Серията Maclaurin и разграждането на определени функции

Изучающим высшую математику должно быть известно, че сумата от определен мощен ред, принадлежащ към интервала на конвергенция на дадена серия, е непрекъсната и неограничен брой пъти диференцирана функция. Възниква въпросът: възможно ли е да се каже, че дадена произволна функция f (x) е сумата от определен мощен ред? Тоест, при какви условия функцията f (x) може да бъде представена от силов ред? Важността на този въпрос е, че е възможно приблизително да се замени f-ju f (x) със сбора от първите няколко члена на силовата серия, тоест с полином. Подобна подмяна на функция с доста прост израз - полином - е удобна и за решаване на някои задачи от математическия анализ, а именно при решаване на интеграли, при изчисляване на диференциални уравнения и т.н.

Доказано е, че за някои f-ii f (x), в които е възможно да се изчислят производни до (n + 1) -ти ред, включително и последния, в квартал на (α - R; х₀ + R) на точка x = α, важи следната формула:

Тази формула е кръстена на известния учен Брук Тейлър. Поредицата, която е получена от предишната, се нарича серия Maclaurin:

Правилото, което позволява разграждането в серия на Maclaurin:

1. Определете производни на първата, втората, третата ... поръчки.
2. Изчислете на кое са производни при x = 0.
3. Напишете серията Maclaurin за тази функция и след това определете интервала на нейната конвергенция.
4. Определете интервала (-R; R) където е останалата част от формулата на Maclaurin

P_п(x) -> 0 като n -> безкрайност. Ако съществува, функцията f (x) в нея трябва да съвпада с сумата от серията на Maclaurin.

Сега разглеждаме серията Maclaurin за отделни функции.

1. И така, първото ще бъде f (x) = e^х... Разбира се, по своите особености, такава функция има производни от много различни порядъци и f^(к)(x) = e^с, където k е равно на всички естествени числа. Заместете x = 0. Получаваме f^(к)(0) = д⁰= 1, k = 1,2 ... Въз основа на горното, серията e^х ще изглежда така:

2. Поредици на Маклаурин за функцията f (x) = sin x. Нека изясним веднага, че функцията за всички неизвестни ще има производни; освен това, f^"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f^""(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f^(к)(x) = sin (x + k * n / 2), където k е равно на всяко естествено число. Тоест, след като направим прости изчисления, можем да стигнем до заключението, че поредицата за f (x) = sin x ще бъде в този вид:

3. Сега нека се опитаме да разгледаме f-yu f (x) = cos x. За всички неизвестни има производни от произволен ред и | f^(к)(x) | = | cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1.2 ... Отново, след извършване на определени изчисления, получаваме, че поредицата за f (x) = cos x ще изглежда така:

И така, ние изброихме най-важните функции, коитомогат да бъдат разширени в серия Maclaurin, но те са допълнени от серия Taylor за някои функции. Сега ще ги изброим и тях. Също така си струва да се отбележи, че поредицата Тейлър и Маклаурин са важна част от семинара за решаване на поредици във висшата математика. И така, Тейлър се нарежда.

1. Първата ще бъде поредицата за f-ii f (x) = ln (1 + x).Както в предишните примери, за даден f (x) = ln (1 + x), можем да добавим поредицата, използвайки общата форма на поредицата на Maclaurin. серията Maclaurin обаче може да бъде получена много по-просто за тази функция. След като интегрираме определена геометрична серия, получаваме серия за f (x) = ln (1 + x) на такава извадка:

2. И второто, което ще бъде окончателно в нашата статия, ще бъде поредицата за f (x) = arctan x. За x, принадлежащ към интервала [-1; 1], разлагането е валидно:

Това е всичко. Тази статия разглежда най-използваните серии на Тейлър и Маклаурин във висшата математика, по-специално в икономическите и техническите университети.