Izvod neke funkcije f (x) u određenojtočka x0 naziva se granicom omjera prirasta funkcije prema prirastu argumenta, pod uvjetom da x slijedi do 0, a granica postoji. Izvod se obično označava prostim brojem, ponekad tačkom ili kroz diferencijal. Derivat preko granice često zavarava jer se takav prikaz rijetko koristi.
Funkcija koja ima derivat na određenojtočka x0, obično se naziva diferencijabilnom u takvoj točki. Pretpostavimo da je D1 skup točaka u kojima se funkcija f razlikuje. Stavljajući u korespondenciju svakom broju broj x koji pripada D f '(x), dobivamo funkciju s površinom oznake D1. Ova je funkcija izvedenica y = f (x). Označena je ovako: f '(x).
Štoviše, derivat se široko koristi ufizike i tehnologije. Pogledajmo najjednostavniji primjer. Materijalna točka kreće se duž koordinate ravno, a dan je i zakon gibanja, odnosno x koordinata ove točke je poznata funkcija x (t). Tijekom vremenskog intervala od t0 do t0 + t, pomak točke je x (t0 + t) -x (t0) = x, a prosječna brzina v (t) je x / t.
Ponekad se priroda pokreta prikazuje na takav način da uza kratka vremenska razdoblja prosječna brzina se ne mijenja, što znači da se kretanje s većim stupnjem točnosti smatra jednoličnim. Ili vrijednost prosječne brzine, ako t0 slijedi neku apsolutno točnu vrijednost, koja se naziva trenutnom brzinom v (t0) ove točke u određeno vrijeme t0. Vjeruje se da je trenutna brzina v (t) poznata za bilo koju diferenciranu funkciju x (t), a v (t) će biti jednaka x ’(t). Jednostavno rečeno, brzina je vremenski derivat koordinate.
Trenutna brzina ima i pozitivne inegativne vrijednosti, kao i vrijednost 0. Ako je pozitivna u nekom vremenskom intervalu (t1; t2), tada se točka kreće u istom smjeru, odnosno koordinata x (t) povećava se s vremenom, a ako je v ( t) je negativan, tada se x (t) koordinata smanjuje.
U težim slučajevima točka se kreće u ravnini ili u svemiru. Tada je brzina vektorska veličina i određuje svaku od koordinata vektora v (t).
Slično se može usporediti s ubrzanjemkretanje točke. Brzina je funkcija vremena, odnosno v = v (t). A izvod takve funkcije je ubrzanje kretanja: a = v ’(t). Odnosno, ispada da je vremenski izvod brzine ubrzanje.
Pretpostavimo da je y = f (x) bilo koji diferenciranifunkcija. Tada možete razmotriti kretanje materijalne točke duž koordinatne crte, koje se događa iza zakona x = f (t). Mehanički sadržaj izvedenice omogućuje vizualno tumačenje teorema diferencijalnog računa.
Kako mogu pronaći izvedenicu? Pronalaženje izvoda neke funkcije naziva se njegova diferencijacija.
Dajmo primjere kako pronaći izvedenu funkciju:
Izvod konstantne funkcije je nula; izvod funkcije y = x jednak je jedinici.
Kako pronaći derivat razlomka? Da biste to učinili, uzmite u obzir sljedeći materijal:
Za bilo koji x0 <> 0 imamo
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Postoji nekoliko pravila za pronalaženje izvedenice. Naime:
Ako su funkcije A i B diferencirane u točki x0,tada se njihov zbroj diferencira u točki: (A + B) '= A' + B '. Jednostavno rečeno, izvod zbroja jednak je zbroju izvoda. Ako se funkcija u nekom trenutku diferencira, tada njezin priraštaj slijedi nuli kada priraštaj argumenta slijedi nuli.
Ako su funkcije A i B diferencirane u točki x0,tada se njihov proizvod diferencira u točki: (A * B) '= A'B + AB'. (Vrijednosti funkcija i njihovih izvoda izračunavaju se u točki x0). Ako se funkcija A (x) diferencira u točki x0, a C je konstantna, tada se funkcija CA diferencira u ovoj točki i (CA) '= CA'. Odnosno, takav konstantni faktor izvađen je iz znaka izvedenice.
Ako su funkcije A i B diferencirane u točki x0, a funkcija B nije jednaka nuli, tada se njihov omjer diferencira i u točki: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
