Differenziali: che cos'è? Come trovare la funzione differenziale?

Insieme ai derivati le loro funzioni differenziali sono uno dei concetti di base del differenzialecalcolo, la sezione principale dell'analisi matematica. Essendo inestricabilmente legati, entrambi sono stati utilizzati attivamente per diversi secoli per risolvere praticamente tutti i problemi sorti nel processo dell'attività umana scientifica e tecnica.

L'emergere del concetto di differenziale

Prima ha spiegato cos'è un differenziale, unodei fondatori (insieme a Isaac Newton) del calcolo differenziale, il famoso matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz. Prima di questo, i matematici della 17 ° arte. usava un'idea molto confusa e vaga di una parte infinitesimale "indivisibile" di qualsiasi funzione nota, che rappresenta un valore costante molto piccolo, ma non uguale a zero, inferiore al quale i valori della funzione semplicemente non possono essere. Da qui c'è stato solo un passo verso l'introduzione del concetto di incrementi infinitamente piccoli degli argomenti delle funzioni e dei corrispondenti incrementi delle funzioni stesse, espressi in termini di derivate di queste ultime. E questo passo è stato compiuto quasi contemporaneamente dai due grandi scienziati sopra menzionati.

Partendo dalla necessità di affrontare urgentiproblemi pratici della meccanica, che l'industria e la tecnologia in rapido sviluppo hanno posto prima della scienza, Newton e Leibniz hanno creato metodi generali per trovare la velocità di cambiamento delle funzioni (principalmente in relazione alla velocità meccanica di movimento di un corpo lungo una traiettoria nota), che ha portato all'introduzione di concetti come la derivata e il differenziale di una funzione, e ha anche trovato un algoritmo per risolvere il problema inverso, come trovare il percorso percorso da una velocità nota (variabile), che ha portato all'emergere del concetto di un integrale.

Negli scritti di Leibniz e Newton, è apparso per la prima voltal'idea che i differenziali siano proporzionali agli incrementi degli argomenti Δх, le parti principali degli incrementi delle funzioni Δу, che possono essere applicati con successo per calcolare i valori di queste ultime. In altre parole, hanno scoperto che l'incremento di una funzione può essere in qualsiasi punto (all'interno del dominio della sua definizione) espresso in termini della sua derivata come Δу = y "(x) Δх + αΔх, dove α Δх è il resto, tendendo a zero come Δх → 0 è molto più veloce di Δx stesso.

Secondo i fondatori di matanalysis,i differenziali sono esattamente i primi termini nelle espressioni per gli incrementi di qualsiasi funzione. Non possedendo ancora un concetto chiaramente formulato del limite delle successioni, intuirono che il valore del differenziale tende alla derivata della funzione come Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).

A differenza di Newton, che era principalmentefisico, e considerato l'apparato matematico come uno strumento ausiliario per lo studio dei problemi fisici, Leibniz ha prestato maggiore attenzione a questo stesso kit di strumenti, compreso il sistema di designazioni visive e comprensibili di quantità matematiche. Fu lui a proporre la notazione generalmente accettata per i differenziali della funzione dy = y "(x) dx, l'argomento dx e la derivata della funzione nella forma del loro rapporto y" (x) = dy / dx.

Definizione moderna

Cos'è un differenziale dal punto di vista della matematica moderna? È strettamente correlato al concetto di incremento variabile. Se la variabile y prende prima il valore y = y₁e quindi y = y₂, quindi la differenza y₂ ─ y₁ è chiamato l'incremento di y.

L'incremento può essere positivo. negativo e uguale a zero. La parola "incremento" è denotata da Δ, il record Δy (leggi "delta game") denota l'incremento del valore y. così che Δу = y₂ ─ y₁.

Se il valore Δу di una funzione arbitraria y = f (x)è possibile rappresentare nella forma Δу = A Δх + α, dove A non dipende da Δх, cioè A = const per un dato x, e il termine α in Δх → 0 tende ad esso anche più velocemente di Δх stesso, quindi il primo termine ("Main") proporzionale a Δх, ed è per y = f (x) il differenziale, indicato dy o df (x) (legge "de ygrek", "de eff da x"). Pertanto, i differenziali sono le componenti "principali" degli incrementi di funzioni, lineari rispetto a Δх.

Interpretazione meccanica

Sia s = f (t) una distanza in linea rettapunto di materiale in movimento dalla posizione iniziale (t è il tempo trascorso sulla strada). L'incremento Δs è il percorso del punto nell'intervallo di tempo Δt, e il differenziale ds = f "(t) Δt è il percorso che il punto avrebbe percorso nello stesso tempo Δt se avesse mantenuto la velocità f" (t ) raggiunto dal tempo t ... Per un Δt infinitamente piccolo, il percorso immaginario ds differisce dal vero Δs di un valore infinitesimale, che ha un ordine superiore rispetto a Δt. Se la velocità al tempo t non è zero, allora ds fornisce un valore approssimativo per il piccolo spostamento del punto.

Interpretazione geometrica

Sia la linea L il grafico di y = f (x).Allora Δ х = MQ, Δу = QM "(vedi figura sotto). La tangente MN divide il segmento Δу in due parti, QN e NM". Il primo è proporzionale a Δх ed è uguale a QN = MQ ∙ tg (angolo QMN) = Δх f "(x), cioè QN è il differenziale dy.

La seconda parte NM "fornisce la differenza Δу ─ dy, in Δх → 0la lunghezza NM "diminuisce ancora più velocemente dell'incremento dell'argomento, cioè il suo ordine di piccolezza è maggiore di quello di Δx. Nel caso in esame, per f" (x) ≠ 0 (la tangente non è parallela a OX ), i segmenti QM "e QN sono equivalenti; in altre parole, NM" diminuisce più velocemente (l'ordine della sua piccolezza è maggiore) dell'incremento totale Δу = QM ". Questo può essere visto nella figura (come M" si avvicina a M , il segmento NM "costituisce una percentuale minore del segmento QM").

Quindi, graficamente, il differenziale di una funzione arbitraria è uguale all'incremento dell'ordinata della sua tangente.

Derivata e differenziale

Il coefficiente A nel primo termine dell'espressione per l'incremento della funzione è uguale al valore della sua derivata f "(x). Pertanto, vale la seguente relazione - dy = f" (x) Δх, o df (x ) = f "(x) Δх.

È noto che l'incremento di un argomento indipendente è uguale al suo differenziale Δх = dx. Di conseguenza, puoi scrivere: f "(x) dx = dy.

Trovare (a volte detto, "risolvere") i differenziali viene eseguito secondo le stesse regole dei derivati. Di seguito viene fornito un elenco di questi.

Che è più universale: l'incremento dell'argomento o il suo differenziale

Qui sono necessari alcuni chiarimenti.La rappresentazione per la quantità f "(x) Δх del differenziale è possibile quando si considera x come argomento. Ma la funzione può essere complessa, in cui x può essere una funzione di qualche argomento t. Quindi la rappresentazione del differenziale dall'espressione f "(x) Δх è, di regola, impossibile; eccetto il caso di dipendenza lineare х = in + b.

Per quanto riguarda la formula f "(x) dx = dy, quindi nel caso di un argomento indipendente x (quindi dx = Δx), e nel caso di una dipendenza parametrica di x da t, rappresenta un differenziale.

Ad esempio, l'espressione 2 x Δx rappresenta per y = x² il suo differenziale quando x è un argomento. Ora mettiamo x = t² e considereremo t come un argomento. Allora y = x² = t⁴.

Questo è seguito da (t + Δt)² = t² + 2tΔt + Δt²... Quindi, Δх = 2tΔt + Δt²... Significa: 2xΔx = 2t² (2tΔt + Δt² ).

Questa espressione non è proporzionale a Δt e quindi ora 2xΔx non è un differenziale. Può essere trovato dall'equazione y = x² = t⁴... Risulta essere uguale a dy = 4t³Δt.

Se prendiamo l'espressione 2xdx, rappresenta il differenziale y = x² per qualsiasi argomento t. Infatti, per x = t² otteniamo dx = 2tΔt.

Quindi 2xdx = 2t²2tΔt = 4t³Δt, cioè le espressioni per i differenziali scritte in termini di due diverse variabili coincidevano.

Sostituzione degli incrementi con differenziali

Se f "(x) ≠ 0, allora Δу e dy sono equivalenti (quando Δх → 0); quando f" (x) = 0 (che significa dy = 0), non sono equivalenti.

Ad esempio, se y = x², quindi Δу = (x + Δх)² ─ x²= 2xΔx + Δx²e dy = 2xΔx. Se x = 3, allora abbiamo Δy = 6Δx + Δx² e dy = 6Δх, che sono equivalenti a causa di Δх²→ 0, a х = 0 i valori Δу = Δх² e dy = 0 non sono equivalenti.

Questo fatto, insieme a una struttura semplicedifferenziale (cioè linearità rispetto a Δx) è spesso usato nei calcoli approssimativi, assumendo che Δу ≈ dy per Δх piccolo. Trovare il differenziale di una funzione di solito è più facile che calcolare il valore esatto dell'incremento.

Ad esempio, abbiamo un cubo di metallo con un bordo x = 10,00 cm. Quando riscaldato, il bordo allungato di Δх = 0,001 cm. Di quanto è aumentato il volume V del cubo? Abbiamo V = x²quindi dV = 3x²Δх = 3 ∙ 10²∙ 0/01 = 3 (cm³). L'aumento di volume ΔV è equivalente al differenziale dV, per cui ΔV = 3 cm³... Un calcolo completo darebbe ΔV = 10,01³ ─ 10³ = 3,003001. Ma in questo risultato, tutti i numeri tranne il primo sono inaffidabili; quindi, comunque, è necessario arrotondarlo a 3 cm³.

Ovviamente questo approccio è utile solo se è possibile stimare l'entità dell'errore introdotto.

Differenziale di funzione: esempi

Proviamo a trovare il differenziale della funzione y = x³senza trovare una derivata. Assegniamo all'argomento un incremento e definiamo Δу.

Δу = (Δх + x)³ ─ x³ = 3x²Δx + (3xΔx² + Δx³).

Qui il coefficiente A = 3x² non dipende da Δx, quindi il primo termine è proporzionale a Δx, mentre l'altro termine è 3xΔx² + Δx³ a Δх → 0 diminuisce più velocemente dell'incremento dell'argomento. Quindi cazzo 3x²Δх è il differenziale y = x^3:

dy = 3x²Δх = 3x²dx o d (x³) = 3x²dx.

Inoltre, d (x³) / dx = 3x².

Troviamo ora dy della funzione y = 1 / x in termini di sua derivata. Quindi d (1 / x) / dx = ─1 / x²... Quindi dy = ─ Δх / х².

Di seguito sono riportati i differenziali delle funzioni algebriche di base.

Approssimazione differenziale

Spesso è facile calcolare la funzione f (x), così come la sua derivata f "(x) per x = a, ma non è facile fare lo stesso in prossimità del punto x = a. Quindi un'approssimativa l'espressione viene in soccorso

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Fornisce un valore approssimativo della funzione a piccoli incrementi Δх attraverso il suo differenziale f "(a) Δх.

Pertanto, questa formula fornisce un'approssimativaespressione per la funzione nel punto finale di una certa sezione di lunghezza Δx come somma del suo valore nel punto iniziale di questa sezione (x = a) e il differenziale nello stesso punto iniziale. L'errore di questo metodo per determinare il valore della funzione è illustrato nella figura seguente.

Tuttavia, è anche nota l'esatta espressione del valore della funzione per x = a + Δх, data dalla formula degli incrementi finiti (o, altrimenti, dalla formula di Lagrange)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

dove il punto x = a + ξ si trova sul segmento da x = afino a x = a + Δх, sebbene la sua posizione esatta sia sconosciuta. La formula esatta consente di stimare l'errore della formula approssimativa. Se mettiamo ξ = Δx / 2 nella formula di Lagrange, anche se cessa di essere esatta, di solito fornisce un'approssimazione molto migliore dell'espressione originale attraverso il differenziale.

Stimare l'errore delle formule usando il differenziale

Gli strumenti di misura sono in linea di principio imprecisi eintrodurre errori corrispondenti nei dati di misurazione. Sono caratterizzati dall'errore assoluto limitante, o, in breve, errore limite, un numero positivo che ovviamente supera questo errore in valore assoluto (o, nel caso estremo, uguale ad esso). L'errore relativo limitante è chiamato il quoziente della sua divisione per il valore assoluto del valore misurato.

Si usi la formula esatta y = f (x)calcolo della funzione y, ma il valore di x è la misura e quindi introduce un errore in y. Quindi, per trovare l'errore assoluto massimo │‌‌Δу│ della funzione y, utilizzare la formula

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│ = │ f "(x) ││Δх│,

dove │Δх│ è l'errore limitante dell'argomento. Il valore │‌‌Δу│ dovrebbe essere arrotondato per eccesso, poiché non è corretto sostituire il calcolo dell'incremento con il calcolo del differenziale stesso.