Mislim da bismo trebali započeti s tako slavnom pričommatematički alat kao diferencijalne jednadžbe. Poput svih diferencijalnih i integralnih računa, ove je jednadžbe izumio Newton krajem 17. stoljeća. Smatrao je ovo svoje otkriće toliko važnim da je čak šifrirao poruku koja se danas može prevesti otprilike ovako: "Svi prirodni zakoni opisani su diferencijalnim jednadžbama." To se možda čini pretjerivanjem, ali jest. Bilo koji zakon fizike, kemije i biologije može se opisati ovim jednadžbama.
Matematičari Euler i Lagrange dali su ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi. Već u 18. stoljeću otkrili su i razvili ono što se sada proučava u starijim godinama sveučilišta.
Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednadžbizapočeo zahvaljujući Henriju Poincaréu. Stvorio je "kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi", koja je u kombinaciji s teorijom funkcija složene varijable dala značajan doprinos utemeljenju topologije - znanosti o prostoru i njegovim svojstvima.
Što su diferencijalne jednadžbe?
Mnogi se boje jedne fraze"diferencijalna jednadžba". Međutim, u ovom ćemo članku detaljno objasniti cijelu bit ovog vrlo korisnog matematičkog aparata, koji zapravo nije toliko kompliciran kao što naziv govori. Da biste započeli razgovor o diferencijalnim jednadžbama prvog reda, prvo biste se trebali upoznati s osnovnim pojmovima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. A mi ćemo početi s diferencijalom.
Diferencijal
Mnogi ljudi taj koncept znaju iz škole.Međutim, zaustavimo se na tome detaljnije. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da bilo koji njegov segment ima oblik ravne crte. Na njemu uzimamo dvije točke koje su beskrajno blizu jedna drugoj. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će beskonačno mala. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno shvatiti da diferencijal nije konačna vrijednost, a to je njegovo značenje i glavna funkcija.
A sada je potrebno razmotriti sljedeći element, koji će nam biti koristan u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je izvedenica.
Izvedena
Svi smo taj koncept vjerojatno čuli u školi.Kaže se da je izvod brzina kojom se funkcija povećava ili smanjuje. Međutim, iz ove definicije mnogo toga postaje neshvatljivo. Pokušajmo izvesti derivaciju u terminima diferencijala. Vratimo se beskonačno malom segmentu funkcije s dvije točke koje su na minimalnoj udaljenosti jedna od druge. Ali čak i za ovu udaljenost, funkcija ima vremena promijeniti se za neki iznos. I da bih opisao ovu promjenu, došao je do izvedenice, koja se inače može zapisati kao omjer diferencijala: f (x) "= df / dx.
Sada vrijedi razmotriti osnovna svojstva derivata. Samo su tri:
- Izvod zbroja ili razlike može se predstaviti kao zbroj ili razlika izvoda: (a + b) "= a" + b "i (a-b)" = a "-b".
- Drugo svojstvo povezano je s množenjem. Izvod proizvoda je zbroj proizvoda jedne funkcije derivatom druge: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- Izvod razlike može se zapisati kao sljedeća jednakost: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b2.
Sva ta svojstva bit će nam korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
Postoje i djelomične izvedenice.Recimo da imamo funkciju z koja ovisi o varijablama x i y. Da bismo izračunali djelomični izvod ove funkcije, recimo, s obzirom na x, trebamo uzeti varijablu y kao konstantu i samo diferencirati.
Sastavni
Drugi važan koncept je integral.U biti, ovo je sušta suprotnost izvedenici. Integrali se mogu pojaviti u nekoliko oblika, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi trebaju nam trivijalni neodređeni integrali.
Dakle, što je integral?Recimo da imamo određenu ovisnost f o x. Iz njega uzimamo integral i dobivamo funkciju F (x) (koja se često naziva antiderivativom), čiji je derivat jednak izvornoj funkciji. Dakle, F (x) "= f (x). Iz toga također slijedi da je integral izvedenice jednak izvornoj funkciji.
Kada rješavate diferencijalne jednadžbe, vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, jer ćete ih vrlo često morati uzeti kako biste pronašli rješenje.
Jednadžbe se razlikuju ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem ćemo odjeljku pogledati vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim ćemo naučiti kako ih riješiti.
Razredi diferencijalnih jednadžbi
"Razlike" se dijele redoslijedom derivata,sudjelujući u njima. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obični i djelomični izvodi.
U ovom ćemo članku pogledati uobičajenediferencijalne jednadžbe prvog reda. O primjerima i načinu njihovog rješavanja također ćemo razgovarati u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE-ove jer su to najčešće vrste jednadžbi. Obični se dijele na podvrste: s odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se međusobno razlikuju i naučiti kako ih riješiti.
Osim toga, ove se jednadžbe mogu kombinirati tako da nakon što dobijemo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Također ćemo razmotriti takve sustave i naučiti kako ih rješavati.
Zašto razmatramo samo prvu narudžbu? Budući da trebate započeti jednostavno, a jednostavno je nemoguće u jednom članku opisati sve što je povezano s diferencijalnim jednadžbama.
Odvojive jednadžbe
To su možda najjednostavniji diferencijaljednadžbe prvog reda. Uključuju se primjeri koji se mogu zapisati ovako: y "= f (x) * f (y). Da bismo riješili ovu jednadžbu, potrebna nam je formula za predstavljanje izvedenice kao omjera diferencijala: y" = dy / dx. Pomoću nje dobivamo sljedeću jednadžbu: dy / dx = f (x) * f (y). Sada se možemo okrenuti metodi za rješavanje standardnih primjera: podijelit ćemo varijable u dijelove, odnosno prenijet ćemo sve iz y varijable u dio u kojem se nalazi dy, i učiniti isto s x varijablom. Dobivamo jednadžbu oblika: dy / f (y) = f (x) dx, koja se rješava uzimanjem integrala s obje strane. Ne zaboravite na konstantu, koja se mora postaviti nakon uzimanja integrala.
Rješenje bilo koje "difuzije" funkcija je ovisnosti x o y (u našem slučaju) ili, ako postoji numerički uvjet, odgovor je u obliku broja. Analizirajmo cjelokupni tijek rješenja na konkretnom primjeru:
y "= 2y * grijeh (x)
Varijable prenosimo u različitim smjerovima:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Sada uzimamo integrale. Svi oni mogu se naći u posebnoj tablici integrala. I dobivamo:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Ako je potrebno, "igru" možemo izraziti kaofunkcija iz "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako uvjet nije naveden. Može se odrediti uvjet, na primjer, y (n / 2) = e. Tada jednostavno zamjenjujemo vrijednost ovih varijabli u rješenju i pronalazimo vrijednost konstante. U našem primjeru jednak je 1.
Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda
Sada prijeđimo na teži dio.Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se napisati u općem obliku na sljedeći način: y "= z (x, y). Treba imati na umu da je desna funkcija dviju varijabli homogena i ne može se podijeliti u dvije ovisnosti: z na x i z na y. Provjerite je li jednadžba homogena ili nije sasvim je jednostavno: vršimo zamjenu x = k * x i y = k * y. Sada poništavamo sva k. Ako su sva ova slova poništena, tada jednadžba je homogena i možemo sigurno prijeći na njezino rješenje.Recimo: princip rješavanja ovih primjera također je vrlo jednostavan.
Moramo izvršiti zamjenu:y = t (x) * x, gdje je t neka funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti izvedenicu: y "= t" (x) * x + t. Zamjenjujući sve ovo u našu izvornu jednadžbu i pojednostavnjujući, dobivamo primjer s odvojivim varijablama t i x. Riješimo je i dobijemo ovisnost t (x). Kad ga dobijemo, jednostavno zamjenjujemo y = t (x) * x u prethodnoj zamjeni. Tada dobivamo ovisnost y o x.
Da bi bilo jasnije, pogledajmo primjer: x * y "= y-x * eg / x.
Prilikom provjere i zamjene sve se smanjuje.To znači da je jednadžba doista homogena. Sada izvršimo još jednu zamjenu, o kojoj smo razgovarali: y = t (x) * x i y "= t" (x) * x + t (x). Nakon pojednostavljenja dobivamo sljedeću jednadžbu: t "(x) * x = -et... Riješite rezultirajući primjer s odvojenim varijablama i dobijte: e-t= ln (C * x). Moramo samo zamijeniti t s y / x (uostalom, ako je y = t * x, tada je t = y / x), i dobit ćemo odgovor: e-y / x= ln (x * S).
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Vrijeme je da razmotrimo još jednu široku temu.Analizirat ćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodne dvije? Shvatimo to. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u općenitom obliku mogu se zapisati na sljedeći način: y "+ g (x) * y = z (x). Vrijedno je pojasniti da z (x) i g (x) mogu biti konstantne vrijednosti.
A sada primjer: y "- y * x = x2.
Postoje dva načina da se to riješi, a obojicu ćemo riješiti redom. Prva je metoda varijacije proizvoljnih konstanti.
Da biste na taj način riješili jednadžbu, prvo morate izjednačiti desnu stranu s nulom i riješiti rezultirajuću jednadžbu koja će nakon prijenosa dijelova poprimiti oblik:
y "= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x2/ 2 + C;
y = ex2 / 2* godC= C1* ex2 / 2.
Sada moramo zamijeniti konstantu C1 na funkciju v (x), koju moramo pronaći.
y = v * ex2 / 2.
Zamijenimo izvedenicu:
y "= v" * ex2 / 2-x * v * ex2 / 2.
I zamjenjujemo ove izraze u izvornoj jednadžbi:
v "* ex2 / 2 - x * v * ex2 / 2 + x * v * ex2 / 2 = x2.
Vidite da su dva pojma otkazana s lijeve strane. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste učinili nešto pogrešno. Nastavimo:
v "* ex2 / 2 = x2.
Sada rješavamo uobičajenu jednadžbu u kojoj trebamo razdvojiti varijable:
dv / dx = x2/ ex2 / 2;
dv = x2* e-x2 / 2dx.
Da bismo izdvojili integral, moramo primijenitiovdje integracija po dijelovima. Međutim, ovo nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako to učiniti sami. Nije teško, a uz dovoljno vještine i pažnje ne treba vam puno vremena.
Okrenimo se drugoj metodi za rješavanje nehomogenih jednadžbi: Bernoullijevoj metodi. Koji je pristup brži i lakši, ovisi o vama.
Dakle, kada rješavamo jednadžbu ovom metodom, mipotrebno je izvršiti zamjenu: y = k * n. Ovdje su k i n neke funkcije koje ovise o x. Tada će izvod izgledati ovako: y "= k" * n + k * n "Zamijeni obje zamjene u jednadžbi:
k "* n + k * n" + x * k * n = x2.
Mi grupiramo:
k "* n + k * (n" + x * n) = x2.
Sada moramo izjednačiti s nulom ono što je u zagradama. Ako kombinirate dvije rezultirajuće jednadžbe, dobit ćete sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda koji treba riješiti:
n "+ x * n = 0;
k "* n = x2.
Prvu jednakost rješavamo kao običnu jednadžbu. Da biste to učinili, morate razdvojiti varijable:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Uzmemo integral i dobijemo: ln (n) = x2/ 2. Tada, ako izrazimo n:
n = ex2 / 2.
Sada zamjenjujemo rezultirajuću jednakost u drugu jednadžbu sustava:
k "* ex2 / 2= x2.
I pretvarajući, dobivamo istu jednakost kao u prvoj metodi:
dk = x2/ ex2 / 2.
Također nećemo analizirati daljnje radnje.Treba reći da u početku rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, kako dublje ulazite u temu, ona postaje sve bolja i bolja.
Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?
Vrlo aktivne diferencijalne jednadžbeprimjenjuje se u fizici, jer su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo rješenje su tih jednadžbi. U kemiji se koriste iz istog razloga: uz njihovu pomoć izvode se osnovni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sustava, poput grabežljivca-plijena. Također se mogu koristiti za stvaranje uzgojnih modela za, recimo, mikrobnu koloniju.
Kako diferencijalne jednadžbe pomažu u životu?
Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: ništa.Ako niste znanstvenik ili inženjer, malo je vjerojatno da će vam biti korisni. Međutim, za opći razvoj ne škodi znati što je diferencijalna jednadžba i kako se ona rješava. A onda pitanje sina ili kćeri "što je diferencijalna jednadžba?" neće vas zbuniti. Pa, ako ste znanstvenik ili inženjer, onda i sami razumijete važnost ove teme u bilo kojoj znanosti. Ali najvažnije je da se sada postavlja pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda?" uvijek možete dati odgovor. Slažete se, uvijek je lijepo kad shvatite ono što se ljudi čak boje razumjeti.
Glavni problemi u studiji
Glavni problem u razumijevanju ove teme jeloša vještina integriranja i razlikovanja funkcija. Ako niste dobri u uzimanju izvedenica i integrala, tada bi vjerojatno vrijedilo naučiti više, svladavajući različite metode integracije i diferencijacije, a tek onda krenite s proučavanjem materijala opisanog u članku.
Neki se ljudi iznenade kad saznaju da je dxmože se prenijeti, jer je ranije (u školi) rečeno da je razlomak dy / dx nedjeljiv. Ovdje trebate pročitati literaturu o izvedenici i shvatiti da se omjerom beskonačno malih veličina može upravljati prilikom rješavanja jednadžbi.
Mnogi ljudi ne shvaćaju odmah da je rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili ne trivijalni integral, a ova im zabluda zadaje mnogo problema.
Što još možete proučiti za bolje razumijevanje?
Najbolje je započeti daljnje uranjanje u svijetdiferencijalni račun iz specijaliziranih udžbenika, na primjer, u matematičkoj analizi za studente nematematičkih specijalnosti. Tada možete prijeći na specijaliziraniju literaturu.
Vrijedno je reći da, osim diferencijalnih jednadžbi, postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i čemu proučavati.
zaključak
Nadamo se da ćete nakon čitanja ovog članka imati predodžbu o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.
U svakom slučaju, matematika će nam na neki način biti korisna u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba kao bez ruku.
