สมการ - มันคืออะไร? ความหมายของคำตัวอย่าง

ในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เด็กได้ยินคำว่า "สมการ" เป็นครั้งแรก มันคืออะไรลองคิดกันดู ในบทความนี้เราจะพิจารณาประเภทและแนวทางแก้ไข

คณิตศาสตร์. สมการ

เริ่มต้นด้วยเราขอเสนอให้จัดการเองแนวคิดของมันคืออะไร? ดังที่ตำราคณิตศาสตร์หลายเล่มกล่าวว่า สมการคือนิพจน์ ซึ่งมีเครื่องหมายเท่ากับเสมอ นิพจน์เหล่านี้ประกอบด้วยตัวอักษรซึ่งเรียกว่าตัวแปรซึ่งต้องค้นหาค่า

ตัวแปรคืออะไร? นี่คือคุณลักษณะของระบบที่เปลี่ยนความหมาย ตัวอย่างที่ดีของตัวแปรคือ:

• อุณหภูมิของอากาศ
• ความสูงของเด็ก
• น้ำหนักและอื่น ๆ

ในวิชาคณิตศาสตร์ จะแสดงด้วยตัวอักษร เช่นx, a, b, c ... โดยปกติการบ้านทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้: หาค่าของสมการ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องค้นหาค่าของตัวแปรเหล่านี้

สายพันธุ์

สมการ (มันคืออะไรเราพูดถึงในย่อหน้าก่อนหน้า) สามารถอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

• เชิงเส้น
• ตาราง;
• ลูกบาศก์;
• พีชคณิต;
• ยอดเยี่ยม

เพื่อความคุ้นเคยกับทุกประเภทโดยละเอียดเราจะพิจารณาแยกกัน

สมการเชิงเส้น

นี่เป็นสายพันธุ์แรกที่เด็กนักเรียนรู้จักพวกเขาจะแก้ไขได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย แล้วสมการเชิงเส้นมันคืออะไร? นี่คือนิพจน์ของรูปแบบ: ah = c สิ่งนี้ไม่ชัดเจนนัก ดังนั้นเราจะยกตัวอย่างบางส่วน: 2x = 26; 5x = 40; 1.2x = 6

มาดูตัวอย่างสมการกันสำหรับสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องรวบรวมข้อมูลที่รู้จักทั้งหมดในด้านหนึ่ง และอีกด้านที่ไม่รู้จัก: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1.2. ที่นี่ใช้กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์: a * c = e จากนี้ c = e / a; a = อี / ค. ในการแก้สมการให้สมบูรณ์ เราใช้การกระทำหนึ่งอย่าง (ในกรณีของเราคือ การหาร) x = 13; x = 8; x = 5 เหล่านี้คือตัวอย่างของการคูณ ทีนี้มาดูการลบและการบวกกัน: x + 3 = 9; 10x-5 = 15. เราถ่ายโอนข้อมูลที่ทราบในทิศทางเดียว: x = 9-3; x = 20/10. เราดำเนินการครั้งสุดท้าย: x = 6; x = 2

ตัวแปรของสมการเชิงเส้นก็เป็นไปได้เช่นกันโดยที่ใช้ตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว: 2x-2y = 4 เพื่อที่จะแก้ จำเป็นต้องเพิ่ม 2y ให้กับแต่ละส่วน เราได้ 2x-2y + 2y = 4-2y ตามที่เราสังเกตเห็น ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ -2y และ + 2y จะถูกยกเลิกในขณะที่เรายัง มี: 2x = 4 -2y ขั้นตอนสุดท้ายคือการหารแต่ละส่วนด้วยสอง เราได้คำตอบ: x เท่ากับสองลบเกม

พบปัญหาสมการแม้ในปาปิริ อาห์เมส นี่คือหนึ่งในปัญหา: ตัวเลขและส่วนที่สี่รวมกันเป็น 15 เพื่อแก้ปัญหานี้ เราเขียนสมการต่อไปนี้: x บวกหนึ่งในสี่ x เท่ากับสิบห้า เราเห็นอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการเชิงเส้น จากผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา เราจะได้คำตอบ: x = 12 แต่ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่งคือชาวอียิปต์หรือที่เรียกว่าวิธีการสมมติในอีกทางหนึ่ง ในต้นกกใช้วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้: ใช้สี่และส่วนที่สี่นั่นคือหนึ่ง โดยรวมแล้วพวกเขาให้ห้าตอนนี้สิบห้าต้องหารด้วยผลรวมเราได้สามด้วยการกระทำสุดท้ายเราคูณสามด้วยสี่ เราได้รับคำตอบ: 12. ทำไมเราจึงหาร 15 ด้วย 5 ในคำตอบ? ดังนั้นเราจึงหาจำนวนครั้งที่สิบห้า นั่นคือ ผลลัพธ์ที่เราต้องได้รับน้อยกว่าห้า ด้วยวิธีนี้ปัญหาได้รับการแก้ไขในยุคกลางจึงเริ่มถูกเรียกว่าวิธีการวางตำแหน่งเท็จ

สมการกำลังสอง

นอกจากตัวอย่างที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้แล้ว ยังมีตัวอย่างอื่นๆ อันไหน? สมการกำลังสองมันคืออะไร? อยู่ในรูป ax²+ bx + c = 0 ในการแก้ปัญหาเหล่านี้ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับแนวคิดและกฎเกณฑ์บางประการ

ขั้นแรก คุณต้องหา discriminant โดยสูตร: b²-4ac. มีสามตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ของการตัดสินใจ:

• การเลือกปฏิบัติมีค่ามากกว่าศูนย์
• น้อยกว่าศูนย์
• เป็นศูนย์

ในตัวเลือกแรก เราสามารถหาคำตอบได้จากรากที่สอง ซึ่งพบได้จากสูตร: -b + -รากจากตัวจำแนกจำแนกหารด้วยสัมประสิทธิ์แรกสองเท่า นั่นคือ 2a

ในกรณีที่สอง สมการไม่มีราก ในกรณีที่สาม พบรูทโดยสูตร: -b / 2a

พิจารณาตัวอย่างของสมการกำลังสองสำหรับ moreความคุ้นเคยโดยละเอียด: สาม x กำลังสอง ลบสิบสี่ x ลบห้า เท่ากับศูนย์ ในการเริ่มต้น ดังที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้ เรากำลังมองหา discriminant ในกรณีของเรา เท่ากับ 256 โปรดทราบว่าจำนวนผลลัพธ์มากกว่าศูนย์ ดังนั้น เราควรได้คำตอบที่ประกอบด้วยสองราก แทนที่การเลือกปฏิบัติที่เป็นผลลัพธ์ลงในสูตรเพื่อค้นหาราก ผลลัพธ์ที่ได้คือ x เท่ากับ 5 และลบหนึ่งในสาม

กรณีพิเศษในสมการกำลังสอง

นี่คือตัวอย่างที่ค่าบางค่าเป็นศูนย์ (a, b หรือ c) และอาจมีหลายค่า

ตัวอย่างเช่น ใช้สมการต่อไปนี้ ซึ่งคือกำลังสอง: สอง x กำลังสองเท่ากับศูนย์ ตรงนี้เราจะเห็นว่า b และ c เป็นศูนย์ ลองแก้สมการกัน สำหรับสิ่งนี้ เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วยสอง เราได้: x²= 0. เป็นผลให้เราได้รับ x = 0

อีกกรณี 16x²-9 = 0. ที่นี่เท่านั้น b = 0 แก้สมการย้ายสัมประสิทธิ์อิสระไปทางด้านขวา: 16x²= 9 ตอนนี้เราหารแต่ละส่วนด้วยสิบหก: x²= เก้าสิบหก เนื่องจากเรามี x กำลังสอง รากของ 9/16 สามารถเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ เราเขียนคำตอบดังนี้ x เท่ากับบวก / ลบสามในสี่

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ว่าคำตอบคือสมการไม่มีรากเลย ลองดูตัวอย่างนี้: 5x²+ 80 = 0 โดยที่ b = 0 ในการแก้คำว่าง ให้โยนมันไปทางขวา หลังจากการกระทำเหล่านี้ เราจะได้รับ: 5x²= -80 ตอนนี้เราหารแต่ละส่วนด้วยห้า: x²= ลบสิบหก หากเรายกกำลังสองจำนวนใด ๆ เราจะไม่ได้ค่าลบ ดังนั้น คำตอบของเราจึงเป็นดังนี้: สมการไม่มีราก

การสลายตัวแบบไตรโนเมียล

งานกำลังสองสามารถฟังดูในอีกทางหนึ่ง: แยกตัวประกอบไตรโนเมียลกำลังสอง สามารถทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้: a (x-x₁) (x-x₂). สำหรับสิ่งนี้ เช่นเดียวกับงานอื่น ๆ จำเป็นต้องค้นหาการเลือกปฏิบัติ

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: 3x²-14x-5, แยกตัวประกอบไตรโนเมียลเราพบ discriminant โดยใช้สูตรที่เราทราบแล้ว ปรากฎว่ามีค่าเท่ากับ 256 เราสังเกตทันทีว่า 256 มากกว่าศูนย์ ดังนั้นสมการจะมีรากที่สอง เราพบมันเหมือนในย่อหน้าก่อนหน้า เรามี: x = ห้าและลบหนึ่งในสาม ลองใช้สูตรในการแยกตัวประกอบไตรนามเป็นตัวประกอบ: 3 (x-5) (x + 1/3) ในวงเล็บที่สอง เราได้เครื่องหมายเท่ากับ เพราะสูตรมีเครื่องหมายลบ และรากก็เป็นค่าลบด้วย โดยใช้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ โดยรวมแล้ว เรามีเครื่องหมายบวก เพื่อความง่าย เราคูณพจน์ที่หนึ่งและสามของสมการเพื่อกำจัดเศษส่วน: (x-5) (x + 1)

สมการลดกำลังสอง

ณ จุดนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เริ่มจากตัวอย่างทันที:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0 เราสามารถเห็นองค์ประกอบที่ทำซ้ำได้: (x² - 2x) สำหรับวิธีแก้ปัญหานั้นสะดวกสำหรับเราที่จะแทนที่ด้วยตัวแปรอื่นแล้วแก้สมการกำลังสองปกติ เราจะทราบทันทีว่าในงานดังกล่าว เราจะได้ราก 4 ราก ซึ่งไม่ควรทำให้คุณตกใจ เราแสดงถึงการทำซ้ำของตัวแปร a เราได้รับ: a²-2a-3 = 0ขั้นตอนต่อไปของเราคือการหา discriminant ของสมการใหม่ เราได้ 16 เราพบรากที่สอง: ลบหนึ่งและสาม เราจำได้ว่าเราทำการแทนที่ แทนที่ค่าเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงได้สมการ: x² - 2x = -1; x² - 2x = 3เราแก้มันในคำตอบแรก: x เท่ากับหนึ่ง, ในวินาที: x เท่ากับลบหนึ่งและสาม เราเขียนคำตอบดังนี้: บวก / ลบหนึ่งและสาม ตามกฎแล้วคำตอบจะถูกเขียนในลำดับจากน้อยไปมาก

สมการลูกบาศก์

ลองพิจารณาอีกทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้ มันเกี่ยวกับสมการลูกบาศก์ พวกเขาดูเหมือน: ax ³ + ข x ² + cx + d = 0 เราจะพิจารณาตัวอย่างของสมการเพิ่มเติม และก่อนอื่น ทฤษฎีเล็กน้อย พวกมันสามารถมีรากได้สามราก และยังมีสูตรสำหรับหาตัวจำแนกสำหรับสมการกำลังสาม

พิจารณาตัวอย่าง: 3x³+ 4x²+ 2x = 0 วิธีแก้ปัญหา? ในการดำเนินการนี้ เราเพียงวาง x ไว้นอกวงเล็บ: x (3x²+ 4x + 2) = 0 สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณรากของสมการในวงเล็บ การเลือกปฏิบัติของสมการกำลังสองในวงเล็บมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ตามนี้ นิพจน์มีราก: x = 0

พีชคณิต. สมการ

มาดูวิวต่อไปกัน ตอนนี้เราจะมาดูสมการพีชคณิตอย่างรวดเร็ว งานหนึ่งมีดังนี้: โดยวิธีการจัดกลุ่ม แยกตัวประกอบ 3x⁴+ 2x³+ 8x²+ 2x + 5. วิธีที่สะดวกที่สุดคือการจัดกลุ่มต่อไปนี้: (3x⁴+ 3x²) + (2x³+ 2x) + (5x²+5). โปรดทราบว่า8x² จากนิพจน์แรกที่เรานำเสนอเป็นผลรวมของ 3x² และ 5x²... ตอนนี้เรานำปัจจัยร่วม 3x . ออกจากวงเล็บแต่ละอัน²(x2 + 1) + 2x (x²+1) +5 (x²+1) เราเห็นว่าเรามีตัวประกอบร่วม: x กำลังสองบวกหนึ่ง เราใส่มันนอกวงเล็บ: (x²+1) (3x²+ 2x + 5) การขยายเพิ่มเติมเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากสมการทั้งสองมีการเลือกปฏิบัติเชิงลบ

สมการยอดเยี่ยม

เราเสนอให้จัดการกับประเภทต่อไปนี้ สมการเหล่านี้เป็นสมการที่มีฟังก์ชันเหนือธรรมชาติ ได้แก่ ลอการิทึม ตรีโกณมิติ หรือเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 เป็นต้น คุณจะได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาจากหลักสูตรตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน

ในขั้นตอนสุดท้าย ให้พิจารณาแนวคิดของสมการฟังก์ชั่น. ไม่เหมือนกับตัวเลือกก่อนหน้า ประเภทนี้จะไม่ถูกแก้ไข แต่มีการสร้างกราฟขึ้นมา ในการทำเช่นนี้ควรวิเคราะห์สมการให้ดีค้นหาจุดที่จำเป็นสำหรับการก่อสร้างคำนวณจุดต่ำสุดและสูงสุด