Як вирішувати неповне квадратне рівняння? Відомо, що воно є приватним варіантом рівності ах2+ Вх + с = о, де а, в і с - речовікоефіцієнти при невідомому х, і де а ≠ о, а в і з будуть нулями - одночасно або порізно. Наприклад, з = о, в ≠ про або навпаки. Ми майже згадали визначення квадратного рівняння.
уточнимо
Трехчлен другого ступеня дорівнює нулю. Перший його коефіцієнт а ≠ о, в і з можуть приймати будь-які значення. Значення змінної х тоді буде коренем рівняння, коли при підстановці зверне його в правильне числове рівність. Зупинимося на речових коренях, хоча рішеннями рівняння можуть бути і комплексні числа. Повним прийнято називати рівняння, в якому жоден з коефіцієнтів НЕ дорівнює о, а ≠ о, в ≠ о, з ≠ о.
Вирішимо приклад. 2х2-9х-5 = о, знаходимо
D = 81 + 40 = 121,
D позитивний, значить коріння є, х1 = (9 + √121): 4 = 5, а другий х2 = (9-√121): 4 = -о, 5. Перевірка допоможе переконатися, що вони вірні.
Ось поетапне вирішення квадратного рівняння
Через дискриминант можна вирішити будь-яке рівняння, в лівій частині якого відомий квадратний тричлен при а ≠ о. У нашому прикладі. 2х2-9х-5 = 0 (ах2+ Вх + с = о)
- Знаходимо спочатку дискриминант D за відомою формулою в2-4ас.
- Перевіряємо, яким буде значення D: у нас більше нуля, буває рівним нулю або менше.
- Знаємо, що якщо D> о, квадратне рівняння має всього 2 різних дійсних корені, їх позначають х1 зазвичай і х2,
ось як вирахували:
х1 = (-Н + √D) :( 2а), а другий: х2 = (-Н-√D) :( 2а). - D = o - один корінь, або, кажуть, два рівних:
х1 одно х2 і так само -в: (2а). - І нарешті, D <o означає, що рівняння не має ніяких речових коренів.
Розглянемо, які бувають неповні рівняння другого ступеня
- ах2+ Вх = o. Вільний член, коефіцієнт с при х0, Тут дорівнює нулю, в ≠ o.
Як вирішувати неповне квадратне рівняння такого виду? Виносимо х за дужки. Згадуємо, коли твір двох множників дорівнює нулю.
x (ax + b) = o, це може бути, коли х = про або коли ax + b = o.
Вирішивши 2-е лінійне рівняння, маємо x = -в / а.
В результаті маємо коріння х1 = 0, за обчисленнями з2 = -B / a. - Тепер коефіцієнт при х дорівнює о, а з не дорівнює (≠) о.
з2+ З = о. Перенесемо з в праву частину рівності, отримаємо x2 = -С. Це рівняння тільки тоді має речові коріння, коли -з позитивне число (з <о),
х1 тоді дорівнює √ (-с), відповідно х2 - -√ (-з). В іншому випадку рівняння зовсім не має коренів. - Останній варіант: b = c = o, тобто ах2 = О. Природно, таке простеньке рівняння має один корінь, x = о.
окремі випадки
Як вирішувати неповне квадратне рівняння розглянули, а тепер візьмемо будь-які види.
- У повному квадратному рівнянні другий коефіцієнт при х - парне число.
Нехай k = o, 5b. Маємо формули для обчислення дискримінанту і коренів.
D / 4 = k2- ас, коріння обчислюються так х1,2 = (-K ± √ (D / 4)) / а при D> o.
x = -k / a при D = o.
Ні коренів при D <o. - Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х в квадраті дорівнює 1, їх прийнято записувати x2 + Рх + q = o. На них поширюються всі вищенаведені формули, обчислення же дещо простіше.
Приклад, х2-4х-9 = 0. Обчислюємо D: 22+9, D = 13.
х1 = 2 + √13, х2 = 2-√13. - Крім того, до наведених легко застосовуєтьсятеорема Вієта. У ній говориться, що сума коренів рівняння дорівнює -p, другого коефіцієнту з мінусом (мається на увазі протилежний знак), а твір цих же коренів дорівнюватиме q, вільному члену. Перевірте, як легко можна було б усно визначити коріння цього рівняння. Для неприведення (при всіх коефіцієнтах, що не рівних нулю) ця теорема застосовна так: сума x1+ x2 дорівнює -в / а, твір х1· х2 одно з / a.
Сума вільного члена с і першого коефіцієнта адорівнює коефіцієнту b. У цій ситуації рівняння має не менше ніж один корінь (легко доводиться), перший обов'язково дорівнює -1, а другий -з / а, якщо він існує. Як вирішувати неповне квадратне рівняння, можна перевірити самостійно. Простіше простого. Коефіцієнти можуть перебувати в деяких співвідношеннях між собою
- з2+ X = o, 7х2-7 = o.
- Сума всіх коефіцієнтів дорівнює о.
Коріння у такого рівняння - 1 і с / а. Приклад, 2х2-15х + 13 = o.
з1 = 1, х2 = 13/2.
Існує ряд інших способів вирішення різнихРівняння другого ступеня. Ось, наприклад, метод виділення з даного полінома повного квадрата. Графічних способів кілька. Коли часто маєш справу з такими прикладами, навчишся «клацати» їх, як насіння, адже всі способи приходять на розум автоматично.
