Cramerova metoda jedna je od točnih metodarješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE). Njegova je točnost zbog korištenja odrednica matrice sustava, kao i nekih ograničenja koja su nametnuta za vrijeme dokazivanja teorema.
Sustav linearnih algebarskih jednadžbi s koeficijentima koji pripadaju, na primjer, skupu R - stvarni brojevi, nepoznanica x1, x2, ..., xn je skup izraza oblika
ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi za i = 1, 2, ..., m, (1)
gdje su aij, bi stvarni brojevi. Svaki od tih izraza naziva se linearnom jednadžbom, aij - koeficijenti za nepoznanice, bi-slobodnim koeficijentima jednadžbi.
Rješenje sustava (1) je n-dimenzionalni vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), prilikom zamjene u sustav umjesto nepoznatih x1, x2, ..., xn, svaki red u sustavu postaje ispravna jednakost ,
Sustav se naziva zajednički ako ima barem jedno rješenje, a nekompatibilan ako se njegov skup rješenja podudara s praznim skupom.
To se mora zapamtiti da bi se pronašlorješavajući sustave linearnih algebarskih jednadžbi pomoću Cramerove metode, matrica sustava trebala bi biti kvadratna, što u osnovi znači isti broj nepoznanica i jednadžbi u sustavu.
Dakle, da bismo koristili Cramer-ovu metodu,morate barem znati što je matrica sustava linearnih algebričnih jednadžbi i kako je zapisana. I drugo, shvatite što se naziva odrednicom matrice i posjedujte vještine da je izračunaju.
Pretpostavimo da imate to znanje.Divno! Tada se samo morate sjetiti formula koje određuju Cramer-ovu metodu. Za pojednostavljenje pamćenja koristimo sljedeću notu:
Det je glavna odrednica matrice sustava;
deti – это определитель матрицы, полученной из glavna matrica sustava, ako zamijenimo i i stupac matrice s vektorom stupaca čiji su elementi pravi dijelovi sustava linearnih algebričnih jednadžbi;
n je broj nepoznanica i jednadžbi u sustavu.
Tada se Cramer-ovo pravilo za izračunavanje i-te komponente xi (i = 1, .. n) n-dimenzionalnog vektora x može zapisati kao
xi = deti / Det, (2).
U ovom slučaju Det je strogo jednak nuli.
Jedinstvenost rješenja sustava kada gakompatibilnost osigurava uvjet nejednakosti prema nuli glavnoj odrednici sustava. Inače, ako je zbroj (xi) u kvadratu strogo pozitivan, tada će kvadratna matrica SLAE biti nespojiva. To se posebno može dogoditi kada je bar jedan od deti-a nečiji nuli.
Primjer 1, Riješite trodimenzionalni LAU sustav koristeći Cramerove formule.
x1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.
Odluka. Zapisujemo sistemsku matricu liniju po liniju, gdje je Ai prvi red matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1).
Stupac slobodnih koeficijenata b = (31 29 10).
Glavna odrednica Det sustava je
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = –27.
Za izračun det1 koristimo supstituciju a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. tada
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = –81.
Slično tome, za izračunavanje det2 koristimo supstituciju a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 i, prema tome, izračunamo det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Tada možete provjeriti da je det2 = –108, a det3 = - 135.
Prema Cramerovim formulama nalazimo da je x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.
Odgovor je: x ° = (3,4,5).
Na temelju uvjeta primjene ovog pravila,Cramerova metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi može se koristiti neizravno, na primjer, za proučavanje sustava mogućeg broja rješenja, ovisno o vrijednosti nekog parametra k.
Primjer 2 Odredite za koje vrijednosti parametra k nejednakost | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 ima točno jedno rješenje.
Odluka.
Ta nejednakost na osnovu definicije modulafunkcije se mogu izvoditi samo ako su oba izraza istovremeno jednaka nuli. Stoga se ovaj problem svodi na pronalaženje rješenja linearnog sustava algebričnih jednadžbi
kx - y = 4,
x + ky = –4.
Rješenje ovog sustava je jedino ako je njegova glavna odrednica
Det = k ^ {2} + 1 je nula. Očito je da je ovaj uvjet zadovoljen za sve stvarne vrijednosti parametra k.
Odgovor je: za sve stvarne vrijednosti parametra k.
Mnogi problemi iz područja matematike, fizike ili kemije mogu se svesti na probleme ove vrste.
