उन पर साधारण और दशमलव अंश और कार्य

प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही छात्रों का सामना करना पड़ रहा हैभिन्न और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। इन नंबरों के साथ क्रियाओं को भूलना असंभव है। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सभी जानकारी जानने की आवश्यकता है। ये अवधारणाएं सरल हैं, मुख्य बात यह है कि सब कुछ क्रम में समझना।

अंश किस लिए हैं?

हमारे चारों ओर की दुनिया पूरी वस्तुओं से बनी है। इसलिए शेयरों की कोई जरूरत नहीं है। लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई स्लाइस होते हैं।एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां इसकी टाइल बारह आयतों से बनती है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। वह अच्छी तरह से तीन में विभाजित हो जाएगी। लेकिन पांच पूरी संख्या में चॉकलेट वेज नहीं दे पाएंगे।

वैसे, ये स्लाइस पहले से ही भिन्न हैं। और उनका आगे का विभाजन अधिक जटिल संख्याओं की उपस्थिति की ओर ले जाता है।

एक अंश क्या है?

यह एक के भागों से बनी एक संख्या है।बाह्य रूप से, यह एक क्षैतिज या तिरछी रेखा द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। ऊपर (बाईं ओर) लिखी संख्या को अंश कहते हैं। नीचे (दाएं) हर है।

वास्तव में, भिन्नात्मक बार एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को विभाज्य कहा जा सकता है, और हर को भाजक कहा जा सकता है।

वहाँ क्या अंश हैं?

गणित में, उनमें से केवल दो प्रकार हैं:सामान्य और दशमलव अंश। स्कूली बच्चे प्राथमिक ग्रेड में पहले से परिचित होते हैं, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। दूसरा 5वीं कक्षा में पहचान लेगा। तभी ये नाम सामने आते हैं।

साधारण भिन्न वे सभी होते हैं जो में लिखे जाते हैंदो संख्याओं के रूप में जो एक रेखा से अलग होती हैं। उदाहरण के लिए, 4/7। दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में स्थितीय संकेतन होता है और अल्पविराम द्वारा पूरे से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग संख्याएं हैं।

प्रत्येक भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत दिशा में सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको एक साधारण भिन्न के साथ दशमलव अंश लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों की उप-प्रजातियां क्या हैं?

कालानुक्रमिक क्रम में शुरू करना बेहतर है क्योंकि उनका अध्ययन किया जाता है। अंश पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

1. सही बात। इसका अंश हमेशा हर से छोटा होता है।

2. गलत। इसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

3. संविदात्मक / अपरिवर्तनीय।यह सही और गलत दोनों हो सकता है। महत्वपूर्ण यह है कि क्या हर वाले अंश में सामान्य गुणनखंड होते हैं। यदि वहाँ हैं, तो वे अंश के दोनों भागों को विभाजित करने वाले हैं, अर्थात इसे कम करने के लिए।

4. मिश्रित। एक पूर्णांक को उसके सामान्य सही (गलत) भिन्नात्मक भाग के लिए नियत किया जाता है। इसके अलावा, यह हमेशा बाईं ओर खड़ा होता है।

5. मिश्रित। यह एक दूसरे से अलग किए गए दो अंशों से बनता है। यानी इसमें एक साथ तीन भिन्न रेखाएं होती हैं।

दशमलव अंशों में केवल दो उप-प्रजातियाँ होती हैं:

• अंतिम, अर्थात्, जिसमें भिन्नात्मक भाग सीमित है (अंत है);

• अनंत - एक संख्या जिसके दशमलव बिंदु के बाद के अंक समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन लिखा जा सकता है)।

दशमलव को भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह एक परिमित संख्या है, तो नियम के आधार पर संघ लागू होता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यही है, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की जरूरत है, लेकिन बिना अल्पविराम के, लेकिन एक भिन्नात्मक रेखा के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, आपको यह याद रखना होगा कि यह हमेशा एक और कई शून्य होता है। उत्तरार्द्ध को उतने ही लिखे जाने की आवश्यकता है, जितने कि प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंक हैं।

दशमलव भिन्न को भिन्न में कैसे बदलें,यदि उनका पूरा भाग अनुपस्थित है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05। निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन यह इंगित नहीं किया गया है। यह केवल भिन्नात्मक भागों को लिखना बाकी है। पहली संख्या के लिए हर 10 होगा, दूसरे के लिए - 100। यानी दिए गए उदाहरणों में संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, यह पता चला है कि बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसके लिए परिणाम 1/20 लिखा जाना चाहिए।

दशमलव से साधारण भिन्न कैसे बनाते हैं,यदि इसका पूर्णांक भाग शून्येतर है? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108। दोनों उदाहरणों में, पूर्णांक भाग को पढ़ा जाता है और उसका मान लिखा जाता है। पहले मामले में, यह 5 है, दूसरे में - 13. फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन किया जाना है। पहली संख्या में 23/100 है, दूसरे में 108/100000 है। दूसरे मान को फिर से छोटा करने की आवश्यकता है। उत्तर निम्नलिखित मिश्रित भिन्न हैं: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव अंश को भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन विफल हो जाएगा। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश को हमेशा अंतिम या आवधिक में अनुवादित किया जाता है।

केवल एक चीज जिसे ऐसा करने की अनुमति हैएक अंश इसे गोल करना है। लेकिन तब दशमलव उस अनंत के लगभग बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन रिवर्स प्रक्रिया: दशमलव में कनवर्ट करना - प्रारंभिक मान कभी नहीं देगा। यही है, अनंत गैर-आवधिक अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह याद रखना चाहिए।

अनंत आवर्त भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा दिखाई देता हैएक या अधिक संख्याएँ जो दोहराई जाती हैं। उन्हें काल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 0.3 (3)। यहाँ अवधि में "3"। उन्हें परिमेय के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, क्योंकि उन्हें भिन्नों में बदला जा सकता है।

उन लोगों के लिए जो आवधिक भिन्नों से मिले हैं,यह ज्ञात है कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि अल्पविराम से तुरंत शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग कुछ संख्याओं से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको फॉर्म में लिखना हैएक अनंत दशमलव अंश, संकेतित दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। साधारण अंशों के साथ शुद्ध आवर्त भिन्नों को लिखना काफी आसान है। अंतिम के साथ के रूप में, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अवधि को अंश में लिखें, और भाजक संख्या 9 होगी, जितनी बार अवधि में दोहराया जाएगा।

उदाहरण के लिए, 0, (5)। संख्या में एक पूर्णांक भाग नहीं होता है, इसलिए आपको तुरंत आंशिक भाग से शुरू करने की आवश्यकता होती है। अंश में ५ और हर में एक लिखिए, अर्थात् अंश ५/९ का उत्तर होगा।

मिश्रित दशमलव आवर्त भिन्न को लिखने का नियम।

• भिन्नात्मक भाग के अंकों को आवर्त तक गिनें। वे हर में शून्य की संख्या का संकेत देंगे।

• अवधि की लंबाई देखें। इतने सारे 9 में हर होगा।

• हर लिखिए: पहले नौ, फिर शून्य।

• अंश का निर्धारण करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक, अवधि के साथ घटाए जाएंगे। घटाया - यह बिना अवधि के है।

उदाहरण के लिए, 0.5 (8) - आवर्त लिखेंसाधारण अंश के रूप में दशमलव अंश। अवधि से पहले भिन्नात्मक भाग में एक अंक होता है। तो शून्य एक होगा। आवर्त में भी एक ही संख्या होती है - 8। अर्थात् एक ही नौ होती है। यानी आपको हर में 90 लिखना है।

58 से अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 5 घटाना होगा। यह 53 निकला। उदाहरण के लिए, उत्तर को 53/90 लिखना होगा।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या बन जाता है, जिसका हर 10, 100 और इसी तरह होता है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और आंशिक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगाया जाता है।

ऐसी स्थितियां हैं जहां भाजक आसान है१०, १००, आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या ५, २०, २५। यह उन्हें क्रमशः २, ५ और ४ से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। केवल हर को गुणा करना चाहिए, लेकिन अंश भी उसी संख्या से।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम काम आता है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको उत्तर के लिए दो विकल्प मिल सकते हैं: एक अंतिम या एक आवधिक दशमलव अंश।

सामान्य भिन्नों वाली क्रियाएं Action

जोड़ना और घटाना

छात्र उन्हें दूसरों से पहले जानते हैं। इसके अलावा, पहले भिन्नों में समान भाजक होते हैं, और फिर वे भिन्न होते हैं। ऐसी योजना में सामान्य नियमों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

1. भाजक का सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए।

2. सभी सामान्य भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणनखंड लिखिए।

3. अंशों और हरों को उनके लिए परिभाषित कारकों से गुणा करें।

4. भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाना), और सामान्य हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

5. यदि घटाई गई संख्या का अंश घटाए गए से कम है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि हमारे पास मिश्रित संख्या है या नियमित अंश है।

6. पहले मामले में, आपको पूरे भाग से एक इकाई लेने की आवश्यकता है। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करें।

7. दूसरे में छोटी संख्या में से बड़ी को घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। यही है, घटाए गए मापांक से घटाए गए मापांक को घटाएं, और जवाब में "-" चिह्न लगाएं।

8. जोड़ (घटाव) के परिणाम को ध्यान से देखें। यदि आपको गलत भिन्न मिलता है, तो यह माना जाता है कि पूरे भाग का चयन करना है। यानी अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उन्हें पूरा करने के लिए भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाने की आवश्यकता नहीं है। इससे इसका पालन करना आसान हो जाता है। लेकिन उन्हें अभी भी नियमों का पालन करना होगा।

1. साधारण भिन्नों को गुणा करते समय, आपको अंशों और हरों की संख्याओं पर विचार करना होगा। यदि किसी अंश और हर में एक समान गुणनखंड है, तो उन्हें रद्द किया जा सकता है।

2. अंशों को गुणा करें।

3. हरों को गुणा करें।

4. यदि आपको रद्द करने योग्य अंश मिलता है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

5. विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणा से बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम (अंश और हर को स्वैप करना) के साथ बदलना होगा।

6. फिर गुणा के रूप में आगे बढ़ें (बिंदु 1 से शुरू)।

7. जिन कार्यों में आपको एक पूर्णांक से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाले को एक अनुचित अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए। यानी हर 1 के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ें।

दशमलव क्रिया

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप हमेशा दशमलव को बदल सकते हैंएक साधारण में। और पहले से वर्णित योजना के अनुसार कार्य करना। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उन्हें जोड़ने और घटाने के नियम बिल्कुल वही होंगे।

1. संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या को बराबर करें, यानी दशमलव बिंदु के बाद। इसमें लुप्त शून्यों की संख्या जोड़ें।

2. भिन्न लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।

3. प्राकृतिक संख्याओं के रूप में जोड़ें (घटाना)।

4. अल्पविराम निकालें।

गुणन और भाग

यह महत्वपूर्ण है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। अंशों को छोड़ दिया जाना चाहिए जैसा कि उदाहरण में दिया गया है। और फिर योजना के अनुसार जाओ।

1. गुणन के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

2. प्राकृतिक संख्याओं के रूप में गुणा करें।

3. उत्तर में एक अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाहिने छोर से उतने अंक गिनें जितने वे दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हैं।

4. विभाजित करने के लिए, आपको सबसे पहले भाजक को बदलना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाएं। यानी भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

5. लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

6. दशमलव को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

7. उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।

क्या होगा यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हैं?

हाँ, गणित में, उदाहरण प्राय: मिल जाते हैं, मेंजिसे आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर क्रिया करने की आवश्यकता है। ऐसे कार्यों में दो समाधान संभव हैं। आपको संख्याओं को निष्पक्ष रूप से तौलना और सबसे अच्छा चुनने की आवश्यकता है।

पहला तरीका: साधारण दशमलव का प्रतिनिधित्व करें

यह उपयुक्त है अगर, विभाजित या अनुवाद करते समयपरिमित अंश प्राप्त होते हैं। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव अंशों को साधारण के साथ लिखें

यह तकनीक सुविधाजनक हो जाती है यदि आंशिक रूप सेदशमलव बिंदु के बाद 1-2 अंक होते हैं। यदि उनमें से अधिक हैं, तो एक बहुत बड़ा साधारण अंश निकल सकता है और दशमलव अंकन आपको कार्य को तेज़ी से और आसानी से गिनने की अनुमति देगा। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का मूल्यांकन करने और सबसे सरल समाधान विधि चुनने की आवश्यकता है।