Диференцијални рачун функција једне и више променљивих

Диференцијални рачун је грана математичке анализе која проучава извод, диференцијале и њихову употребу у проучавању функције.

Историја изгледа

Диференцијални рачун се истакао усамостална дисциплина у другој половини 17. века, захваљујући списима Њутна и Лајбница, који су формулисали главне одредбе у рачуну диференцијала и уочили везу између интеграције и диференцијације. Од тог тренутка, дисциплина се развијала заједно са рачуном интеграла, чинећи тако основу математичке анализе. Појава ових рачуна отворила је нови савремени период у математичком свету и проузроковала појаву нових дисциплина у науци. Такође је проширио могућност примене математичке науке у природним наукама и технологији.

Основни појмови

Диференцијални рачун заснован је натемељни појмови математике. То су: стварни број, континуитет, функција и ограничење. Временом су попримили модеран облик, захваљујући интегралном и диференцијалном рачуну.

Процес стварања

Формирање диференцијалног рачуна у обликуприменио, а затим се научна метода догодила пре појаве филозофске теорије коју је створио Николај Кузански. Његова дела се сматрају еволутивним развојем на основу судова древне науке. Упркос чињеници да сам филозоф није био математичар, његов допринос развоју математичке науке је неоспоран. Кузански је био један од првих који је напустио разматрање аритметике као најтачнијег поља науке, доводећи у питање тадашњу математику.

Древни математичари имају универзални критеријумбила јединица, док је филозоф као нову меру предложио бесконачност уместо тачног броја. С тим у вези, приказ тачности у математичкој науци је обрнут. Научно знање се, према његовом мишљењу, дели на рационално и интелектуално. Друга је тачнија, према научнику, пошто прва даје само приближни резултат.

Идеја

Основна идеја и концепт у диференцијалурачун повезан са функцијом у малим суседствима одређених тачака. За ово је неопходно створити математички апарат за проучавање функције, чије је понашање у малом суседству утврђених тачака блиско понашању полинома или линеарне функције. Ово се заснива на дефиницији деривата и диференцијала.

Појаву концепта деривата изазвао је велики број проблема из природних наука и математике, што је довело до проналажења вредности граница истог типа.

Један од главних задатака који су дати каопример, почевши од средње школе, је одређивање брзине тачке дуж праве и цртање тангенте на ову криву. Диференцијал је повезан са овим, јер је могуће приближити функцију у малом суседству разматране тачке линеарне функције.

У поређењу са концептом деривата функцијереалне променљиве, дефиниција диференцијала се једноставно преноси на функцију опште природе, посебно на слику једног еуклидског простора на други.

Деривативни

Нека се тачка креће у правцу осе Ои, даљевреме узимамо к, које се рачуна од неког тренутка. Ово кретање се може описати функцијом и = ф (к), која се додељује сваком временском тренутку к координатама померене тачке. Ова функција у механици назива се законом кретања. Главна карактеристика кретања, посебно неравномерног кретања, је тренутна брзина. Када се тачка креће дуж осе Ои према закону механике, тада у случајном тренутку к добија координату ф (к). У тренутку к + Δк, где Δк означава прираштај времена, његова координата ће бити ф (к + Δк). Тако се формира формула Δи = ф (к + Δк) - ф (к), која се назива прираштај функције. Представља пут који је тачка прешла у времену од к до к + Δк.

Због појаве ове брзине у овом тренуткууводи се временски дериват. У произвољној функцији, извод у фиксној тачки назива се граница (под условом да постоји). Може се означити одређеним симболима:

ф '(к), и', ы, дф / дк, ди / дк, Дф (к).

Процес израчунавања деривата назива се диференцијација.

Диференцијални рачун функције неколико променљивих

Овај метод израчунавања примењује се кадаиспитивање функције са неколико променљивих. У присуству две променљиве к и и, делимични извод у односу на к у тачки А назива се изводом ове функције у односу на к са фиксним и.

Може се означити следећим симболима:

ф ’(к) (к, и), у’ (к), /у / ∂к или ∂ф (к, и) ’/ ∂к.

Потребне вештине

Да бисте успешно проучавали и могли да решите дифузију,потребне су вештине интеграције и диференцијације. Да бисте лакше разумели диференцијалне једначине, требало би да добро разумете тему извода и неодређеног интеграла. Такође не шкоди научити како тражити дериват имплицитно дефинисане функције. То је због чињенице да ћете у процесу проучавања често морати да користите интеграле и диференцијацију.

Врсте диференцијалних једначина

У готово свим контролним радовима везаним за диференцијалне једначине првог реда постоје 3 врсте једначина: хомогене, са одвојивим променљивим, линеарне нехомогене.

Постоје и ређи типови једначина: са укупним диференцијалима, Бернулијеве једначине и друге.

Основе решења

Прво се сетите алгебарскогједначине из школског курса. Садрже променљиве и бројеве. Да бисте решили обичну једначину, треба да пронађете скуп бројева који задовољавају дати услов. По правилу су такве једначине имале један корен, а да би се проверила исправност, било је потребно само заменити ову вредност на месту непознатог.

Диференцијална једначина је слична овој. Генерално, таква једначина првог реда укључује:

• Независна варијабла.
• Изведеница из прве функције.
• Функција или зависна променљива.

У неким случајевима један однепознанице, к или и, међутим, ово није толико важно, јер је присуство првог деривата, без деривата вишег реда, неопходно да би решење и диференцијални рачун били тачни.

Решавање диференцијалне једначине значи проналажење скупа свих функција које се подударају са датим изразом. Сличан скуп функција често се назива општем ДУ решењем.

Интегрални рачун

Интегрални рачун је једна од грана математичке анализе која проучава појам интеграла, својства и методе његовог израчунавања.

Израчун интеграла се често сусреће кадаизрачунавање површине закривљене фигуре. Ово подручје значи границу којој тежи површина полигона уписаног у дату фигуру са постепеним повећањем бока, док се ове странице могу изводити мање од било које претходно одређене произвољне мале вредности.

Главна идеја у израчунавању површине произвољнегеометријска фигура састоји се у израчунавању површине правоугаоника, односно доказивању да је његова површина једнака умношку дужине и ширине. Што се тиче геометрије, тада се све конструкције израђују помоћу лењира и шестара, а тада је однос дужине и ширине рационална вредност. При израчунавању површине правоуглог троугла можете утврдити да ако ставите исти троугао поред њега, тада се формира правоугаоник. У паралелограму се површина израчунава сличним, али мало сложенијим методом, кроз правоугаоник и троугао. У полигонима се површина броји у виду троуглова који су у њу укључени.

При одређивању површине произвољне криве овометода неће успети. Ако га раставимо на квадратне јединице, тада ће бити празних простора. У овом случају, они покушавају да користе два покривача, са правоугаоницима на врху и на дну, што као резултат укључује графикон функције и не укључује га. Начин раздвајања на ове правоугаонике овде остаје важан. Такође, ако узмемо партиције које се све више смањују, тада би подручје изнад и испод требало да се приближи одређеној вредности.

Вратите се методи цепања на правоугаонике. Постоје две популарне методе.

Риеманн је формализовао дефиницију интеграла,створили Лајбниц и Њутн као подграфска подручја. У овом случају су узете у обзир фигуре које се састоје од одређеног броја вертикалних правоугаоника и добијене дељењем сегмента. Када, са опадајућом партицијом, постоји граница на коју се површина такве фигуре смањује, та граница се назива Риеманнов интеграл функције на датом сегменту.

Друга метода је конструисање интегралаЛебесгуе, која се састоји у томе да се за место поделе утврђене регије на делове интегранда и затим састављање интегралног збира од добијених вредности у овим деловима, његов опсег вредности дели на интервале, а затим сажима се са одговарајућим мерама инверзних слика ових интеграла.

Савремени приручници

Један од главних водича за учењедиференцијални и интегрални рачун написао је Фицхтенголтс - „Курс диференцијалног и интегралног рачуна“. Његов уџбеник је основни уџбеник за проучавање математичке анализе, који је прошао кроз многа издања и преводе на друге језике. Створен за студенте универзитета и дуго се користи у многим образовним институцијама као један од главних водича за учење. Пружа теоријске податке и практичне вештине. Први пут објављено 1948.

Алгоритам истраживања функција

Да бисте истражили функцију методама диференцијалног рачуна, потребно је следити већ задати алгоритам:

1. Пронађите домен функције.
2. Пронађите корене дате једначине.
3. Израчунајте крајности. Да бисте то урадили, израчунајте извод и тачке у којима је једнак нули.
4. Замените резултујућу вредност у једначину.

Разноликости диференцијалних једначина

ДЕ првог реда (иначе, диференцијални рачун једне променљиве) и њихови типови:

• Одвојена једначина: ф (и) ди = г (к) дк.
• Најједноставније једначине, или диференцијални рачун функције једне променљиве, који имају формулу: и "= ф (к).
• Линеарни нехомогени ДЕ првог реда: и "+ П (к) и = К (к).
• Бернулијева диференцијална једначина: и "+ П (к) и = К (к) и^а .
• Једначина са укупним диференцијалима: П (к, и) дк + К (к, и) ди = 0.

Диференцијалне једначине другог реда и њихови типови:

• Линеарна хомогена диференцијална једначина другог реда са константним вредностима коефицијента: и^н+ пи "+ ки = 0 п, к припада Р.
• Линеарна нехомогена диференцијална једначина другог реда са константном вредношћу коефицијената: и^н+ пи "+ ки = ф (к).
• Линеарна хомогена диференцијална једначина: и^н+ п (к) и "+ к (к) и = 0, и нехомогена једначина другог реда: и^н+ п (к) и "+ к (к) и = ф (к).

Диференцијалне једначине виших редова и њихови типови:

• Диференцијална једначина која дозвољава смањење по реду: Ф (к, и^(к), г.^{(к + 1)}, .., г.^(н)= 0.
• Линеарна једначина вишег реда је хомогена: г.^(н)+ ф_(н-1)г.^(н-1)+ ... + ф₁и "+ ф₀и = 0, и хетерогени: г.^(н)+ ф_(н-1)г.^(н-1)+ ... + ф₁и "+ ф₀и = ф (к).

Фазе решавања задатка диференцијалном једначином

Уз помоћ ДЕ, не само математичкеили физичка питања, али такође и различити проблеми из биологије, економије, социологије и других. Упркос широком спектру тема, при решавању таквих проблема треба да се придржавате једног логичног низа:

1. Израда даљинског управљача.Једна од најтежих фаза, која захтева максималну прецизност, јер ће свака грешка довести до потпуно нетачних резултата. Треба размотрити све факторе који утичу на процес и одредити почетне услове. Такође бисте се требали заснивати на чињеницама и закључцима.
2. Решење састављене једначине. Овај поступак је једноставнији од првог корака, јер захтева само ригорозне математичке прорачуне.
3. Анализа и евалуација добијених резултата. Изведено решење треба проценити како би се утврдила практична и теоријска вредност резултата.

Пример употребе диференцијалних једначина у медицини

Употреба ДУ у области медицине се сусрећеприликом изградње епидемиолошког математичког модела. Истовремено, не заборавите да се ове једначине такође налазе у биологији и хемији, које су блиске медицини, јер у њој важну улогу игра проучавање различитих биолошких популација и хемијских процеса у људском телу.

У горњем примеру са епидемијом можемо узети у обзир ширење заразе у изолованом друштву. Становници су класификовани у три врсте:

• Инфициран, број к (т), састоји се од јединки, носиоца инфекције, од којих је свака заразна (период инкубације је кратак).
• Други тип укључује осетљиве особе и (т) способне да се заразе контактом са зараженим.
• Трећи тип укључује ватросталне особе з (т), које су имуне или су умрле због болести.

Број јединки је сталан; рођења, природне смрти и миграције се не узимају у обзир. Засниваће се на две хипотезе.

Проценат морбидитета у одређено времемоменат је једнак к (т) и (т) (претпоставка се заснива на теорији да је број случајева пропорционалан броју пресека између пацијената и осетљивих представника, што ће у првој апроксимацији бити пропорционално к т) и (т)), с тим у вези, број случајева се повећава, а број осетљивих смањује брзином која се израчунава формулом ак (т) и (т) (а> 0).

Број ватросталних особа које су стекле имунитет или умрле повећава се стопом пропорционалном броју случајева, бк (т) (б> 0).

Као резултат, могуће је израдити систем једначина узимајући у обзир сва три показатеља и на основу тога донијети закључке.

Пример употребе у економији

Диференцијални рачун се често користи кадаекономска анализа. Главни задатак у економској анализи је проучавање вредности из економије, које су записане у облику функције. Ово се користи када се решавају проблеми као што су промена дохотка одмах након повећања пореза, увођење дажбина, промена прихода компаније када се промене трошкови производње, у ком проценту је могуће пензионисане раднике заменити новом опремом. Да би се решила таква питања, потребно је конструисати функцију везе од долазних променљивих, које се затим проучавају помоћу диференцијалног рачуна.

У економском царству је често потребно пронаћинајоптималнији показатељи: максимална продуктивност рада, највећи доходак, најнижи трошкови итд. Сваки такав показатељ је функција једног или више аргумената. На пример, производња се може посматрати као функција уложеног рада и капитала. С тим у вези, проналажење погодне вредности може се свести на проналажење максимума или минимума функције из једне или више променљивих.

Проблеми ове врсте стварају класу екстремапроблеми на економском пољу за чије је решавање неопходан диференцијални рачун. Када се тражи да се економски индикатор минимизира или максимизира у зависности од другог индикатора, тада ће у максималној тачки однос прираштаја функције према аргументима тежити нули ако прираштај аргумента тежи нули. У супротном, када такав однос тежи ка одређеној позитивној или негативној вредности, назначена тачка није погодна, јер када повећавате или смањујете аргумент, зависну вредност можете променити у траженом смеру. У терминологији диференцијалног рачуна то значи да је тражени услов за максимум функције нулта вредност њеног извода.

У економији често постоје задаци запроналажење екстрема функције са неколико променљивих, јер се економски показатељи састоје од многих фактора. Таква питања су добро проучена у теорији функција неколико променљивих, користећи методе диференцијалног израчунавања. Такви задаци укључују не само максимизиране и сведене функције, већ и ограничења. Таква питања се односе на математичко програмирање и решавају се помоћу посебно развијених метода, такође заснованих на овој грани науке.

Међу методама диференцијалног рачуна,користи се у економији, важан одељак је маргинална анализа. У економској сфери овај појам означава скуп метода за проучавање променљивих показатеља и резултата при промени обима стварања, потрошње на основу анализе њихових граничних показатеља. Ограничавајући индикатор су деривати или делимични деривати са неколико променљивих.

Диференцијални рачун неколико променљивих- важна тема из области математичке анализе. За детаљну студију можете користити разне уџбенике за високошколске установе. Једно од најпознатијих створио је Фицхтенголтс - „Курс диференцијалног и интегралног рачуна“. Као што и само име говори, вештине рада са интегралима су од велике важности за решавање диференцијалних једначина. Када се догоди диференцијални рачун функције једне променљиве, решење постаје једноставније. Иако се, треба напоменути, придржава истих основних правила. Да би се функција истражила диференцијалним рачуном у пракси, довољно је следити већ постојећи алгоритам, који је дат у старијим разредима школе и само је мало компликован увођењем нових променљивих.