Zatímco ještě byli ve škole, všichni studenti se s tímto konceptem seznámili„Euklidovská geometrie“, jejíž hlavní ustanovení jsou soustředěna kolem několika axiomů založených na takových geometrických prvcích, jako je bod, rovina, přímka, pohyb. Všechny dohromady tvoří to, co je již dlouho známé pod pojmem „euklidovský prostor“.
Euklidovský prostor, jehož definice jeje založen na poloze na skalárním násobení vektorů, je zvláštním případem lineárního (afinního) prostoru, který splňuje řadu požadavků. Za prvé, skalární součin vektorů je absolutně symetrický, to znamená, že vektor se souřadnicemi (x; y) je kvantitativně shodný s vektorem se souřadnicemi (y; x), ale opačným směrem.
Zadruhé, v případě, žetečkový produkt vektoru sám se sebou, pak bude výsledek této akce pozitivní. Jedinou výjimkou bude případ, kdy jsou počáteční a konečné souřadnice tohoto vektoru rovny nule: v tomto případě bude jeho součin se sebou roven nule.
Za třetí, existuje distribuceskalární součin, tj. možnost rozložit jednu ze svých souřadnic na součet dvou hodnot, což nebude mít za následek žádné změny v konečném výsledku skalárního násobení vektorů. A konečně, za čtvrté, když se vektory vynásobí stejným reálným číslem, jejich bodový součin se také zvýší o stejnou částku.
V případě, že budou splněny všechny tyto čtyři podmínky, můžeme s jistotou říci, že máme euklidovský prostor.
Z praktického hlediska lze euklidovský prostor charakterizovat následujícími konkrétními příklady:
- Nejjednodušším případem je přítomnost sady vektorů se skalárním součinem definovaným základními zákony geometrie.
- Euklidovský prostor bude získán, i kdyžpokud pod vektory rozumíme určitou konečnou množinu reálných čísel s daným vzorcem popisujícím jejich skalární součet nebo součin.
- Zvláštní případ euklidovského prostoru by měl být rozpoznán jako takzvaný nulový prostor, který se získá, pokud je skalární délka obou vektorů rovna nule.
Euklidovský prostor má řaduspecifické vlastnosti. Nejprve lze skalární součinitel vyjmout z hranatých závorek jak z prvního, tak z druhého součinitele tečkového součinu, výsledek neprojde žádnými změnami. Zadruhé, spolu s distributivitou prvního prvku skalárního součinu působí také distribučnost druhého prvku. Kromě skalárního součtu vektorů navíc dochází k distribuci také v případě odčítání vektorů. Nakonec za třetí, se skalárním násobením vektoru nulou, bude výsledek také nulový.
Euklidovský prostor tedy jenejdůležitější geometrický koncept používaný při řešení problémů se vzájemným uspořádáním vektorů vůči sobě navzájem, pro jejichž charakterizaci se používá takový koncept jako bodový součin.
