A térben egy síkot többféleképpen lehet meghatároznimódszerek (egy pont és egy vektor, két pont és egy vektor, három pont stb.). Ezt szem előtt tartva a síkegyenletnek különböző formái lehetnek. Ezenkívül bizonyos feltételek mellett a síkok lehetnek párhuzamosak, merőlegesek, metszőek stb. Ebben a cikkben erről fogunk beszélni. Megtanuljuk, hogyan kell létrehozni egy sík általános egyenletét és így tovább.
Az egyenlet normál alakja
Tegyük fel, hogy van egy R szóköz3, amelynek téglalap alakú XYZ koordinátarendszere van. Határozzuk meg az α vektort, amely felszabadul az O kezdőpontból. Az α vektor végén át rajzolunk egy P síkot, amely merőleges lesz rá.
Jelöljünk egy tetszőleges pontot P-n Q = (x, y, z) alakban. Jelöljük a Q pont sugárvektorát p betűvel. Ebben az esetben az α vektor hossza egyenlő р=IαI és Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Ez egy egységvektor, amely felé irányuloldal, mint az α vektor. α, β és γ azok a szögek, amelyek az Ʋ vektor és az x, y, z tértengelyek pozitív irányai között alakulnak ki. Bármely QϵП pont vetülete az Ʋ vektorra egy állandó érték, amely egyenlő p-vel: (p,Ʋ) = p(p≥0).
A fenti egyenletnek akkor van értelme, ha p=0.Csak az a helyzet, hogy a P sík ebben az esetben metszi a koordináták origójának számító O pontot (α=0), és az O pontból felszabaduló Ʋ egységvektor iránya ellenére merőleges lesz P-re, ami azt jelenti, hogy az Ʋ vektor előjel pontossággal van meghatározva. Az előző egyenlet a P sík egyenlete, vektor alakban kifejezve. De koordinátákban ez így fog kinézni:
P itt nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Megtaláltuk a térbeli sík egyenletét normál alakban.
Általános egyenlet
Ha a koordinátákban megadott egyenletet megszorozzuk bármely olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, akkor ezzel egyenértékű egyenletet kapunk, amely pontosan azt a síkot határozza meg. Így fog kinézni:
Itt A, B, C olyan számok, amelyek egyidejűleg nem nullák. Ezt az egyenletet általános síkegyenletnek nevezzük.
Síkok egyenletei. Különleges esetek
Az egyenlet általános formában módosítható további feltételek fennállása esetén. Nézzünk meg néhányat közülük.
Tegyük fel, hogy az A együttható 0. Ez azt jelenti, hogy ez a sík párhuzamos az adott Ox tengellyel. Ebben az esetben az egyenlet alakja megváltozik: Ву+Cz+D=0.
Hasonlóképpen, az egyenlet alakja megváltozik a következő feltételek mellett:
- Először is, ha B = 0, akkor az egyenlet Ax + Cz + D = 0-ra változik, ami az Oy tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
- Másodszor, ha C=0, akkor az egyenletet Ax+By+D=0-ra transzformáljuk, ami az adott Oz tengellyel való párhuzamosságot jelzi.
- Harmadszor, ha D=0, az egyenlet így fog kinézni: Ax+By+Cz=0, ami azt jelenti, hogy a sík metszi az O-t (az origót).
- Negyedszer, ha A=B=0, akkor az egyenlet Cz+D=0-ra változik, ami párhuzamosnak bizonyul Oxy-val.
- Ötödször, ha B=C=0, akkor az egyenlet Ax+D=0 lesz, ami azt jelenti, hogy az Oyz síkja párhuzamos.
- Hatodszor, ha A=C=0, akkor az egyenlet Ву+D=0 alakot vesz fel, azaz párhuzamosságot jelent Oxz-nek.
Az egyenlet típusa szegmensekben
Abban az esetben, ha az A, B, C, D számok különböznek nullától, a (0) egyenlet alakja a következő lehet:
x/a + y/b + z/c = 1,
amelyben a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Ennek eredményeként megkapjuk a sík egyenletét szegmensekben. Érdemes megjegyezni, hogy ez a sík egy pontban metszi az Ox tengelyt, ahol koordináták (a,0,0), Oy - (0,b,0) és Oz - (0,0,c).
Az x/a + y/b + z/c = 1 egyenletet figyelembe véve nem nehéz vizuálisan elképzelni a sík adott koordinátarendszerhez viszonyított elhelyezkedését.
Normál vektor koordináták
A P síkra vonatkozó n normálvektornak olyan koordinátái vannak, amelyek ennek a síknak az általános egyenletének együtthatói, azaz n (A, B, C).
A normál n koordinátáinak meghatározásához elegendő egy adott sík általános egyenletének ismerete.
Ha intervallumegyenletet használunk, azalakja x/a + y/b + z/c = 1, mivel az általános egyenlet használatával egy adott sík bármely normálvektorának koordinátáit felírhatjuk: (1/a + 1/b + 1/c ).
Érdemes megjegyezni, hogy a normál vektor segítmegoldani a különféle problémákat. A leggyakoribbak a síkok merőlegességének vagy párhuzamosságának bizonyításával kapcsolatos problémák, a síkok közötti szögek vagy a síkok és egyenesek közötti szögek megállapításának problémái.
A síkegyenlet típusa a pont és a normálvektor koordinátái szerint
Egy adott síkra merőleges, nullától eltérő n vektort egy adott síkra normálisnak nevezzük.
Tegyük fel, hogy a koordinátatérben (téglalap koordinátarendszerben) az Oxyz adottak:
- Mₒ pont koordinátákkal (xₒ,yₒ,zₒ);
- nulla vektor n=A*i+B*j+C*k.
Létre kell hozni egy egyenletet egy síkra, amely átmegy az Mₒ ponton, amely merőleges az n-re.
Válasszunk egy tetszőleges pontot a térben ésjelöljük M (x y, z). Legyen bármely M (x,y,z) pont sugárvektora r=x*i+y*j+z*k, az Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) pont sugárvektora pedig – rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Az M pont egy adott síkhoz fog tartozni, ha az MₒM vektor merőleges az n vektorra. Írjuk fel az ortogonalitási feltételt a skalárszorzat segítségével:
[MₒM, n] = 0.
Mivel MₒM = r–rₒ, a sík vektoregyenlete így fog kinézni:
[r – rₒ, n] = 0.
Ennek az egyenletnek más alakja is lehet.Ehhez a skaláris szorzat tulajdonságait használjuk, és az egyenlet bal oldalát transzformáljuk. [r – rₒ, n] = [r, n] – [rₒ, n]. Ha [rₒ, n]-t c-vel jelöljük, akkor a következő egyenletet kapjuk: [r, n] – c = 0 vagy [r, n] = c, amely a sugár normálvektorára való vetületek állandóságát fejezi ki. adott pontok vektorai, amelyek a síkhoz tartoznak.
Most megkaphatjuk síkunk vektoregyenletének koordinátaformáját [r – rₒ, n] = 0. Mivel r–rₒ = (x–xₒ)*i + (y–yₒ)*j + (z–zₒ) )*k és n = A*i+B*j+C*k, a következőt kapjuk:
Kiderült, hogy van egy egyenletünk a normál n-re merőleges ponton átmenő síkra:
A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z–zₒ)=0.
A síkegyenlet típusa két pont koordinátái szerint és egy, a síkkal kollineáris vektor
Adjunk meg két tetszőleges M′ (x′,y′,z′) és M″ (x″,y″,z″) pontot, valamint egy a (a′,a″,a‴) vektort.
Most létrehozhatunk egy egyenletet egy adott síkra, amely átmegy a meglévő M′ és M″ pontokon, valamint bármely olyan M ponton, amelynek koordinátái (x, y, z) párhuzamosak az adott a vektorral.
Ebben az esetben az M′M={x-x′;y-y′;z-z′} és M″M={x″-x′;y″-y′;z″-z′} vektoroknak egy síkban kell lenniük a vektorral a=(a′,a″,a‴), ami azt jelenti, hogy (M′M, M″M, a)=0.
Tehát a térbeli síkegyenletünk így fog kinézni:
Három pontot metsző sík egyenletének típusa
Tegyük fel, hogy három pontunk van:(x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), amelyek nem tartoznak ugyanabba a sorba. Fel kell írni egy adott három ponton áthaladó sík egyenletét. A geometria elmélete azt állítja, hogy ez a fajta sík valóban létezik, de ez az egyetlen és egyedülálló. Mivel ez a sík metszi az (x′,y′,z′ pontot), az egyenlet alakja a következő lesz:
Itt A, B, C egyszerre különbözik a nullától. Ezenkívül az adott sík további két pontot metsz: (x″,y″,z″) és (x‴,y‴,z‴). E tekintetben a következő feltételeknek kell teljesülniük:
Most létrehozhatunk egy homogén (lineáris) egyenletrendszert u, v, w ismeretlenekkel:
Esetünkben x, y vagy z tetszőlegespont, amely kielégíti az (1) egyenletet. Adott az (1) egyenlet és a (2) és (3) egyenletrendszer, a fenti ábrán látható egyenletrendszer teljesül az N (A,B,C) vektorral, amely nem triviális. Ezért ennek a rendszernek a determinánsa nulla.
A kapott (1) egyenlet a következőa sík egyenlete. Pontosan 3 ponton megy át, és ez könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell terjesztenünk a determinánsunkat az első sor elemeire. A determináns meglévő tulajdonságaiból következik, hogy síkunk egyszerre metszi három kezdetben megadott pontot (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Azaz megoldottuk a ránk bízott feladatot.
Kétszögű síkok közötti szög
A diéder szöge aztérbeli geometriai alakzat, amelyet két félsík alkot, amelyek egy egyenesből erednek. Más szóval, ez az a térrész, amelyet ezek a félsíkok korlátoznak.
Tegyük fel, hogy van két síkunk a következő egyenletekkel:
Tudjuk, hogy az N=(A,B,C) és vektorokN¹=(A¹,B¹,C¹) merőlegesek az adott síkokra. Ebben a tekintetben az N és N¹ vektorok közötti φ szög egyenlő azzal a szöggel (diéder), amely e síkok között helyezkedik el. A pontterméknek a következő formája van:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
pontosan azért
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Elég figyelembe venni, hogy 0≤φ≤π.
Valójában két metsző sík két szöget (diédert) alkot: φ1 és φ2. Összegük egyenlő π (φ1+ φ2= π). Ami a koszinuszukat illeti, abszolút értékük egyenlő, de előjelben különböznek, azaz cos φ1=-cosφ2. Ha a (0) egyenletben A, B és C helyére -A, -B és -C számokat cserélünk, akkor a kapott egyenlet ugyanazt a síkot fogja meghatározni, az egyetlen, a cos egyenletben a φ szöget. φ= NN1/|N||N1| helyébe π-φ kerül.
Egy merőleges sík egyenlete
A síkok közötti síkokat merőlegesnek nevezzükamelynek szöge 90 fok. A fent bemutatott anyagot felhasználva megtalálhatjuk egy másikra merőleges sík egyenletét. Tegyük fel, hogy két síkunk van: Ax+By+Cz+D=0 és A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Azt mondhatjuk, hogy merőlegesek lesznek, ha cosφ=0. Ez azt jelenti, hogy NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Párhuzamos sík egyenlet
Két olyan síkot, amelyek nem tartalmaznak közös pontokat, párhuzamosnak nevezzük.
A párhuzamos síkok feltétele (egyenleteikugyanaz, mint az előző bekezdésben), hogy a rájuk merőleges N és N¹ vektorok kollineárisak. Ez azt jelenti, hogy az alábbi arányossági feltételek teljesülnek:
A/A1=B/B1=C/C1.
Ha az arányossági feltételeket kiterjesztjük - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
ez azt jelzi, hogy ezek a síkok egybeesnek. Ez azt jelenti, hogy az Ax+By+Cz+D=0 és az A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 egyenletek egy síkot írnak le.
Távolság a síktól a ponttól
Tegyük fel, hogy van egy P sík, ami adott(0) egyenlet. Meg kell találni a távolságot egy ponttól, melynek koordinátái (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Ehhez normál alakba kell hoznia a P sík egyenletét:
(ρ,v)=р (р≥0).
Ebben az esetben ρ (x,y,z) azP-n elhelyezkedő Q pontunk sugárvektora, p a nullapontból kioldott P merőleges hossza, v az a irányú egységvektor.
Valamely P-hez tartozó Q = (x, y, z) pont ρ-ρº sugárvektora, valamint egy adott Q pont sugárvektora0=(xₒ,yₒ,zₒ) egy olyan vektor, amelynek v-re vetített abszolút értéke egyenlő azzal a d távolsággal, amelyet Q-tól meg kell találni0=(xₒ,yₒ,zₒ) - P:
D=|(ρ-ρ0,v)|, de
(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)–(ρ0,v) =р–(ρ0,v).
Szóval kiderül
d=|(ρ0,v)-р|.
Most látható a Q-tól mért d távolság kiszámítása0 A P síkhoz a sík egyenletének normál alakját kell használni, p-t balra kell mozgatni, és x,y,z helyett (xₒ,yₒ,zₒ) helyettesíteni az utóbbival.
Így meg fogjuk találni az eredményül kapott kifejezés abszolút értékét, vagyis a kívánt d-t.
A paraméternyelv használatával a következőt kapjuk:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Ha egy adott Q pont0 a P sík másik oldalán van, mint a koordináták origója, akkor a ρ-ρ vektor között van0 és v tompaszög, ezért:
d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.
Abban az esetben, ha a Q pont0 a koordináták origójával együtt P ugyanazon az oldalán található, akkor a létrehozott szög hegyes, azaz:
d=(ρ-ρ0,v)=р - (ρ0, v)>0.
Ennek eredményeként kiderül, hogy az első esetben (ρ0,v)>р, a másodikban (ρ0,v)<р.
Érintősík és egyenlete
A felület Mº érintkezési pontjában lévő sík érintője egy olyan sík, amely tartalmazza a felület ezen a pontján keresztül rajzolt görbék összes lehetséges érintőjét.
Az ilyen típusú F(x,y,z)=0 felületi egyenletnél az érintősík egyenlete az Mº(xº,yº,zº) érintőpontban így fog kinézni:
Fx(xº,yº,zº)(x-xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y-yº)+ Fx(xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Ha a felületet explicit formában z=f (x,y) adjuk meg, akkor az érintősíkot a következő egyenlet írja le:
z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).
Két sík metszéspontja
A rendszer háromdimenziós térben helyezkedik elkoordináták (téglalap alakú) Oxyz, két П′ és П″ sík adott, amelyek metszik egymást és nem esnek egybe. Mivel a téglalap alakú koordinátarendszerben található bármely síkot egy általános egyenlet határozza meg, feltételezzük, hogy P′ és P″ az A′x+B′y+C′z+D′=0 és A″x egyenletek alapján. +B″y+ С″z+D″=0. Ebben az esetben a P′ sík normál n′ (A′,B′,C′), a P″ sík normál n″ (A″,B″,C″) értéke van. Mivel síkjaink nem párhuzamosak és nem esnek egybe, ezek a vektorok nem kollineárisak. Ezt a feltételt a matematika nyelvén a következőképpen írhatjuk fel: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. A P′ és P″ metszéspontjában lévő egyenest jelöljük a betűvel, ebben az esetben a = P′ ∩ P″.
a az összes pont halmazából álló egyenes(közös) P′ és P″ síkok. Ez azt jelenti, hogy az a egyeneshez tartozó bármely pont koordinátáinak egyidejűleg teljesíteniük kell az A′x+B′y+C′z+D′=0 és az A″x+B″y+C″z+D″=0 egyenletet. . Ez azt jelenti, hogy a pont koordinátái a következő egyenletrendszer részmegoldásai lesznek:
Ennek eredményeként kiderül, hogy az (általános) megoldás erreegyenletrendszer határozza meg a P′ és P″ metszéspontjaként működő egyenes minden pontjának koordinátáit, és meghatározza az a egyenest az Oxyz (téglalap alakú) koordinátarendszerben a térben.
