Црамер-ова метода је једна од тачних методарешавање система линеарних алгебарских једначина (СЛАЕ). Његова тачност је резултат употребе детерминанти матрице система, као и неких ограничења која су наметнута за време доказивања теореме.
Систем линеарних алгебарских једначина са коефицијентима који припадају, на пример, скупу Р реалних бројева, из непознатих к1, к2, ..., кн је скуп израза облика
аи2 к1 + аи2 к2 + ... аин кн = би за и = 1, 2, ..., м, (1)
где су аиј, би стварни бројеви. Сваки од ових израза назива се линеарном једначином, аиј - коефицијентима за непознанице, би-слободним коефицијентима једначина.
Решење за систем (1) је н-димензионални вектор к ° = (к1 °, к2 °, ..., кн °), приликом замењивања у систем уместо непознатог к1, к2, ..., кн, сваки ред у систему постаје тачна једнакост .
Систем се назива заједнички ако има најмање једно решење, а некомпатибилан ако се његов скуп решења поклапа са празним сетом.
То се мора запамтити да би се пронашлорешавајући системе линеарних алгебарских једначина помоћу Црамер-ове методе, матрица система би требало да буде квадратна, што у суштини значи исти број непознаница и једначина у систему.
Дакле, да користимо Црамер-ову методу,морате бар знати шта је матрица система линеарних алгебричних једнаџби и како се пише. И друго, схватите шта се назива одредница матрице и поседујте вештине да је израчунају.
Претпоставимо да имате ово знање.Велики! Тада морате само запамтити формуле које одређују Црамер методу. Да бисмо поједноставили меморисање, користимо следећу нотацију:
Дет је главна одредница матрице система;
дети је одредница матрице изведене изглавна матрица система, ако заменимо и ступац матрице матрицом колона чији су елементи десна страна система линеарних алгебричних једначина;
н је број непознаница и једначина у систему.
Тада се Црамер-ово правило за израчунавање и-те компоненте ки (и = 1, .. н) н-димензионалног вектора к може записати као
ки = дети / Дет, (2).
У овом случају Дет је строго једнак нули.
Јединственост решења система када гакомпатибилност пружа услов неједнакости према нули главне одреднице система. Иначе, ако је сума (ки) квадрат строго позитивна, тада ће квадратна матрица СЛАЕ бити неспојива. Ово се нарочито може догодити када је бар један од дети-а нечији нули.
Пример 1. Решите тродимензионални ЛАУ систем користећи Црамерове формуле.
к1 + 2 к2 + 4 к3 = 31,
5 к1 + к2 + 2 к3 = 29,
3 к1 - к2 + к3 = 10.
Одлука. Изписујемо матрицу системске линије по линију, где је Аи први ред матрице.
А1 = (1 2 4), А2 = (5 1 2), А3 = (3 -1 1).
Колона слободних коефицијената б = (31 29 10).
Главна одредница Дет система је
Дет = а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а31 а21 а32 - а13 а22 а31 - а11 а32 а23 - а33 а21 а12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = –27.
Да бисмо израчунали дет1, користимо супституцију а11 = б1, а21 = б2, а31 = б3. Онда
дет1 = б1 а22 а33 + а12 а23 б3 + а31 б2 а32 - а13 а22 б3 - б1 а32 а23 - а33 б2 а12 = ... = –81.
Слично томе, за израчунавање дет2 користимо супституцију а12 = б1, а22 = б2, а32 = б3 и, према томе, израчунамо дет3 - а13 = б1, а23 = б2, а33 = б3.
Тада можете проверити да је дет2 = –108, а дет3 = - 135.
Према Црамеровим формулама, налазимо да је к1 = -81 / (- 27) = 3, к2 = -108 / (- 27) = 4, к3 = -135 / (- 27) = 5.
Одговор: к ° = (3,4,5).
На основу услова примењивања овог правила,Црамер-ова метода решавања система линеарних једначина може се индиректно користити, на пример, за проучавање система за могући број решења у зависности од вредности неког параметра к.
Пример 2 Одредите за које вредности параметра к неједнакост | кк - и - 4 | + | к + ки + 4 | <= 0 има тачно једно решење.
Решење
Ова неједнакост на основу дефиниције модулафункције се могу изводити само ако су оба израза истовремено једнака нули. Стога се овај проблем своди на проналажење решења линеарног система алгебричних једначина
кк - и = 4,
к + ки = –4.
Решење овог система је јединствено ако је његова главна одредница
Дет = к ^ {2} + 1 није нула. Очигледно је да је овај услов испуњен за све реалне вредности параметра к.
Одговор: за све стварне вредности параметра к.
Многи практични проблеми из области математике, физике или хемије такође се могу свести на проблеме ове врсте.
