כמו גם יכולת לקבוע את הסיבה ולגזור את ההשפעה, מכין את הקרקע לתגליות גדולות.
