В училище всички ученици се запознават с концепцията"Евклидова геометрия", основните положения на която са фокусирани около няколко аксиоми, базирани на такива геометрични елементи като точка, равнина, права линия и движения. Всички те заедно образуват това, което отдавна е известно с термина "евклидово пространство".
Евклидово пространство, чието определениевъз основа на позицията на скаларното умножение на вектори, е специален случай на линейно (афинно) пространство, което удовлетворява различни изисквания. Първо, скаларното произведение на векторите е абсолютно симетрично, т.е. вектор с координати (x; y) е количествено идентичен на вектор с координати (y; x), но обратен в посока.
На второ място, в случай че аточков продукт на вектор със себе си, тогава резултатът от това действие ще бъде положителен. Единственото изключение ще бъде случаят, когато началната и крайната координати на този вектор са равни на нула: в този случай неговото произведение със себе си също ще бъде равно на нула.
Трето, има дистрибутивностскаларен продукт, тоест възможността за разлагане на една от неговите координати в сбор от две стойности, което няма да доведе до промени в крайния резултат от скаларно умножение на вектори. И накрая, четвърто, когато векторите се умножат по едно и също реално число, точковото им произведение също ще се увеличи със същото количество.
В случай, че всички тези четири условия са изпълнени, можем да кажем с увереност, че разполагаме с евклидово пространство.
От практическа гледна точка евклидовото пространство може да се характеризира със следните конкретни примери:
- Най-простият случай е наличието на набор от вектори със скаларно произведение, дефинирано съгласно основните закони на геометрията.
- Евклидово пространство ще бъде получено дори акоако под вектори разбираме определен краен набор от реални числа с дадена формула, описваща тяхната скаларна сума или произведение.
- Специален случай на Евклидово пространство трябва да се разпознае като така нареченото нулево пространство, което се получава, ако скаларната дължина на двата вектора е равна на нула.
Евклидовото пространство има редицаспецифични свойства. Първо, скаларният фактор може да бъде изваден от скобите както от първия, така и от втория фактор на скаларния продукт, резултатът няма да претърпи никакви промени. На второ място, заедно с разпределителността на първия елемент от точковото произведение, действа и разпределителността на втория елемент. В допълнение, освен скаларната сума от вектори, разпределимостта се извършва и в случай на изваждане на вектори. И накрая, трето, при скалярно умножение на вектор по нула, резултатът също ще бъде нула.
По този начин Евклидовото пространство енай-важната геометрична концепция, използвана при решаване на задачи с взаимното разположение на векторите един спрямо друг, за характеризирането на които се използва такова понятие като точковото произведение.
