Kognitive fakta om alting / formation / Diagonal af en ligebenet trapez. Hvad er trapezformens midterlinie. Typer af trapezider. En trapesformet er ..

Diagonalen af et lige-sidet trapezium. Hvad er den gennemsnitlige linje af trapezoiden. Typer af trapezoider. Trapezoiden er ..

En trapezform er et specielt tilfælde af en firkant, yhvilket et par sider er parallelt. Udtrykket "trapez" kommer fra det græske ord τράπεζα, der betyder "tabel", "tabel". I denne artikel vil vi se på typerne af trapezoid og dens egenskaber. Derudover finder vi ud af, hvordan man beregner de enkelte elementer i denne geometriske figur. For eksempel diagonalen af en ligebenet trapez, midterlinjen, området osv. Materialet præsenteres i stil med elementær populær geometri, det vil sige i en let tilgængelig form.

Generelle oplysninger

Lad os først finde ud af, hvad der erfirkantet. Denne form er et specielt tilfælde af en polygon med fire sider og fire hjørner. To hjørner af en firkant, der ikke er tilstødende, kaldes modsatte. Det samme kan siges om to ikke tilstødende sider. Hovedtyperne af firkanter er parallelogram, rektangel, rombe, firkant, trapez og deltoid.

Så tilbage til trapezoiderne.Som vi har sagt, har denne figur to sider parallelt. De kaldes baser. De to andre (ikke-parallelle) er siderne. I materialet til eksamen og forskellige prøver kan du ofte finde opgaver relateret til trapezium, hvis løsning ofte kræver, at den studerende har viden, der ikke er bestemt af programmet. Kurset i skolens geometri introducerer de studerende til egenskaberne ved vinkler og diagonaler såvel som midtlinjen på en ligebenet trapez. Men ud over dette har den nævnte geometriske figur andre funktioner. Men om dem lidt senere ...

Typer af trapez

Der er mange typer af denne figur. Imidlertid er det ofte almindeligt at overveje to af dem - ligebenede og rektangulære.

1. Et rektangulært trapezform er en figur, hvor den ene af de laterale sider er vinkelret på baserne. Dens to vinkler er altid lig med halvfems grader.

2. En ligebenet trapezform er en geometrisk figur, hvis sider er lig med hinanden. Dette betyder, at vinklerne ved baserne også er parvise lige.

De vigtigste principper for metoden til at studere egenskaber ved en trapez

Hovedprincippet er brugen afden såkaldte opgavemetode. Faktisk er der ikke behov for at introducere nye egenskaber for denne figur i det teoretiske forløb af geometri. De kan åbnes og formuleres i processen med at løse forskellige problemer (bedre end systemproblemer). Samtidig er det meget vigtigt, at læreren ved, hvilke opgaver der skal gives skolebørn på et eller andet tidspunkt i uddannelsesprocessen. Desuden kan hver trapezoid egenskab repræsenteres som en nøgleopgave i opgavesystemet.

Det andet princip er den såkaldtespiral organisering af undersøgelsen af trapezens "bemærkelsesværdige" egenskaber. Dette indebærer en tilbagevenden i læringsprocessen til individuelle træk ved en given geometrisk figur. Dette gør det lettere for eleverne at huske dem udenad. For eksempel ejendommen til fire punkter. Det kan bevises både ved at studere ligheden og derefter bruge vektorer. Og den samme størrelse af trekanterne, der støder op til figurens laterale sider, kan bevises ved ikke kun at anvende egenskaberne for trekanter med lige højde trukket på siderne, der ligger på en lige linje, men også ved at bruge formlen S = 1/2 (ab * sinα). Derudover kan du udarbejde sinesætningen på en indskrevet trapez eller en retvinklet trekant på en beskrevet trapez osv.

Anvendelse af funktioner "uden for programmet"en geometrisk figur i indholdet af et skolekursus er en opgaveteknologi til undervisning i dem. Konstant appel til de undersøgte egenskaber, når de videregiver andre emner, giver eleverne mulighed for at få en dybere forståelse af trapezformet og sikrer succes med at løse de tildelte opgaver. Så lad os komme ned for at studere denne vidunderlige figur.

summen af vinklerne på en ligebenet trapez

Elementer og egenskaber ved en ligebenet trapez

Som vi allerede har bemærket, denne geometrisketallene på siderne er ens. Det er også kendt som en almindelig trapez. Og hvorfor er det så bemærkelsesværdigt, og hvorfor fik det et sådant navn? Særlige egenskaber ved denne figur inkluderer det faktum, at den ikke kun har siderne og vinklerne ved baserne, men også diagonalerne. Derudover er summen af vinklerne på en ligebenet trapezform 360 grader. Men det er ikke alt! Af alle de kendte trapezoider er det kun omkring en ligeben, der kan beskrive en cirkel. Dette skyldes det faktum, at summen af de modsatte vinkler i denne figur er 180 grader, og kun under denne betingelse kan en cirkel beskrives omkring et firkant. Den næste egenskab ved den betragtede geometriske figur er, at afstanden fra toppen af basen til projektionen af det modsatte toppunkt på den lige linje, der indeholder denne base, vil være lig med midtlinjen.

Lad os nu finde ud af, hvordan man finder vinklerne på en ligebenet trapez. Overvej en løsning på dette problem, forudsat at dimensionerne på siderne af figuren er kendte.

Løsningen

Normalt er firkantet normalt betegnetbogstaverne A, B, C, D, hvor BS og HELL er baserne. I en ligebenet trapezform er siderne ens. Vi antager, at deres størrelse er lig med X, og basernes størrelse er lig med Y og Z (henholdsvis mindre og større). For at udføre beregningen er det nødvendigt at tegne højden N. fra vinklen B. Resultatet er en retvinklet trekant ABN, hvor AB er hypotenusen, og BN og AH er benene. Vi beregner størrelsen på benet AH: træk det mindre fra den større base og divider resultatet med 2. Vi skriver det i form af formlen: (ZY) / 2 = F. Nu beregnes den spidse vinkel i trekanten bruger vi cos-funktionen. Vi får følgende post: cos (β) = X / F. Nu beregner vi vinklen: β = arcos (X / F). Yderligere, ved at kende en vinkel, kan vi bestemme den anden, for dette udfører vi en elementær aritmetisk operation: 180 - β. Alle vinkler er defineret.

Der er også en anden løsning på dette problem.I starten sænker vi højden af N. fra hjørnet. Beregn værdien af benet BN. Vi ved, at firkanten af hypotenusen til en retvinklet trekant er lig med summen af kvadraterne på benene. Vi får: BN = √ (X2-F2). Dernæst bruger vi den trigonometriske funktion tg. Som et resultat har vi: β = arctan (BN / F). Der er fundet et skarpt hjørne. Dernæst definerer vi en stump vinkel på samme måde som i den første metode.

Ejendom af diagonalerne på en ligebenet trapez

Lad os først skrive ned fire regler. Hvis diagonalerne i en ligebenet trapezoid er vinkelrette, så:

- figurens højde vil være summen af baserne divideret med to;

- dens højde og midterlinie er ens;

- trapezens areal vil være lig med højdens kvadrat (midterlinje, halv summen af baserne);

- diagonalens firkant er lig med halv kvadratet af summen af baserne eller to gange kvadratet for midterlinjen (højde).

Overvej nu de formler, der bestemmer diagonalen for en ligebenet trapez. Denne informationsblok kan groft opdeles i fire dele:

1. Formel for længden af en diagonal med hensyn til dens sider.

Vi antager, at A er bundbasen, B er toppen, C er lige sider, D er diagonalen. I dette tilfælde kan længden bestemmes som følger:

D = √ (C2 + A * B).

2. Formler for diagonalens længde ved cosinus sætning.

Vi accepterer, at A er den nederste base, B er den øverste,C - lige sider, D - diagonal, α (ved den nederste base) og β (ved den øverste base) - trapezvinkler. Vi får følgende formler, som du kan beregne diagonalens længde:

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosβ);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).

3. Formler til længden af diagonalerne på en ligebenet trapez.

Vi antager, at A er bundbasen, B er toppen, D er diagonalen, M er midterlinien, H er højden, P er området med trapezformet, α og β er vinklerne mellem diagonalerne. Vi bestemmer længden ved hjælp af følgende formler:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

I dette tilfælde er ligestillingen sand: sinα = sinβ.

4. Formler for diagonalens længde med hensyn til sider og højde.

Vi antager, at A er bundbunden, B er toppen, C er siderne, D er diagonalen, H er højden, α er vinklen ved bunden.

Vi bestemmer længden ved hjælp af følgende formler:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).

Elementer og egenskaber ved en rektangulær trapez

Lad os se på, hvad der er interessant ved denne geometriske figur. Som vi sagde, har en rektangulær trapezform to rette vinkler.

Ud over den klassiske definition er der ogsåandre. For eksempel er en rektangulær trapez en trapez med den ene side vinkelret på dens baser. Eller en figur med rette vinkler på lateral side. For denne type trapezform er højden lig med den laterale side, som er vinkelret på baserne. Midterlinjen er det linjesegment, der forbinder midtpunkterne på de to sider. Egenskaben ved det nævnte element er, at det er parallelt med baserne og er lig med halvdelen af deres sum.

Lad os nu se på de grundlæggende formler,definerer denne geometriske figur. Til dette antager vi, at A og B er fundament; C (vinkelret på baserne) og D - sider af et rektangulært trapezformet, M - midterlinie, α - spids vinkel, P - område.

en.Den laterale side, vinkelret på baserne, er lig med figurens højde (C = H) og er lig med produktet af længden af den anden laterale side D og sinus af vinklen α med en større base ( C = D * sina). Derudover er det lig med produktet af tangenten i den spidse vinkel α og forskellen mellem baserne: C = (A-B) * tgα.

2. Den laterale side D (ikke vinkelret på baserne) er lig med kvotienten for forskellen mellem A og B og cosinus (α) for den spidse vinkel eller kvotienten for højden af figur H og sinus af spids vinkel: D = (AB) / cos α = C / sinα.

3. Den side, der er vinkelret på baserne, er lig med kvadratroden af forskellen mellem kvadratet D - den anden sideside - og kvadratet af forskellen mellem baserne:

C = √ (D2- (A-B) 2).

4. Side D af en rektangulær trapez er lig med kvadratroden af summen af kvadratet af side C og kvadratet af forskellen mellem baserne på den geometriske figur: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. Siden af C er lig med kvotienten for at dividere dobbeltarealet med summen af dets baser: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Arealet bestemmes af produktet M (midterlinien af en rektangulær trapez) af højden eller siden vinkelret på baserne: P = M * H = M * C.

7. Side C er lig med kvotienten for at dividere det dobbelte areal af figuren med produktet af sinus med en spids vinkel og summen af dens baser: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formler til den laterale side af en rektangulær trapez gennem dens diagonaler og vinklen mellem dem:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

hvor D1 og D2 er trapezens diagonaler; α og β er vinklerne imellem dem.

9. Formler for den laterale side gennem vinklen ved den nederste base og andre sider: D = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Da en trapez med en ret vinkel er et specielt tilfælde af en trapez, svarer resten af formlerne til at definere disse figurer til en rektangulær.

Indtegnede cirkelegenskaber

Hvis tilstanden siger, at en cirkel er indskrevet i en rektangulær trapezform, kan følgende egenskaber bruges:

- summen af baserne er lig med summen af siderne;

- afstandene fra toppen af den rektangulære form til tangenterne for den indskrevne cirkel er altid ens;

- trapezens højde er lig med den laterale side, vinkelret på baserne og lig med cirkelens diameter;

- centrum af cirklen er det punkt, hvor hjørnerne i hjørnerne krydser hinanden;

- hvis den laterale side divideres med kontaktpunktet i segmenterne H og M, er cirkelens radius lig med kvadratroden af produktet af disse segmenter;

- en firkant dannet af kontaktpunkterne, trapezens toppunkt og midten af den indskrevne cirkel - dette er en firkant, hvis side er lig med radiusen;

- figurens areal er lig med basenes produkt og produktet af halvsummen af baserne til dens højde.

Lignende trapez

Dette emne er meget praktisk til at studere ejendomme.denne geometriske form. For eksempel deler diagonalerne trapezformen i fire trekanter, og dem, der støder op til baserne, er ens, og siderne er ens. Denne erklæring kan kaldes en egenskab af trekanter, hvori en trapez er delt med sine diagonaler. Den første del af denne erklæring er bevist gennem tegn på lighed i to vinkler. For at bevise anden del er det bedre at bruge nedenstående metode.

Bevis for sætningen

Vi accepterer, at tallet på ABSD (BP og BS er det grundlæggendetrapezium) divideres med VD- og AC-diagonaler. Punktet for deres skæringspunkt er O. Vi får fire trekanter: AOS - ved den nederste base, BOS - ved den øvre base, ABO og SOD ved de laterale sider. Trekanter SOD og BFB har en fælles højde, hvis segmenterne BO og OD er deres baser. Vi får, at forskellen mellem deres områder (P) er lig forskellen mellem disse segmenter: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Derfor PSOD = PBOS / K. Ligeledes har trekanter BFB og AOB en fælles højde. Vi tager segmenterne SB og OA for deres baser. Vi får PBOS / PAOB = SO / OA = K og PAOB = PBOS / K. Det følger heraf, at PSOD = PAOB.

For at konsolidere materialet anbefales studerendefind forholdet mellem områderne i de resulterende trekanter, hvori trapezformet er delt med sine diagonaler, og løser følgende problem. Det er kendt, at områderne med biofeedback og AOD-trekanter er ens; det er nødvendigt at finde området til trapezformet. Da PSOD = PAOB betyder det, at PABSD = PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Af ligheden mellem trekanterne BFB og AOD følger det, at BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Derfor PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Vi får PSOD = √ (PBOS * PAOD). Derefter PABSD = PBOS + PAOD + 2 * √ (PBOS * PAOD) = (√ PSOS + √ PAOD) 2.

Lighed egenskaber

Fortsat med at udvikle dette emne, kan man bevise ogandre interessante træk ved trapezoider. Så ved hjælp af lighed kan man bevise egenskaben for et segment, der passerer gennem et punkt dannet af skæringspunktet mellem diagonalerne i denne geometriske figur parallelt med baserne. For at gøre dette løser vi følgende problem: det er nødvendigt at finde længden af segmentet RK, der passerer gennem punktet O. Fra ligheden mellem trekanterne AOD og BFB følger det, at AO / OS = AD / BS. Af ligheden mellem trekanterne AOR og ASB følger det, at AO / AC = RO / BS = HELL / (BS + HELL). Herfra får vi det RO = BS * HELL / (BS + HELL). Tilsvarende følger det af ligheden mellem trekanterne DOK og DBS, at OK = BS * HELL / (BS + HELL). Herfra får vi, at RO = OK og RK = 2 * BS * HELL / (BS + HELL). Segmentet, der passerer gennem skæringspunktet mellem diagonalerne, parallelt med baserne og forbinder de to sider, halveres med skæringspunktet. Dens længde er det harmoniske gennemsnit af figurens bund.

Overvej følgende trapezformede kvalitet, somkaldes firepunktsegenskaben. Skæringspunkterne på diagonalerne (O), skæringspunktet mellem forlængelsen af de laterale sider (E) såvel som midtpunkterne på baserne (T og G) ligger altid på samme linje. Dette bevises let ved hjælp af ligheden. De resulterende trekanter BES og AED er ens, og i hver af dem deler medianerne ET og EZ vinklen ved toppunktet E i lige store dele. Derfor ligger punkterne E, T og on på en lige linje. På samme måde er punkterne T, O og Zh placeret på den samme lige linje, alt dette følger af ligheden mellem trekanterne BFB og AOD. Ud fra dette konkluderer vi, at alle fire punkter - E, T, O og F - vil ligge på en lige linje.

Brug af sådanne trapezoider kan man foreslåfor studerende at finde længden på det segment (LF), der opdeler figuren i to ens. Dette segment skal være parallelt med baserne. Da de opnåede trapezium ALPD og LBSF er ens, så er BS / LF = LF / BP. Det følger heraf, at LF = √ (BS * HELL). Vi får, at segmentet, der deler trapezoidet i to ens, har en længde svarende til det geometriske gennemsnit af længderne på figurens basis.

Overvej følgende lighedsejendom.Det er baseret på et segment, der deler trapezformen i to lige store figurer. Vi antager, at ABSD trapezoid er delt af segmentet ЕН i to ens. Højden falder fra toppen B, som er delt af segmentet EH i to dele - B1 og B2. Vi får: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (HELL + EH) * B2 / 2 og PABSD = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Dernæst komponerer vi et system, hvis første ligning er (BS + EH) * B1 = (AD + EH) * B2 og den anden (BS + EH) * B1 = (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Det følger heraf, at B2 / B1 = (BS + EH) / (AD + EH) og BS + EH = ((BS + HELL) / 2) * (1 + B2 / B1). Vi får, at længden af segmentet, der deler trapezoidet i to lige store størrelser, er lig med rodets middelkvadrat af basernes længder: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Lignelsesresultater

Således har vi bevist, at:

1. Segmentet, der forbinder midtpunkterne på laterale sider ved trapezoidet, er parallelt med BP og BS og er lig med det aritmetiske gennemsnit af BS og BP (længden af bunden af trapezoidet).

2. Linjen, der passerer gennem punktet O i skæringspunktet mellem diagonalerne parallelt med HELL og BS vil være lig med det harmoniske gennemsnit af antallet af HELL og BS (2 * BS * HELL / (BS + HELL)).

3. Det segment, der deler trapezformet i lignende, har længden af det geometriske gennemsnit af baserne for BS og BP.

4. Elementet, der opdeler figuren i to lige store størrelser, har længden af det gennemsnitlige kvadrattal for BP og BS.

At konsolidere materialet og forstå sammenhængen mellemde studerede segmenter skal den studerende bygge dem til en bestemt trapezform. Han kan let vise midterlinjen og det segment, der passerer gennem punktet O - skæringspunktet mellem figurens diagonaler - parallelt med baserne. Men hvor vil den tredje og fjerde være placeret? Dette svar får den studerende til at opdage det ønskede forhold mellem gennemsnit.

Det segment, der forbinder midtpunkterne i de trapezformede diagonaler

Overvej følgende egenskab ved denne figur.Vi antager, at segmentet MH er parallelt med baserne og deler diagonalerne i halvdelen. Skæringspunkterne kaldes Ш og Ш. Dette segment vil være lig med halvforskellen mellem baserne. Lad os se nærmere på dette. MSh - midtlinjen i ABS-trekanten, den er lig med BS / 2. MCh er midtlinjen i ABD-trekanten, den er lig med BP / 2. Så får vi SHSH = MSH-MSH, derfor SHSH = HELL / 2-BS / 2 = (HELL + VS) / 2.

Tyngdepunkt

Lad os se, hvordan det bestemmesdette element til den givne geometriske form. For at gøre dette er det nødvendigt at udvide baserne i modsatte retninger. Hvad betyder det? Det er nødvendigt at tilføje den nederste til den øverste base - til hver side, for eksempel til højre. Og udvid den nederste med længden af den øverste til venstre. Dernæst forbinder vi dem med en diagonal. Skæringspunktet for dette segment med figurens midterlinje er trapezens tyngdepunkt.

Indskrevne og beskrevne trapezoider

Lad os liste over funktionerne i sådanne former:

1. En trapez kan kun indskrives i en cirkel, hvis den er ligebenet.

2. En trapezoid kan beskrives omkring en cirkel, forudsat at summen af længderne på deres baser er lig med summen af længderne på laterale sider.

Følger af indskrevne cirkler:

1. Højden på den beskrevne trapez er altid lig med to radier.

2. Den beskrevne trapezs laterale side observeres fra midten af cirklen i en ret vinkel.

Den første følge er indlysende, men for bevisetdet andet er det nødvendigt at fastslå, at SOD-vinklen er rigtig, hvilket faktisk heller ikke vil være vanskelig. Men kendskab til denne egenskab giver dig mulighed for at bruge en retvinklet trekant, når du løser problemer.

Lad os nu konkretisere disse konsekvenser foren ligebenet trapezform, der er indskrevet i en cirkel. Vi får, at højden er det geometriske gennemsnit af figurens basis: H = 2R = √ (BS * HELL). Mens den praktiske grundlæggende teknik til løsning af problemer med trapezoider (princippet om at holde to højder) skal den studerende løse følgende opgave. Vi antager, at BT er højden af den ligebenede figur af ABSD. Det er nødvendigt at finde segmenterne AT og TD. Ved hjælp af formlen beskrevet ovenfor vil det ikke være svært at gøre dette.

Lad os nu finde ud af, hvordan man bestemmer radiuscirkel ved hjælp af området af den omskrevne trapez. Vi sænker højden fra toppen B til bunden af HELL. Da cirklen er indskrevet i trapezformet, så er BS + HELL = 2AB eller AB = (BS + HELL) / 2. Fra trekanten ABN finder vi sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + HELL). PABSD = (BS + HELVEDE) * BN / 2, BN = 2R. Vi får PABSD = (BS + HELL) * R, det følger heraf, at R = PABSD / (BS + HELL).