Einfache Iterationsmethode, auch Methode genanntDie sequentielle Approximation ist ein mathematischer Algorithmus zum Ermitteln des Werts einer unbekannten Größe durch schrittweise Verfeinerung. Das Wesentliche dieser Methode ist, dass sie, wie der Name schon sagt, die nachfolgenden Näherungswerte aus der anfänglichen Näherung immer präziser ausdrücken und immer präzisere Ergebnisse erzielen. Diese Methode wird verwendet, um den Wert einer Variablen in einer bestimmten Funktion sowie beim Lösen von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen zu ermitteln.
Überlegen Sie, wie diese Methode beim Lösen von SLAE implementiert wird. Die einfache Iterationsmethode hat den folgenden Algorithmus:
1.Überprüfung der Konvergenzbedingung in der ursprünglichen Matrix. Konvergenzsatz: Wenn die ursprüngliche Matrix des Systems eine diagonale Prävalenz aufweist (d. H. In jeder Zeile müssen die Elemente der Hauptdiagonale im absoluten Wert größer sein als die Summe der Elemente der Seitendiagonalen im absoluten Wert), ist die einfache Iterationsmethode konvergent.
2.Die Matrix des ursprünglichen Systems hat nicht immer eine diagonale Prävalenz. In solchen Fällen kann das System transformiert werden. Gleichungen, die die Konvergenzbedingung erfüllen, bleiben unberührt, und bei Unbefriedigung handelt es sich um lineare Kombinationen, d.h. multiplizieren, subtrahieren, Gleichungen addieren, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.
Wenn das resultierende System unbequeme Koeffizienten auf der Hauptdiagonale enthält, dann Terme der Form mitund*vonund, deren Vorzeichen müssen mit den Vorzeichen diagonaler Elemente übereinstimmen.
3. Konvertieren des resultierenden Systems in die normale Ansicht:
mit dem-= β-+ α * x-
Dies kann auf viele Arten geschehen, zum Beispiel wie folgt: Aus der ersten Gleichung drücken Sie x aus1 durch andere Unbekannte von der zweiten2ab dem dritten3 usw. Wir verwenden die Formeln:
αihr= - (aihr / einii)
und= bund/ aund
Es sollte erneut überprüft werden, ob das resultierende System vom normalen Typ die Konvergenzbedingung erfüllt:
∑ (j = 1) | αihr| ≤ 1, mit i = 1,2, ... n
4. Wir beginnen tatsächlich, die Methode der sukzessiven Approximation selbst anzuwenden.
mit dem(0)- anfängliche Annäherung, wir drücken durch sie x aus(1)dann durch x(1) x ausdrücken(2). Die allgemeine Formel in Matrixform sieht folgendermaßen aus:
mit dem(n)= β-+ α * x(n-1)
Wir berechnen, bis wir die erforderliche Genauigkeit erreicht haben:
max | xund(k) -xund(k + 1) ≤ ε
Schauen wir uns also die einfache Iterationsmethode in der Praxis an. Beispiel:
Löse SLAU:
4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3,1x1 + 2,3x2-1,1x3 = 1
1,8 x 1 + 2,5 x 2 + 4,7 x 3 = 4 mit einer Genauigkeit von & epsi; = 10-3
Mal sehen, ob die diagonalen Elemente modulo vorherrschen.
Wir sehen, dass nur die dritte Gleichung die Konvergenzbedingung erfüllt. Wir transformieren die erste und die zweite, fügen die zweite zur ersten Gleichung hinzu:
7,6 x 1 + 0,6 x 2 + 2,4 x 3 = 3
Subtrahieren Sie die erste von der dritten:
-2,7 x 1 + 4,2 x 2 + 1,2 x 3 = 2
Wir haben das ursprüngliche System in ein gleichwertiges System umgewandelt:
7,6 x 1 + 0,6 x 2 + 2,4 x 3 = 3
-2,7 x 1 + 4,2 x 2 + 1,2 x 3 = 2
1,8 x 1 + 2,5 x 2 + 4,7 x 3 = 4
Jetzt bringen wir das System in seine normale Form:
x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Wir überprüfen die Konvergenz des iterativen Prozesses:
0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, d.h. die Bedingung ist erfüllt.
0,3947
Anfängliche Annäherung x(0) = 0,4762
0,8511
Wenn wir diese Werte in die Normalformgleichung einsetzen, erhalten wir die folgenden Werte:
0,08835
mit dem(1)= 0,486793
0,446639
Wenn wir neue Werte einsetzen, erhalten wir:
0,215243
mit dem(2)= 0,405396
0,558336
Wir setzen die Berechnungen fort, bis wir uns den Werten nähern, die die gegebene Bedingung erfüllen.
0,18813
mit dem(7)= 0,441091
0,544319
0,188002
mit dem(8) = 0,44164
0,544428
Lassen Sie uns die Richtigkeit der erzielten Ergebnisse überprüfen:
4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2.0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977
Die Ergebnisse, die durch Einsetzen der gefundenen Werte in die ursprünglichen Gleichungen erhalten werden, erfüllen die Bedingungen der Gleichung vollständig.
Wie wir sehen können, liefert die einfache Iterationsmethode ziemlich genaue Ergebnisse. Um diese Gleichung zu lösen, mussten wir jedoch viel Zeit aufwenden und umständliche Berechnungen durchführen.
