Tulajdonságok és módszerek a másodfokú egyenletek gyökereinek megtalálásához

A világ úgy van elrendezve, hogy nagy számban döntsöna problémák a kvadratikus egyenlet gyökereinek megkeresésére szorítkoznak. Az egyenletek gyökerei fontosak a különféle minták leírásához. Ezt még az ókori Babilon földmérői is tudták. A csillagászok és mérnökök is kénytelenek voltak megoldani ezeket a problémákat. Kr. U. 6. században Aryabhata indiai tudós kidolgozta az alapokat a másodfokú egyenlet gyökereinek megtalálásához. A képletek a 19. században elkészültek.

Általános fogalmak

Javasoljuk, hogy ismerkedjen meg a másodfokú egyenlőség alaptörvényeivel. Általánosságban az egyenlőség a következőképpen írható:

fejsze² + bx + c = 0,

A másodfokú egyenlet gyökereinek száma egy vagy kettő lehet. Egy gyors elemzés elvégezhető a diszkriminánsok fogalmának felhasználásával:

D = b² - 4ac

A kiszámított értéktől függően:

• D> 0 esetén két különböző gyök van. A kvadratikus egyenlet gyökereinek meghatározására szolgáló általános képlet (-b ± √D) / (2a).
• D = 0, ebben az esetben a gyökér egy, és megfelel az x = -b / (2a) értéknek
• D <0, nincs megoldás a diszkrimináns negatív értékének egyenletére.

Megjegyzés: ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenletnek nincsenek gyökerei csak a birodalomban. Ha az algebra kiterjed a komplex gyökerek fogalmára, akkor az egyenletnek van megoldása.

Itt van egy cselekvési lánc, amely megerősíti a gyökerek megtalálásának képletét.

Az egyenlet általános alakjából az következik:

fejsze² + bx = -c

Szorozza meg a jobb és a bal oldalt 4a-val, és adja hozzá b-t², kapunk

4a²a² + 4abx + b² = -4ac + b²

Transzformálja a bal oldalt négyzet alakú polinomként (2ax + b)²... Vegyük a 2ax + b = -b ± √ (-4ac + b²), a b együtthatót a jobb oldalra helyezzük:

2ax = -b ± √ (-4ac + b²)

Ez magában foglalja:

x = (-b ± √ (b² - 4ac)

Amit meg kellett mutatni.

Különleges eset

Bizonyos esetekben a probléma megoldása egyszerűsíthető. Tehát egyenletes b együttható esetén egyszerűbb képletet kapunk.

K = 1 / 2b-t jelölünk, akkor a másodfokú egyenlet gyökereinek általános képlete a következő:

x = (-k ± √ (k² - ac)) / a

D = 0 esetén x = -k / a-t kapunk

Egy másik speciális eset az a = 1 egyenlet megoldása lesz.

Az x nézethez² + bx + c = 0, a gyökerek x = -k ± √ (k² - c) ha a diszkrimináns nagyobb, mint 0. Abban az esetben, ha D = 0, a gyököt egyszerű képlettel határozzuk meg: x = -k.

Diagramok használata

Bárki, anélkül, hogy tudna róla, folyamatosan fizikai, kémiai, biológiai és akár társadalmi jelenségekkel is szembesül, amelyeket kvadratikus funkció jól leír.

Megjegyzés: A másodfokú függvényen alapuló görbét parabolának nevezzük.

Íme néhány példa.

1. A lövedék pályájának kiszámításakor a horizont látószögével lőtt test parabola mentén a mozgás tulajdonságát használják.
2. A parabola tulajdonsága, hogy egyenletesen elosztja a terhelést, széles körben használják az építészetben.

Megértve a parabolikus függvény fontosságát, derítsük ki, hogyan használhatunk egy gráfot annak tulajdonságainak feltárására a "diszkrimináns" és a "másodfokú egyenlet gyökerei" fogalmak segítségével.

Az a és b együtthatók értékétől függően csak hat lehetőség áll rendelkezésre a görbe helyzetére:

1. A diszkrimináns pozitív, a és b különböző jelekkel rendelkeznek. A parabola ágai felfelé mutatnak, a másodfokú egyenletnek két megoldása van.
2. A diszkrimináns és a b együttható nulla, az a együttható nagyobb, mint nulla. A grafikon pozitív zónában van, az egyenletnek 1 gyöke van.
3. A diszkrimináns és az összes együttható pozitív. A másodfokú egyenletnek nincs megoldása.
4. A diszkrimináns és az a együttható negatív, b nagyobb, mint nulla. A gráf ágai lefelé irányulnak, az egyenletnek két gyöke van.
5. A diszkrimináns és a b együttható nulla, az a együttható negatív. A parabola lenéz, az egyenletnek egy gyökere van.
6. A diszkrimináns és az összes együttható negatív. Nincsenek megoldások, a függvényértékek teljesen a negatív zónában vannak.

Megjegyzés: az a = 0 opciót nem veszik figyelembe, mivel ebben az esetben a parabola egyenesgé degenerálódik.

A fentieket jól szemlélteti az alábbi ábra.

Példák a problémamegoldásra

Feltétel: általános tulajdonságok felhasználásával készítsen másodfokú egyenletet, amelynek gyökerei egyenlőek egymással.

megoldás:

x problémamegállapítással₁ = x₂, vagy -b + √ (b² - 4ac) / (2a) = -b + √ (b² - 4ac) / (2a). A bejegyzés egyszerűsítése:

-b + √ (b² - 4ac) / (2a) - (-b - √ (b² - 4ac) / (2a)) = 0, nyissa ki a zárójeleket, és adjon meg hasonló kifejezéseket. Az egyenlet 2√ (b² - 4ac) = 0. Ez az állítás akkor igaz, ha b² - 4ac = 0, ezért b² = 4ac, akkor a b = 2√ (ac) értéket behelyettesítjük az egyenletbe

fejsze² + 2√ (ac) x + c = 0, redukált alakban x-t kapunk² + 2√ (c / a) x + c = 0.

A válasz:

0-val nem egyenlő és bármely c érték esetén csak egy megoldás létezik, ha b = 2√ (c / a).

Másodfokú egyenletek minden egyszerűségük érdekébennagy jelentőséggel bírnak a mérnöki számításokban. Szinte bármilyen fizikai folyamat leírható némi közelítéssel az n rendű teljesítményfüggvények felhasználásával. A másodfokú egyenlet lesz az első ilyen közelítés.