La derivata di qualche funzione f (x) in uno specificoil punto x0 è chiamato il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento, a condizione che x segua fino a 0 e il confine esista. La derivata è solitamente indicata da un numero primo, a volte da un punto o da un differenziale. La derivazione oltre confine è spesso fuorviante, poiché tale rappresentazione è usata raramente.
Una funzione che ha una derivata in una certapunto x0, è solitamente chiamato differenziabili in tale punto. Supponiamo che D1 sia l'insieme di punti in cui la funzione f è differenziata. Mettendo in corrispondenza di ogni numero il numero x appartenente a D f '(x), si ottiene una funzione con area di notazione D1. Questa funzione è la derivata y = f (x). È designato in questo modo: f '(x).
Inoltre, il derivato è ampiamente utilizzato infisica e tecnologia. Diamo un'occhiata all'esempio più semplice. Il punto materiale si sposta lungo la coordinata retta e viene data la legge di movimento, ovvero la coordinata x di questo punto è la funzione nota x (t). Durante l'intervallo di tempo da t0 a t0 + t, lo spostamento del punto è x (t0 + t) -x (t0) = x, e la sua velocità media v (t) è x / t.
A volte la natura del movimento è presentata in modo tale che aper brevi periodi di tempo la velocità media non cambia, il che significa che il movimento con un maggior grado di precisione è considerato uniforme. O il valore della velocità media, se t0 segue un valore assolutamente esatto, che è chiamato velocità istantanea v (t0) di questo punto in un particolare momento di tempo t0. Si considera che la velocità istantanea v (t) è nota per ogni funzione differenziata x (t) e v (t) sarà uguale a x ’(t). In poche parole, la velocità è la derivata temporale di una coordinata.
La velocità istantanea ha sia positivo chevalori negativi, così come il valore 0. Se è positivo in un certo intervallo di tempo (t1; t2), il punto si sposta nella stessa direzione, cioè la coordinata x (t) aumenta con il tempo e se v ( t) è negativo, quindi la coordinata x (t) diminuisce.
Nei casi più difficili, il punto si sposta su un piano o nello spazio. Quindi la velocità è una quantità vettoriale e determina ciascuna delle coordinate del vettore v (t).
Allo stesso modo può essere paragonato all'accelerazionepunto di movimento. La velocità è una funzione del tempo, cioè v = v (t). E la derivata di tale funzione è l'accelerazione del moto: a = v ’(t). Cioè, risulta che la derivata temporale della velocità è l'accelerazione.
Supponiamo che y = f (x) sia qualsiasi differenziatofunzione. Quindi puoi considerare il movimento di un punto materiale lungo una linea di coordinate, che avviene dietro la legge x = f (t). Il contenuto meccanico della derivata permette di presentare un'interpretazione visiva dei teoremi del calcolo differenziale.
Come trovare un derivato? Trovare la derivata di una funzione è chiamata sua differenziazione.
Diamo esempi di come trovare la funzione derivata:
La derivata di una funzione costante è zero; la derivata della funzione y = x è uguale a uno.
Come trovi la derivata di una frazione? Per fare ciò, considera il seguente materiale:
Per ogni x0 <> 0, abbiamo
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Esistono diverse regole per trovare un derivato. Vale a dire:
Se le funzioni A e B sono differenziate nel punto x0,quindi la loro somma è differenziata nel punto: (A + B) '= A' + B '. In poche parole, la derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate. Se la funzione è differenziata a un certo punto, il suo incremento segue a zero quando l'incremento dell'argomento segue a zero.
Se le funzioni A e B sono differenziate nel punto x0,quindi il loro prodotto si differenzia nel punto: (A * B) '= A'B + AB'. (I valori delle funzioni e delle loro derivate sono calcolati nel punto x0). Se la funzione A (x) è differenziata nel punto x0 e C è costante, allora la funzione CA è differenziata in questo punto e (CA) '= CA'. Cioè, un tale fattore costante viene tolto dal segno della derivata.
Se le funzioni A e B sono differenziate nel punto x0 e la funzione B non è uguale a zero, anche il loro rapporto viene differenziato nel punto: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
