Извод неке функције ф (к) у одређеномтачка к0 се назива границом односа прираста функције и прираштаја аргумента, под условом да к следи 0, а граница постоји. Извод се обично означава простим бројем, понекад тачком или кроз диференцијал. Дериват преко границе често доводи у заблуду, јер се такав приказ ретко користи.
Функција која има извод на одређеномтачку к0, уобичајено је да се у таквој тачки зове диференцијабилна. Претпоставимо да је Д1 скуп тачака у којима је функција ф диференцирана. Доделивши сваком броју број к који припада Д ф '(к), добијамо функцију са површином ознаке Д1. Ова функција је извод и = ф (к). Означава се овако: ф '(к).
Штавише, дериват се широко користи уфизике и технологије. Погледајмо најједноставнији пример. Материјална тачка се креће дуж координатне равни, а дат је закон кретања, односно к координата ове тачке је позната функција к (т). Током временског интервала од т0 до т0 + т, померање тачке је к (т0 + т) -к (т0) = к, а њена просечна брзина в (т) је к / т.
Понекад је природа покрета представљена тако да кадаза кратке временске периоде, просечна брзина се не мења, што значи да се кретање са већим степеном тачности сматра униформним. Или вредност просечне брзине, ако т0 следи неку апсолутно тачну вредност, која се зове тренутна брзина в (т0) ове тачке у одређеном тренутку времена т0. Верује се да је тренутна брзина в (т) позната за било коју диференцирану функцију к (т), при чему ће в (т) бити једнако к ’(т). Једноставно речено, брзина је временски дериват координате.
Тренутна брзина има и позитивне инегативне вредности, као и вредност 0. Ако је позитивна у неком временском интервалу (т1; т2), тада се тачка креће у истом правцу, односно координата к (т) расте са временом, а ако је в ( т) је негативна, онда се к (т) координата смањује.
У тежим случајевима тачка се креће у равни или у простору. Тада је брзина векторска величина и одређује сваку од координата вектора в (т).
Слично се може упоредити са убрзањемкретање тачке. Брзина је функција времена, односно в = в (т). А дериват такве функције је убрзање кретања: а = в ’(т). Односно, испоставља се да је временски извод брзине убрзање.
Претпоставимо да је и = ф (к) било који диференциранфункција. Тада можемо размотрити кретање материјалне тачке дуж координатне линије, које се дешава иза закона к = ф (т). Механички садржај извода омогућава визуелно тумачење теорема диференцијалног рачуна.
Како да пронађем дериват? Проналажење извода неке функције назива се њено диференцирање.
Хајде да дамо примере како пронаћи изведену функцију:
Извод константне функције је нула; извод функције и = к једнак је јединици.
Како се налази извод разломка? Да бисте то урадили, размотрите следећи материјал:
За било које к0 <> 0 имамо
и / к = -1 / к0 * (к + к)
Постоји неколико правила за проналажење деривата. Наиме:
Ако су функције А и Б диференциране у тачки к0,онда се њихов збир диференцира у тачки: (А + Б) ’= А’ + Б ’. Једноставно речено, извод збира је једнак збиру деривата. Ако је функција диференцирана у некој тачки, онда њен прираст долази на нулу када инкремент аргумента следи нулу.
Ако су функције А и Б диференциране у тачки к0,онда се њихов производ диференцира у тачки: (А * Б) '= А'Б + АБ'. (Вредности функција и њихових деривата се израчунавају у тачки к0). Ако је функција А (к) диференцирана у тачки к0, а Ц је константна, онда је функција ЦА диференцирана у овој тачки и (ЦА) '= ЦА'. Односно, такав константни фактор се извлачи из предзнака извода.
Ако су функције А и Б диференциране у тачки к0, а функција Б није једнака нули, онда је и њихов однос диференциран у тачки: (А / Б) '= (А'Б-АБ') / Б * Б.
