Jednostavna metoda iteracije za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (SLAE)

Jednostavna iteracijska metoda, koja se naziva i metodomuzastopna aproksimacija matematički je algoritam za pronalaženje vrijednosti nepoznate veličine postupnim usavršavanjem. Bit ove metode je u tome što se, kako naziv govori, postupnim izražavanjem sljedećih iz početne aproksimacije dobivaju sve više i više pročišćenih rezultata. Ova se metoda koristi za pronalaženje vrijednosti varijable u datoj funkciji, kao i za rješavanje sustava jednadžbi, linearnih i nelinearnih.

Razmotrimo kako se ova metoda primjenjuje pri rješavanju SLAE. Jednostavna metoda ponavljanja ima sljedeći algoritam:

jedan.Provjera ispunjavanja uvjeta konvergencije u izvornoj matrici. Teorem o konvergenciji: ako početna matrica sustava ima dijagonalnu dominaciju (tj. U svakom retku elementi glavne dijagonale moraju biti veći po modulu od zbroja elemenata sekundarnih dijagonala po modulu), tada se koristi metoda jednostavnog iteracija je konvergentna.

2.Matrica izvornog sustava nema uvijek dijagonalnu dominaciju. U takvim se slučajevima sustav može pretvoriti. Jednadžbe koje zadovoljavaju uvjet konvergencije ostaju netaknute, a s onima koje ne zadovoljavaju čine linearne kombinacije, tj. množiti, oduzimati, zbrajati jednadžbe dok se ne dobije željeni rezultat.

Ako u rezultirajućem sustavu na glavnoj dijagonali postoje nezgodni koeficijenti, tada su izrazi oblika sa_i* x_ja, čiji se znakovi moraju podudarati sa znakovima dijagonalnih elemenata.

3. Konverzija rezultirajućeg sustava u njegov normalni oblik:

s^-= β^-+ α * x^-

To se može učiniti na mnogo načina, na primjer, ovako: iz prve jednadžbe izrazite x₁ kroz ostale nepoznanice, od druge - x₂, od trećeg - x₃ itd. U ovom slučaju koristimo formule:

α_{i J}= - (a_{i J} / a_ii)

_i= b_i/i_ii
Treba ponovno provjeriti da rezultirajući sustav normalnog oblika ispunjava uvjet konvergencije:

∑ (j = 1) | α_{i J}| ≤ 1, dok je i = 1,2, ... n

4. Počinjemo primjenjivati ​​zapravo samu metodu uzastopnih aproksimacija.

s⁽⁰⁾je početna aproksimacija, kroz nju izražavamo x⁽¹⁾, zatim kroz x⁽¹⁾ izraziti x⁽²⁾... Općenita formula u matričnom obliku izgleda ovako:

s⁽ⁿ⁾= β^-+ α * x^(n-1)

Izračunavamo dok ne postignemo potrebnu točnost:

maks. | x_i(k) -x_i(k + 1) ≤ ε

Dakle, primijenimo jednostavnu metodu ponavljanja u praksi. Primjer:
Riješite SLAE:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 s preciznošću ε = 10^-3

Pogledajmo prevladavaju li dijagonalni elementi u modulu.

Vidimo da samo treća jednadžba zadovoljava uvjet konvergencije. Transformiramo prvu i drugu, dodamo drugu prvoj jednadžbi:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Oduzmi prvo od trećeg:

-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2

Izvorni smo sustav pretvorili u ekvivalent:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2,7x1 + 4,2x2 + 1,2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4

Sada vratimo sustav u normalu:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Provjera konvergencije iterativnog postupka:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, tj. uvjet je zadovoljen.

0,3947
Početna aproksimacija x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Zamjenom ovih vrijednosti u jednadžbu normalnog oblika dobivamo sljedeće vrijednosti:

0,08835
s^(jedan)= 0,486793
0,446639

Zamjenom novih vrijednosti dobivamo:

0,215243
s⁽²⁾= 0,405396
0,558336

Proračune nastavljamo sve dok se ne približimo vrijednostima koje zadovoljavaju zadani uvjet.

0,18813

s⁽⁷⁾= 0,441091

0,544319

0,188002

s^(osam) = 0,44164

0,544428

Provjerimo ispravnost dobivenih rezultata:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2 0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9997

Rezultati dobiveni zamjenom pronađenih vrijednosti u izvorne jednadžbe u potpunosti zadovoljavaju uvjete jednadžbe.

Kao što vidimo, jednostavna iteracijska metoda daje prilično točne rezultate, ali za rješavanje ove jednadžbe morali smo potrošiti puno vremena i nezgrapnih izračuna.